初等数论练习题.pdf
《初等数论练习题.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初等数论练习题.pdf(18页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、初等数论练习题信阳职业技术学院2010 年 12 月2 初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=_;(2420)=_。2、设 a,n 是大于 1 的整数,若 an-1 是质数,则 a=_。3、模 9 的绝对最小完全剩余系是_。4、同余方程 9x+120(mod 37)的解是 _。5、不定方程 18x-23y=100 的通解是 _。6、分母是正整数 m的既约真分数的个数为 _。7、18100被 172除的余数是 _。8、10365=_。9、若 p 是素数,则同余方程x p 11(mod p)的解数为。二、计算题1、解同余方程:3x211x200(mod 105)。2、判断同余方程x242(
2、mod 107)是否有解3、求(127156+34)28除以 111 的最小非负余数。三、证明题1、已知 p 是质数,(a,p)=1,证明:(1)当 a 为奇数时,ap-1+(p-1)a0(mod p);(2)当 a 为偶数时,ap-1-(p-1)a0(mod p)。2、设 a 为正奇数,n 为正整数,试证n2a1(mod 2n+2)。3、设 p 是一个素数,且 1kp-1。证明:kp 1C(-1)k(mod p)。4、设 p 是不等于 3 和 7 的奇质数,证明:p61(mod 84)。3 初等数论练习题二一、填空题1、d(1000)=_;(1000)=_。2、2010!的标准分解式中,质数
3、11 的次数是 _。3、费尔马(Fermat)数是指 Fn=n22+1,这种数中最小的合数Fn中的 n=_。4、同余方程 13x5(mod 31)的解是_。5、分母不大于 m的既约真分数的个数为 _。6、设 7(80n-1),则最小的正整数 n=_。7、使 41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=_。8、10146=_。9、若 p 是质数,np 1,则同余方程 x n 1(mod p)的解数为。二、计算题1、试求200420032002被 19 除所得的余数。2、解同余方程 3x144x106x180(mod 5)。3、已知 a=5,m=21,求使 ax 1(mod m)成立的最小自然数
4、x。三、证明题1、试证 13|(54m+46n+2000)。(提示:可取模 13进行计算性证明)。2、证明 Wilson 定理的逆定理:若 n 1,并且(n 1)!1(mod n),则 n 是素数。3、证明:设ps表示全部由 1 组成的 s 位十进制数,若ps是素数,则 s 也是一个素数。4、证明:若 2p 1 是奇素数,则 (p!)2(1)p 0(mod 2 p 1)。5、设 p 是大于 5 的质数,证明:p41(mod 240)。4 初等数论练习题三一、单项选择题1、若 n1,(n)=n-1 是 n 为质数的()条件。A.必要但非充分条件 B.充分但非必要条件 C.充要条件 D.既非充分又
5、非必要条件2、设 n 是正整数,以下各组a,b 使ab为既约分数的一组数是()。=n+1,b=2n-1 =2n-1,b=5n+2 C.a=n+1,b=3n+1=3n+1,b=5n+23、使方程 6x+5y=C无非负整数解的最大整数C是()。.24 C 4、不是同余方程 28x21(mod 35)的解为()。2(mod 35)B.x7(mod 35)C.x17(mod 35)D.x 29(mod 35)5、设 a 是整数,(1)a 0(mod9)(2)a2010(mod9)(3)a 的十进位表示的各位数码字之和可被9 整除(4)划去 a 的十进位表示中所有的数码字9,所得的新数被 9 整除以上各
6、条件中,成为9|a 的充要条件的共有()。个个个个二、填空题1、(2010)=_;(2010)=_。2、数20100C的标准分解式中,质因数7 的指数是 _。3、每个数都有一个最小质因数.所有不大于 10000的合数的最小质因数中,最大者是 _。4、同余方程 24x6(mod34)的解是 _。5、整数 n1,且(n-1)!+1 0(mod n),则 n 为_(填:素数或合数)。6、3103被 11 除所得余数是 _。7、9760=_。三、计算题1、判定()2 x3x2 3 x 1 0(mod 5)是否有三个解;5()x6 2 x5 4 x2 3 0(mod 5)是否有六个解2、设 n 是正整数
7、,求1223212C,C,Cnnnn的最大公约数。3、已知 a=18,m=77,求使 ax 1(mod m)成立的最小自然数x。四、证明题1、若质数 p5,且 2p+1是质数,证明:4p+1必是合数。2、设 p、q 是两个大于 3 的质数,证明:p2q2(mod 24)。3、若 x,y R+,(1)证明:xy xy;(2)试讨论xy 与xy的大小关系。注:我们知道,xy x+y,x+y x+y。此题把加法换成乘法又如何呢4、证明:存在一个有理数dc,其中 d 0 是偶数,a1,a2,am与b1,b2,bm都是模 m的完全剩余系,证明:a1b1,a2b2,ambm 不是模 m的完全剩余系。4、证
8、明:(1)2730 x13-x;(2)24x(x+2)(25x2-1);(3)504x9-x3;(4)设质数 p3,证明:6pxp-x。8 初等数论练习题五一、单项选择题1、设 x、y 分别通过模 m、n 的完全剩余系,若()通过模 mn的完全剩余系。、n 都是质数,则 my nx B.mn,则 my nx C.(m,n)=1,则 my nx D.(m,n)=1,则 mx ny2、135 20032005的标准分解式中11的幂指数是()。.101 C 3、n 为正整数,若 2n-1 为质数,则 n 是()。A.质数 B.合数 (k为正整数)4、从 100 到 500 的自然数中,能被 11 整
9、除的数的个数是()。.34 C 5、模 100 的最小非负简化剩余系中元素的个数是()。.10 C 二、填空题1、同余方程 ax+b0(modm)有解的充分必要条件是 _。2、高斯称反转定律是数论的酵母,反转定律是指_。3、被 3 除所得的余数为 _。4、设 n 是大于 2 的整数,则(-1)(n)=_。5、单位圆上的有理点的坐标是_。6、若 3258a 恰好是一个正整数的平方,则a 的最小值为 _。7、9758=_三、计算题1、求 3200872009132010的个位数字。2、求满足(mn)=(m)+(n)的互质的正整数 m和 n 的值。9 3、甲物每斤 5 元,乙物每斤 3 元,丙物每三
10、斤 1 元,现在用 100元买这三样东西共100斤,问各买几斤四、证明题1、已知 2011 是质数,则有 2011|个2010999。2、设 p 是 4n+1型的质数,证明若a 是 p 的平方剩余,则 p-a 也是 p 的平方剩余.3、已知 p,q 是两个不同的质数,且ap-11(mod q),aq-11(mod p),证明:apqa(mod pq)。4、证明:若 m,n 都是正整数,则(mn)=(m,n)(m,n)。10 初等数论练习题六一、填空题1、为了验明 2011 是质数,只需逐个验算质数2,3,5,p 都不能整除 2011,此时,质数 p 至少是 _。2、最大公因数(4n+3,5n+
11、2)的可能值是 _。3、设 340!,而 3+1|40!,即 340!,则=_。4、形如 3n+1的自然数中,构成模 8 的一个完全剩余系的最小的那些数是_。5、不定方程 x2+y2=z2,2|x,(x,y)=1,x,y,z0的整数解是且仅是 _ 。6、21x9(mod 43)的解是 _。7、19973=_。二、计算题1、将10517写成三个既约分数之和,它们的分母分别是3,5和 7。2、若 3 是质数 p 的平方剩余,问 p 是什么形式的质数3、判断不定方程 x2+23y=17是否有解三、证明题1、试证对任何实数x,恒有 x+x+21=2x。2、证明:(1)当 n 为奇数时,3(2n+1);
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初等 数论 练习题
限制150内