2018版高中数学平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义导学案新人教A版必修4含解析.pdf
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1、2.2.2 向量减法运算及其几何意义学习目标1.理解相反向量的含义,向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.知识点一相反向量思考实数a的相反数为a,向量a与a的关系应叫做什么?答案相反向量.梳理(1)定义:如果两个向量长度相等,而方向相反,那么称这两个向量是相反向量.(2)性质:对于相反向量有:a(a)0.若a,b互为相反向量,则ab,ab0.零向量的相反向量仍是零向量.知识点二向量的减法思考根据向量减法的定义,已知a,b如图,如何作出向量a,b的差向量ab?答案(1)利用平行四边形法则.如图,在平面内任取一点O,作OAa,OBb,OCb,以OA
2、,OC为邻边作平行四边形OAEC,则OEab.(2)利用三角形法则.如图,在平面内任取一点O,作OAa,OBb,则BAab.知识点三|a|b|,|ab|,|a|b|三者的关系思考在三角形中有两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,结合这一性质及向量加、减法的几何意义,|a|b|,|ab|,|a|b|三者关系是怎样的?答案它们之间的关系为|a|b|ab|a|b|.梳理当向量a,b不共线时,作OAa,ABb,则abOB,如图(1),根据三角形的三边关系,则有|a|b|ab|b|,作法同上,如图(3),此时|ab|a|b|.故对于任意向量a,b,总有|a|b|ab|a|b|.因为|ab|a(b)|,
3、所以|a|b|ab|a|b|,即|a|b|ab|a|b|.将两式结合起来即为|a|b|ab|a|b|.类型一向量减法的几何作图例 1 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量abc.解方法一如图,在平面内任取一点O,作OAa,ABb,则OBab,再作OCc,则CBabc.方法二如图,在平面内任取一点O,作OAa,ABb,则OBab,再作CBc,连接OC,则OCabc.引申探究若本例条件不变,则abc如何作?解如图,在平面内任取一点O,作OAa,OBb,则BAab.再作CAc,则BCabc.反思与感悟求作两个向量的差向量时,当两个向量有共同始点,直接连接两个向量的终点,并指向被减向量,就得到两个
4、向量的差向量;若两个向量的始点不重合,先通过平移使它们的始点重合,再作出差向量.跟踪训练1 如图所示,已知向量a,b,c,d,求作向量ab,cd.解如图所示,在平面内任取一点O,作OAa,OBb,OCc,ODd.则abBA,cdDC.类型二向量减法法则的应用例 2 化简下列式子:(1)NQPQNMMP;(2)(ABCD)(ACBD).解(1)原式NPMNMPNPPNNPNP0.(2)原式ABCDACBD(ABAC)(DCDB)CBBC0.反思与感悟向量减法的三角形法则的内容是:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点.跟
5、踪训练2 化简:(1)(BABC)(EDEC);(2)(ACBOOA)(DCDOOB).解(1)(BABC)(EDEC)CACDDA.(2)(ACBOOA)(DCDOOB)ACBADC(DOOB)ACBADCDBBCDCDBBCCDDBBCCB0.类型三向量减法几何意义的应用例 3 已知|AB|6,|AD|9,求|ABAD|的取值范围.解|AB|AD|ABAD|AB|AD|,且|AD|9,|AB|6,3|ABAD|15.当AD与AB同向时,|ABAD|3;当AD与AB反向时,|ABAD|15.|ABAD|的取值范围为 3,15.反思与感悟(1)如图所示,平行四边形ABCD中,若ABa,ADb,
6、则ACab,DBab.(2)在公式|a|b|ab|a|b|中,当a与b方向相反且|a|b|时,|a|b|ab|;当a与b方向相同时,|ab|a|b|.(3)在公式|a|b|ab|a|b|中,当a与b方向相同,且|a|b|时,|a|b|ab|;当a与b方向相反时,|ab|a|b|.跟踪训练 3 在四边形ABCD中,设ABa,ADb,且ACab,|ab|ab|,则四边形ABCD的形状是()A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形答案B 解析ACab,四边形ABCD为平行四边形,又DBab,|ab|ab|,|AC|DB|.四边形ABCD为矩形.1.如图所示,在?ABCD中,ABa,ADb,则用a,b
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