2020届河南省高三天一大联考高中毕业班阶段性测试(一)数学(理)试题(解析版).pdf
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1、第 1 页 共 21 页2019-2020 学年天一大联考高中毕业班阶段性测试(一)数学(理)试题一、单选题1已知集合|3Ax yx,2|760Bx xx,则()RC AB()A|1 3xxB|1 6xxC|13xxD|16xx【答案】A【解析】要使根式有意义,则需30 x,可求集合A,再求RC A,解二次不等式2760 xx,可求得集合B,从而求得()RC ABI即可.【详解】解:|3Ax yx=|30 x x=|3x x,即|3RC Ax x,又2|760Bx xx=|(1)(6)0 xxx=|16xx,即()RC AB|1 3xx,故选 A.【点睛】本题考查了含根式函数的定义域的求法及二
2、次不等式的解法,重点考查了集合的混合运算,属基础题.2已知,且复数z 满足,则 z 的虚部为()ABCD【答案】B【解析】把,代入,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】,第 2 页 共 21 页的虚部为故选【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算、复数虚部的概念,考查基本运算求解能力.3某单位共有老年、中年、青年职工320 人,其中有青年职工150 人,老年职工与中年职工的人数之比为710.为了了解职工的身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,抽取的样本中有青年职工30 人,则抽取的老年职工的人数为()A14 B 20 C21 D70【答案】A【解析】先计算总体中老年职工的人数70,再根据
3、青年职工的数据求出抽样比,把抽样比乘以老年职工人数,得到抽取老年职工的人数.【详解】由题意知,老年职工与中年职工的人数之和为170,故老年职工人数为70,中年职工人数100,抽样比为3011505,则抽取的老年职工的人数为170145,故选A【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样,考查基本数据处理能力.4设等差数列|na的前n项和为nS,若2372a aa,540S,则7a()A13 B 15 C20 D22【答案】C【解析】由等差数列前5 项和求得3a,设等差数列na的公差为d,由2372a aa得到关于d的方程,再由等差数列的通项公式求7a【详解】由题意,53540Sa,得38a设等差数列n
4、a的公差为d,由2372a aa,得(8)82(84)dd,解得3d7348 4 320aad第 3 页 共 21 页故选:C【点睛】本题考查等差数列的性质、通项公式及前n项和公式的应用,考查基本量法求解数列问题.5已知向上满足|2,ar|1br,()abbrrr,则向量ar与br的夹角为()A6B3C2D23【答案】B【解析】先由题意求出a br r,再由向量夹角公式,即可求出结果.【详解】因为|2,ar|1br,()abbrrr,所以()0rrra b b,因此21rrra bb,所以1cos,2rrr rr ra ba ba b,因此向量ar与br的夹角为3【点睛】本题主要考查向量夹角的
5、计算,熟记向量数量积的运算即可,属于常考题型.6马拉松是一项历史悠久的长跑运动,全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验,专业的马拉松运动员经过长期的训练,跑步时的步幅(一步的距离)一般略低于自身的身高,若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时,则他平均每分钟的步数可能为()A60B 120C180D240【答案】C【解析】先求出运动员每分钟跑42000 150280米,再对运动员每分钟的跑步数分类讨论,排除答案即得解.【详解】解:42千米42000米,2.5小时150分钟,故运动员每分钟跑42000 150280米;若运动员每分钟跑120步,280 1202.33,则运
6、动员的身高超过2.33米不太可能;若运动员每分钟跑240步,2802401.17,则运动员的身高稍超过1.17米不太可能;若运动员每分钟跑180步,280 1801.56,则运动员的身高超过1.56米,基本符合第 4 页 共 21 页实际,故选:C.【点睛】本题主要考查推理证明,考查数据处理,属于基础题.7某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积为()A3 52B3 562C3 5D63 5【答案】B【解析】由题意可知该几何体是一个半圆台,利用圆台侧面积公式和梯形面积公式即可得解.【详解】该几何体是一个半圆台,上底面半圆的半径为1,下底面半圆的半径为2,高为 2,母线长为5,其侧面一部分展
7、开是扇环,一部分是等腰梯形.所以其侧面积为113 5252426222.故选:B.【点睛】本题考查了三视图的识别和圆台侧面积的求解,属于基础题.8已知双曲线22:13xEy,F 为 E 的左焦点,P,Q 为双曲线E 右支上的两点,若线段 PQ 经过点2,0,PQF 的周长为8 3,则线段 PQ 的长为()A2 B2 3C4 D4 3【答案】B【解析】根据题意作出双曲线图象,然后根据双曲线的定义得:|2 3PFPA,第 5 页 共 21 页|2 3QFQA,再根据周长的值,求得线段PQ的长.【详解】Q双曲线22:13xEy的左焦点(2,0)F,3a,1b,2c;双曲线的右焦点(2,0)A在线段P
8、Q上,|2 3PFPA,|2 3QFQA,所以POF的周长为8 3|2|4 3PFQFPQPQ,得|2 3PQ,故选:B【点睛】本题考查双曲线中过焦点弦长,把双曲线的定义融入三角形知识中,考查学生对问题的转化能力9已知函数()xxf xx ee,若(21)(2)fxf x,则 x 的取值范围是()A1,33B1,3C(3,)D1,(3,)3U【答案】A【解析】根据()()fxfx得()f x为偶函数,利用导数得函数()f x在0,)上为增函数,结合偶函数的性质(|)()fxfx,将(21)(2)fxf x转化为|21|2|xx,两边平方解得x的取值范围【详解】根据题意,()()xxf xx e
9、e,因为()()()()()xxxxfxx eex eef x,所以()f x 为偶函数;第 6 页 共 21 页又由()()()xxxxfxeex ee,当0 x时,()0fx,则函数()f x 在0,)上为增函数,所以(21)(2)(|21|)(|2|)|21|2|fxf xfxfxxx,即22(21)(2)xx,解得:133x.故选:A【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性的应用,利用导数研究函数的单调性,考查分析问题和解决问题的能力,考查数形结合思想的应用.10已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为A,B,点 M 为椭圆 C 上异于 A,B 的一点,直线AM 和直
10、线 BM 的斜率之积为14,则椭圆 C 的离心率为()A14B12C32D154【答案】C【解析】利用直线AM 和直线 BM 的斜率之积为14,得到2214ba这一关系,再代入离心率的公式,求得e的值.【详解】由已知得(,0),(,0)AaB a,设00,xy,由题设可得,2200221xyab,所以2222002byaxa.因为222220200022222000014AMMBbaxyyybakkxaxaxaxaa,所以2214ba,则22222222314cabbeaaa,所以32e.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、离心率求法等知识,考查基本运算求解能力.第 7 页 共 2
11、1 页11设函数2sinfxx在0,上最小的零点为0 x,曲线yfx在点0,0 x处的切线上有一点P,曲线23ln2yxx上有一点Q,则PQ的最小值为()A510B55C3 510D2 55【答案】C【解析】由题意得01x,由导数的几何意义结合点斜式可得切线的方程为22yx,证明切线与曲线23ln2yxx无交点,当点Q处的切线与22yx平行时,点Q到直线22yx的距离即为PQ最小值,利用导数几何意义求得点Q后即可得解.【详解】令xkkZ,则xk,最小为01x.因为2cosfxx,所以曲线yfx在点1,0处的切线斜率为12cos2f,则切线方程为22yx,设23ln2g xxx,23ln222h
12、 xxxx,则132hxxx,10h,h x在1x处取最小值3102h,所以0h x恒成立,所以直线22yx与曲线yg x没有交点.令132gxxx,得1x或13x(舍去),312g,则PQ的最小值为点31,2到直线22yx的距离d,所以223223 521021d.故选:C.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用,考查了转化化归思想,属于中档题.12已知四棱锥PABCD-的四条侧棱都相等,底面是边长为2的正方形,若其五个第 8 页 共 21 页顶点都在一个表面积为814的球面上,则PA与底面ABCD所成角的正弦值为()A23B23或53C2 23D13或2 23【答案】D【解析】【详解】解:因
13、为PABCD-的四条侧棱都相等,底面是边长为2的正方形,则点P在面ABCD内的射影落在正方形ABCD的中心,连接,AC BD交于点E,设球心为O,连接,PO BO,则E在直线PO上,POBOR,由28144R,解得94R,又22BDBE,所以228172164OERBE,所以971442PEROE或97444PEROE,当12PE时,2213242PAAEPE,则PA与底面ABCD所成角的正弦值为112332PEAP,当4PE时,221623 2PAAEPE,则PA与底面ABCD所成角的正弦值为42 233 2PEAP,即PA与底面ABCD所成角的正弦值为13或2 23,故选 D.第 9 页
14、共 21 页【点睛】本题考查了球的表面积公式及正棱锥的外接球问题,重点考查了棱锥顶点在底面中的射影位置,着重考查了空间想象能力及运算能力,属中档题.二、填空题13 设变量,x y满足约束条件70,10,2,xyxyx则目标函数11yzx的最大值为 _.【答案】4【解析】作出可行域,将问题转化为可行域中的点与点(1,1)P连线的斜率的最大值,结合图形可得答案.【详解】作出可行域,如图所示:第 10 页 共 21 页11yzx表示可行域中的点与点(1,1)P连线的斜率.由图可知,点(1,1)P与点(2,5)A连线的斜率最大,max51421z,所以目标函数11yzx的最大值为4.故答案为:4【点睛
15、】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数的最大值,解题关键是转化为斜率求最大值,属于基础题.14已知正项等比数列na满足2464,80aaa.记2lognnba,则数列 nb的前50项和为 _.【答案】1275【解析】由等比数列通项公式的求法可得:42200qq,又0q解得2422nnna,由对数的运算可得:nbn,即nb是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,再由等差数列前n项和公式即可得解.【详解】解:由数列 na 为正项等比数列,设其公比为q,则0q,又2464,80aaa,所以42200qq,解得2q=,第 11 页 共 21 页即2422nnna,所以2log2nnbn,则nb是以
16、1 为首项,1 为公差的等差数列,则数列 nb的前50项和为(150)5012752,故答案为:1275.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法及等差数列前n项和,重点考查了对数的运算,属基础题.15在51231xx的展开式中,含3x 项的系数为 _.【答案】40【解析】由题意写出512x的展开式的通项,根据通项求出512x的展开式中2x和3x 的系数,根据乘法分配律即可得解.【详解】由题意512x的展开式的通项为15522rrrrrrTCxCx,512x的展开式中2x的系数为225240C,3x 的系数为335280C,因此,原展开式中含3x 项的系数为40 380=40.故答案为:40.
17、【点睛】本题考查了二项式定理的应用,属于基础题.16已知2tantan()43,则cos(2)4的值是 _.【答案】210【解析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan3或tan2;利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24化为222cossin2sincos2,根据正余弦齐次式的求解方法可化简为2221tan2tan21tan,代入tan即可求得结果.第 12 页 共 21 页【详解】tantantan124tantantantan41tan31tantan4解得:1tan3或tan22cos 2cos2 cossin2sincos2sin2444222222222cossin2s
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