混沌动力系统的同步及其数值计算中的一些问题.docx
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1、复旦大学 硕士学位论文 混沌动力系统的同步及其数值计算中的一些问题 姓名:郭德典 申请学位级别:硕士 专业:应用数学 指导教师:阮炯 20030401 _ 复旦太学硕士毕业论文 _ _ _ 1 摘 要 本文主要讨论混沌系统的同步问题研究方法以及应用于 一些具体系统的结论和揭示数 值方法处理连续系统时出现的一些动力学行为发生改变的现象 本文一共分两部分,第一 部分由第一章和第二章组成,第一章给出目前较为流行的同步的一些数学定义,并总结了 目前讨论同步问题的主要框架及其常见的研究方法,同时也指出了常见的误区 .第二章主 要是利用 Lyaptmm函数法等一些常用的方法来讨论一类同等混沌系统的完全同步
2、问题,尤 其是双向耦合同步问题,本文同时指出了一些相关文献 31讨论此类问题所出现的不严密 性 .并通过改进算法,利用一些数值方法来模拟同步并检验文中所得的结讼 .第二部分主要 由第三章组成,主要是探讨连续的动力系统在三种常用的离散方法下进行数值计算时发生 动力学行为改变的现象,着重讨论出现在平衡点处倍周期分岔的现象,给茁了一种判断连 续自治系统离散后是否 会导致倍周期分岔的算法,并给出一维连续动力系统离散化后发生 动力学行为改变的一般结论,以及在抛物线映射下的自治系统发生倍周期分岔的离散化参 数条件以及分岔点,最后通过给出具体的例子及其差分方程的分岔图来证实文中的结论 . 关键词:混淹同步
3、Lyapunov函数 Loreuss系 统 线 性 糖 合 倍 周期 分 岔 离 散 化 _ _复旦大学硕士毕业论文 _ 2 Abstract In this thesis, two main topics are considered* In part one, which is consist of chapter 1 and chapter 2, typical research methods and application of chaotic synchronization are reviewed asd investigated. In p抓 two, namdy chapte
4、r 3, we 輝 inly discuss the phenomena of dynamic bA to diange when system changed from continue to discrete in the processing of computer simulation, Therefore, it is possible that some stable continue dynamic systems will be falsely described to be chaotic by computer simulatioii. Some results of cm
5、e-dimensicma systems are presented and some examples are given to support. In chapter 1, the review of the chaotic synchronization research background and developmeut involving mathematical definition of synchronization and the typical configiirations of complete syndir 3ii2jation(CS)is presented, B
6、y the end of the clmpter, we point out some error appeared in references. In chapter 2t we mainly discuss CS of a class of identical chaotic systems bad OB Lyapunov stability theory especially CS for bidirectional coupling. We first clarify the problems in refer- ence31which discussed the same probl
7、em and then give a simple global synchronisiatioii criterion for coupled chaotic systems and support the results attained from rigorously mathematics theory simulation* Porthermore, refering to sufficient criterion for the stability of synchronization states given by Brown30t we provide an algorithm
8、 to get the better results for designing bidirectional coupling of identical chaotic systems, In chapter 3, we first point out tha,t typical numerical methodB used in dynamic systems simul技 tion such 胡 Eider method, Rouge-Kutta method will diange their dyimmieal behavior, we focus on three numerical
9、 methods and the dynamical behavior of bifurcation. We mainly disciiss the phenomena of period-doubling bifurcation at equilibriums and give the algorithm for predicting period-doubling bifurcation- Genaral results of one-dimensionai systems and special results of some maps are also presented in thi
10、s chiipter. At last, several examples of dynamical systems and the numerical bifurcation figures are also shown for demonstration. Key Words; Chaos synchronkation Lyapunov function Lorenz system Linearly coupled Period-doubling bifurcation Time-discrete 第一章关于非线性动力系统的同步问题 第一节混沌动力系统同步的实际意义及其概念 同步 ( sy
11、nchronization)这一词最早起源于希腊词 tr心 7 ,意思是在同一时间里 共享 .在历史上 t对于在动力系统演化过程中所出现的同步现象的最早分析可以追溯到 17 世纪 Huygens发现两个弱耦合的悬摆时钟的相同步现象 1.最近,对于动力系统的同步现 象的研究兴趣逐渐地转移到混沌动力系统中来 .原因之一是混沌无所不在,人们越来越多 地在各个自然科学领域中发现混沌,并给违比以前的近似的线性的模型更为客观的非线性 模型 .原因之二,随着数学理论的不断完善和计算机辅助工具的不断加强,我们对混沌所 展示的一些属性 和现象有了更深的了解 .当然,还有一个最重要的原因是混沌动力系统本 身所具有
12、的动力学行为给我们展示了一个相当广阔的应用前景 .例如近年来竞争最为激烈 的应用研究领域就是利用混沌同步实现保密通讯,其主要依据是 *只有当秘密通讯的双方 具有完全相同的非线性(混沌 ) 线路时,才能达到混沌同步,从而实现秘密信号从发射机的 编码到接受机的解码的全过程 .这里包括了利用混沌系统信号本身的特征来应用于密码发 射的思想,还包括了利用混沌系统隐藏秘密通讯信号的思想 - 我们这里指的非线性动力系统的同步简单来说就是指两个(也可以是多个)非 性动力 系统(同等的或不同等的 ) 分别从不同的初始条件出发,随着时间的推移,两者轨线的某一 给定属性逐渐趋于一致 .根据要求趋于一致的属性的不同,
13、同步问题在过去的十年中主要 研究的有 ; 完全同步丨 24丨,相同步 5,6,有瑕疵相同步有滞后同步间,间歇滞后同步 7,9,随机同步 10,调整控制同步 11,广义同步 12,13,大体同步 I4等等 .这里我们主 要研究两个同等的动力系统的轨线在相空间的轨迹或状态逐渐趋于一致的同步问题,即完 全同步问题 ( Complete or Identical Synchronization), 另外,根据同步的两个系统之间的关系,同步问题大体又可以分成两类:单向耦合与 双向耦合 ( 具体模型和框架见下一节 ).单向耦合又可以说是驱动 -响应模式的同步框架,它 是由主从关系的两个子系统组成,其中的一
14、个子系统自由演化,并驱动着另一个系统的演 化 .这里的响应系统便是从系统,它通常由混沌的主系统的一部分信号所驱动 .而双向耦 合同步的两个系统相互驱动,相互耦合 . 4 复旦大学硕士毕业论文 5 (1.1) 下面我们给出两个非线性系统同步的简单定义: 定义 1.1.1.考察下列两个耦合非线性动力系统 x = Fx, y) y = G(x,y)7x,y)RnxRn 当满足 _ ; !/ 丨丨 =0,我们就说状态变量 ;r和 y或两系统可实现同步 . 值得注意的是,在实际应用中我们有时无法获取状态变量的值,即状态变量并不是可 观测量,这时我们需要借助于一些可观测的中间变量来实施并定义同步 . 定义
15、 1.1.2.考察下列两个耦合非线性动力系统 (1.2) x = F(x,y) y = Gx, y), (x, y) e Rmi x 当满足 ) Qi( y( t) ) = 0 ,i = l,2, m,我们就说状态变量 a:和 y或两系统 在 可 观 測 变 量 ( 九 氏 (, Q2, Qw)意义下可实现同步 其中 ,知 .,为状 态变量 ;r 6 iT11的 标 量 函 数 , 为 狀 态 变 量 穿 的 标 量 為 数 , 且 他 们 分 别为两系统的可观測量 . 由上面的定义可以看出,当两个系统的维数不一样时,我们无法通过刻画这两个系统 的轨迹的距离渐进趋近于零来定义同步,我们就通过一
16、个标量函数映射的值来进行衡量同 步的数学意义 把这种数学思想推广,下面我们还将给出适用于各种同步的数学上的严格 定义,其主要思想还是通过在两个系统之间构造一个桥梁,使得有一个间接的衡量标准来 定义所谓的两者的轨迹逐步趋于一致的概念 .例如,我们可以在两个子系统之间构造一个 坐标空间作为桥梁,分别通过两个向量函数把两个子空间的轨迹映射到这个坐标空间上 . 具体定义如下: 定义 1.1.3.考察下列两个耦合非线性动力系统 V Fx,y) G(x, y), (x, y) E Rmi x Rm2 (1.3) 定义一个整体桌统状态变量 w = Rmi+m2,记上述两个皋统的轨迹集合分别为 么 (峋 ),
17、八 (OJ0) C为 给 定 的 初 值 人 恥 : 4 : Rd, A : Rd x Rd 当 满 足 办 ( 八 ) = 0 , 我 们 就 说 两 系 统 在 同 步 函 數 / i意义下可实现同步 . 复旦大学硕士毕业论文 通过选择不同的办, /I函数,我们可以定义不同类型的同步 .关于同步的最初的数 学定义可见文献1轧 Brown和 Kocarevie丨也给出一个类似的数学定义 .其主要的思想同 样是把两个同步的系统看成是由一个统一的系统分成的两个子系统,这样这两个子系统的 轨迹的同步就可以在统一的相空间中研究并定义最近,文献 17中,提供了一个更为简 洁直接的数学思想,它把同步的两
18、个系统之间的驱动响应关系看成是状态变量之间的 一一 映射关系,这样我们无需构造一个间接的桥梁,只需把这个映射关系着作两个系统之间的 一个直接的桥梁,而两系统的同步概念就可以刻画成这个映射关系的连续性上 .这样我们 就可以用连续性定义的数学语言来定义广义的同步概念 . 第二节同等系统完全同步的主要框架 正如上 一节臓,我们主要研究两个同等的动力系统的状态逐渐趋于一致的同步问题, 即完全同步问题 ( CS),又叫常规同步 18或同等同步 .尽管根据耦合的方式,同步的框架大 体分为双向耦合和单向耦合 (驱动 -响应耦合 ).目前被讨论的同步耦合框架主要有: PC耦合 框架的 (;扱和。 8 1最早介
19、绍的方法丨 4, 19,20),负反馈方法丨 21,偶发驱动方法 22130 框架 ( Activepassive decomposition)丨 23,24,扩散耦合和一些其他的混合方法 25. 下面我们主要讨论 PC耦合框架, APD框架和双向耦合三种常用的同步框架 . 1 PC框架 考虑如下混沌动力系统: Z = F(Z) (1.4) 其中 s Z = 72, 我们假设动力系统 %?具有驱动可分性,即可分解为下列 3个子系统: U = f(u, v driver v-g(u,v) J (L5) w = h(u, w) response, 这里, u = uy,u2,.,um e Rm,v
20、 = e R(, n = m + A -f- _ 复旦大学硕士毕业论文 _ _ 7 (un 方程 #的第一部分就定义为驱动系统部分,第二部分定义为响应系统部分,它可以 看成由驱动系统部分的驱动信号 U所驱动 当 g三 h时,这个框架又叫做同源驱动框架 . 在这个框架中,完全同步可以定义为系统的响应系统部分 W与一个复制的响应系统 W(满 足方程 V = h(u, W ) ) 之 间 的 渐 进 一 致 , 即 =0,这里 e E |w wf|丨为同步 误差 .注意这里复制的响应系统与原来系统的响应系统部分都由驱动信号 u 所驱动 . 例如,我们可以考察熟悉的 Lorenz系统,我们可以复制其中
21、的一部分作为响应系统: x = cry x) y = xz + TX y i : xy _ bz driver, yf = xzf + rx yf z* = xyf bz* responsey (1.6) 看得出来,这个结构是同源驱动结构,驱动信号为 ( y), 这种分解的主从系统是可以 实现完全同步的,因为所有的条件 Lyapunov指数都为负值 ( 具体见下一节的讨论 ).值得注 意的是,这里的分解并不是唯一的 s并且并不是每一种分解都可以实现完全同步的,如当 状态变量 作为驱动变量时,就不能实现完全同步 26. 2 API)框架 这种方法把一个自治的混沌系统改写为非自治的形式: X =
22、F(X,S(t) (1.7) 这里 F : Rs 是驱动信号 , s = WX)或 = /i(X),其主要目的是在原来系 统的基础上分离出一部分作为驱动信号,井用它来驱动两个同等的混沌系统从而达到完全 同步 由前面知道, PC结构为了能够实现同步,我们往往要对原系统做恰当的分解,其 选择余地通常比较小,而结构对驱动信号 s 的选择相对来说较为自由,从而使得 这种方法更具一般性 . 同样,以 Lorenz系统为例: X -l J + s(t) i y = 28x xz y ( 1 .8) z =. xy _ _ 复旦大学硕士毕业论文 _ _ 8 这里 , X = y, z)外 ) =/i(X)
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