多元分析常用统计量与均向量统计推断.doc
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1、多元统计分析方法一、多元分析常用统计量例1.1 调查某地16岁中学生12名,其身高、体重和胸围资料见下表。表1.1 12名16岁中学生身高、体重和胸围测量资料编号身高(cm)体重(kg)胸围(cm)1171.058.581.02175.065.087.03159.038.071.04155.345.074.05152.035.063.06158.344.575.07154.844.574.08164.051.072.09165.255.079.010164.546.071.011159.148.072.512164.246.573.0单变量时,对每个变量分别计算和。多变量时,则计算每个变量的均
2、数、方差以及变量间的协方差。为了清晰表达多变量间的关系,常用矩阵(matrix)表示。构成矩阵的每个数据称为元素(element)。这里称为均向量、方差协方差矩阵。1. 均向量(means vector)将各变量的均数用矩阵形式排列,称为均向量。如本例均向量为三维列向量: 其转置向量为三维行向量:更一般地:观测对象12n 则样本均向量为:2. 方差协方差矩阵(简称协方差矩阵或协差阵)本例:第1个变量方差为:本例共三个方差第1个变量与第2个变量的协方差为: 本例共三个协方差。为了全面反映这三个变量本身的变异和三个变量间的协变异,可将其方差和协方差用矩阵形式排列,称方差协方差矩阵,简称协差阵。记为
3、V(See P.2)。显然,。即协差阵为对称阵。常给出矩阵的左下半,称为下三角阵。一般地,如n个观察单位测量了m个变量,则样本协差阵为维的对称阵。记为: 其中:对角线上为各变量的方差:,对角线两侧为变量间的协方差:,可见,方差为协方差的特例,或协方差为更一般的形式。3. 离均差平方和与离均差积和矩阵(离差阵)将各变量的离均差平方和与离均差积和用矩阵排列,该矩阵称为离差阵(SSCP)。用SS或L表示。与V的关系为:或4. 相关系数矩阵(相关阵)与的相关系数为:变量本身的相关系数为1,因此:将各变量间的相关系数用矩阵形式排列,称相关阵。记为R(See P.3)。一般地,n个观察对象有m个变量,则有
4、维的样本相关阵:其中: 如事先对每个变量做标准化变换,则变换后变量的协差阵等于原变量的相关阵。5. 总体均向量与协差阵用 m 表示总体均向量,记为 用表示总体协差阵,维的总体协差阵记为其中,为第i个变量的总体方差,为第i个变量与第k个变量的总体协方差。二、均向量的统计推断1. 多元T检验(Hotelling检验)(1) Student-t检验的简单回顾 检验一样本是否来自某已知总体设有某正态总体N,现有一大小为n的样本,其均数和标准差分别为和S。是总体均数的估计值。问此样本是否来自均数为的总体?,检验水准为t服从于自由度为n -1的t分布。,在水准拒绝;,在水准上不拒绝。在成立的条件下,也可根
5、据F分布作出统计推断。此时,。 检验两样本是否来自同一总体设两样本来自两个具有公共方差的总体和 ,两样本有关指标分别为和。,检验水准为t服从于自由度为的t分布。如,在水准上拒绝; 如,在水准上不拒绝。在成立的条件下,此时,在许多医学问题中,做假设检验时(如检验两样本是否来自同一总体时)所依据的指标可能不只一个。例如:儿童生长发育:身高、体重、头围、胸围血压: 收缩压、舒张压甲状腺功能: 血脂: 总胆固醇、甘油三酯风湿或类风湿: 血沉、抗“O”、WBC计数编号血沉()抗“O”()WBC()风湿: 1 2 类风湿: 1 2 若仍用t检验,有几个问题:(1) 重复进行t检验,增加犯I型错误的概率。(
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