2009届高三数学第二轮专题复习教案:平面向量.pdf
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1、2009 届高三数学二轮专题复习教案平面向量 一、本章知识结构:二、重点知识回顾 1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向.2.向量的表示方法:用有向线段表示;用字母a、b等表示;平面向量的坐标表示:分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得axiyj,),(yx叫做向量a的(直角)坐标,记作(,)ax y,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,特别地,i(1,0),j(0,1),0(0,0)。22axy;若),(11yxA,),(22yxB,则1212,yyxxAB,222
2、121()()ABxxyy 3.零向量、单位向量:长度为 0 的向量叫零向量,记为0;长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量.(注:|aa就是单位向量)4.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量;我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行,记作abc.共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量.5.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。向量的减法向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差。即:a b=a+(b);差向量的意义:OA=a,OB=b,则BA=a b 平 面 向 量 的 坐
3、 标 运 算:若11(,)ax y,22(,)bxy,则ab),(2121yyxx,ab),(2121yyxx,(,)axy。向量加法的交换律:a+b=b+a;向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c)7实数与向量的积:实数与向量a的积是一个向量,记作:a(1)|a|=|a|;(2)0 时a与a方向相同;0 时a与a方向相反;=0 时a=0;(3)运算定律 (a)=()a,(+)a=a+a,(a+b)=a+b 8 向量共线定理 向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是:有且只有一个非零实数,使b=a。9平面向量基本定理:如果1e,2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内
4、的任一向量a,有且只有一对实数1,2 使a=11e+22e。(1)不共线向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不惟一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a在给出基底1e、2e的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式惟一.1,2 是被a,1e,2e唯一确定的数量。10.向量a和b的数量积:ab=|a|b|cos,其中0,为a和b的夹角。|b|cos称为b在a的方向上的投影。ab的几何意义是:b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积,是一个实数(可正、可负、也可是零),而不是向量。若a=(1x,1y),b=(x2,2y),则2121yyxxba 运算律:a b=ba,
5、(a)b=a(b)=(ab),(a+b)c=ac+bc。a和b的夹角公式:cos=a bab222221212121yxyxyyxx 2aaa|a|2=x2+y2,或|a|=222ayx|ab|a|b|。11两向量平行、垂直的充要条件 设a=(1x,1y),b=(2x,2y)abab=0,baab=1x2x+1y2y=0;ba/(a0)充要条件是:有且只有一个非零实数,使b=a。向量的平行与垂直的坐标运算注意区别,在解题时容易混淆。12.点 P 分有向线段21PP所成的比的:21PPPP,P 内分线段21PP时,0;P 外分线段21PP时,0.定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式:1
6、12121yyyxxx 1、222121yyyxxx、)3,3(321321yyyxxx 三、考点剖析 考点一:向量的概念、向量的基本定理【内容解读】了解向量的实际背景,掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念,理解向量的几何表示,掌握平面向量的基本定理。注意对向量概念的理解,向量是可以自由移动的,平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小,它们的模可比较大小。如果1e和2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a有且只有一对实数1、2,使a=11e+22e.注意:若1e和2e是同一平面内的两个不共线向量,【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命
7、题,主要以选择题或填空题为主,考查的难度属中档类型。例 1、(2007 上海)直角坐标系xOy中,ij,分别是与xy,轴正方向同 向 的 单 位 向 量 在 直 角 三 角 形ABC中,若jkiACjiAB3,2,则k的可能值个数是()1 2 3 4 解:如图,将 A 放在坐标原点,则 B 点坐标为(2,1),C点坐标为(3,k),所以 C 点在直线 x=3 上,由图知,只可能 A、B 为直角,C 不可能为直角所以 k 的可能值个数是 2,选 B 点评:本题主要考查向量的坐标表示,采用数形结合法,巧妙求解,体现平面向量中的数形结合思想。例 2、(2007 陕西)如图,平面内有三个向量OA、OB
8、、OC,其中与OA与OB的夹角为120,OA与OC的夹角为 30,且|OA|OB|1,|OC|32,若OCOA+OB(,R),则+的值为 .解:过 C 作OA与OC的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由角 BOC=90角 AOC=30,OC=32得平行四边形的边长为 2 和 4,2+4=6 点评:本题考查平面向量的基本定理,向量 OC 用向量 OA 与向量OB 作为基底表示出来后,求相应的系数,也考查了平行四边形法则。考点二:向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算,会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算,理解两个向量共线的含义,会判断
9、两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算,体会平面向量的数量积与向量投影的关系,并理解其几何意义,掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量积的运算,能运用数量积表示两个向量的夹角,会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现,难度不大,考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算,有时也会与其它内容相结合。例 3、(2008 湖北文、理)设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)c=()A.(15,12)B.0 C.3 D.11 解:(a+2b)(1,2)2(3,4)(5,6),(a+2b)c(5,6)(3,2)3 ,
10、选C 点评:本题考查向量与实数的积,注意积的结果还是一个向量,向量的加法运算,结果也是一个向量,还考查了向量的数量积,结果是一个数字。例 4、(2008 广东文)已知平面向量),2(),2,1(mba,且ab,则ba32=()A(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)解:由ab,得 m4,所以,ba32(2,4)(6,12)(4,8),故选(C)。点评:两个向量平行,其实是一个向量是另一个向量的倍,也是共线向量,注意运算的公式,容易与向量垂直的坐标运算混淆。例 5、(2008 海南、宁夏文)已知平面向量a=(1,3),b=(4,2),ab与a垂直,则是()A.1
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