2017年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案5168.pdf
《2017年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案5168.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2017年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案5168.pdf(12页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、 1 ()2017 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛 暨 2017 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间:2017 年 5 月 21 日上午 9:0011:30,满分 160 分)一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上)1.已知集合 A x log2(x 1)1 ,B x x a 2 ,若 A B ,则实数 a 的 取值范围为 。【答案】(1,5)【解答】由log2(x 1)1,得0 x 1 2,1 x 3,A (1,3)。由 x a 2,得2 x a 2,a 2 x a 2,B (a 2,a 2)。若 A B ,则a 2 1或a 2
2、 3,a 1 或a 5。A B 时,a 的取值范围为(1,5)。2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且函数 y f(x)x3,则 f(9)。2【答案】1 8 f(x 1)为偶函数,当1 x 0 时,【解答】由函数 y 又 f(x)为奇函数,f(x 1)为偶函数,知 f(x 1)f(x 1)。f(x 2)f(x)f(x),f(x 4)f(x 2)f(x)。f(9)f(1)f(1)(1)3 1。2 2 2 2 8 3 已 知 an为 等 比 数 列,且 a1a2017 1,若 f(x)2,则 1 x2 f(a1)f(a2)f(a3)【答案】2017 f(a2017)。2 1 2 2 2 2
3、x2【解答】由 f(x)1 x2 知,f(x)f(x)1 x2 an 为等比数列,且a1a2017 1,1 1 2 x 2。1 x2 x2 1 a1a2017 a2a2016 a3a2015 a2017 a1 1。f(a1)f(a2017)f(a2)f(a2016)f(a3)f(a2015)f(a2017)f(a1)2。2 f(a1)f(a2)f(a3)f(a2017)f(a1)f(a2017)f(a2)f(a2016)f(a3)f(a2015)f(a2017)f(a1)2 5 2 7 O 1 D B O 5 1 2 2017。f(a1)f(a2)f(a3)f(a2017)2017。4.将 8
4、 个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁 4 个班级,每班至少 1 个名额,则甲班恰好 分到 2 个名额的概率为 。【答案】2 7【解答】将 8 个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁 4 个班级,每班至少 1 个名额的不同 分配方案有C3 35 种。(用隔板法:将 8 个名额排成一排,在它们形成的 7 个空挡中插入 3 块隔板,则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式,反之亦然。)其中,甲班恰好分到 2 个名额的分配方案有C 2 10 种。(相当于将 6 个名额分配个 3 个 班级,每班至少 1 个名额。)所以,所求的概率为10 2。35 7 5.三棱锥 P ABC 中,ABC 是边长为2 的等边三角形
5、,PB PC ,且二面角 P BC A 的大小为45,则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 。【答案】25【解答】如图,取 BC 中点 D,连 AD,PD。由ABC 是边长为2 的等边三角形,PB PC 5 知,AD BC,PD BC,PD 。P PDA 为 二 面 角 P BC A 的 平 面 角,PDA 45,BC 面 PAD,面 PAD 面 ABC。作 PO1 AD 于O1,则 PO1 面 ABC。PO1 O1D 1,O1 A 2,O1 为ABC 的外心,三 A C 棱锥 P ABC 为正三棱锥。设三棱锥 P ABC 外接球的球心为O,半径为 R。则O 在直线 PO1 上,且 PO1
6、 PO 2 O A2 OA2。(R 1)2 22 R2,R 5,三棱锥 P ABC 的外接 2 球的表面积为4 R2 25。x2 y2 6.已知 P 为双曲线C:4 12 1上一点,F1、F2 为双曲线C 的左、右焦点,M、I 分 别为PF1F2 的重心、内心,若M I x 轴,则PF1F2 内切圆的半径为 。【答案】3 3 6 3 6 6 6 6 1 2 1 2 【解答】如图,不妨设点 P 在第一象限,D、E、F 分别为I 与PF1F2 三边相切的切 点。则由切线长定理以及双曲线定义,得 2a PF1 PF2 (PF FF1)(PE EF2)FF1 EF2 F1D F2 D (xD c)(c
7、 xD)2xD xD a 2,xM xI xD 2。设 P(x0 ,y0),由 M 为 PF1F2 重 心,知 x0 3xM 6,y0 4。PF2 PF1 14,10。设PF1F2 内切圆半径为r,则 SPF F 1(2 PF1 PF2 F1F2 )r 16r。另一方面,SPF F 1 2 F1F2 y0 1 8 4 2 16。16r 16,r 。7.在 ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是a、b、c,且sin C cos A (2 cos C)sin A,2 2 cos A 3,a 4,则ABC 的面积为。5【答案】6【解答】由sin C cos A (2 cos C)sin A,知
8、2sin C cos2 A 2(2 A A cos C)sin cos 2 2 2 2 2 sin C(1 cos A)(2 cos C)sin A,sin C sin C cos A 2 sin A cos C sin A。sin C sin C cos A cos C sin A 2 sin A,sin C sin(C A)2 sin A。sin C sin B 2 sin A,即c b 2a。又cos A 3,a 4。5 42 b2 c2 2bc cos A,即42 b2 (8 b)2 2b(8 b)3,解得b 3 或b 5。5(6 4)2 (4 6 0)2(6 4)2 (4 6 0)2
9、 6。4 12 x 2x 7 12 x 2x 7 3 12 x 2 3 2x 7 3 2 12 x 2 b 3 b 5 c 5,或 c 3。ABC 的面积 S 1 bc sin A 1 3 5 4 6。2 2 5 8.若关于 x 的方程 x2 ax b 3 0(a,b R)在区间1,2 上有实根,则a2 (b 4)2 的最小值为 。【答案】2【解答】由 x2 ax b 3 0 知,b x2 ax 3。a2 (b 4)2 a2 (x2 ax 1)2 a2 (x2 1)2 2ax(x2 1)a2x2 (x2 1)(x2 1 2ax a2)(x2 1)(x a)2 x2 1。x 1,2,a2 (b
10、4)2 x2 1 2,当 x 1,a 1,b 3 时,等号成立。a2 (b 4)2 的最小值为 2。9.函数 f(x)【答案】11 44 x 的最大值为 。【解答】由柯西不等式知,(44 x)2 (3 2 6 44 x)2 6 (3 2 6)(2x 7 12 x 44 x)112。3 2 6 当且仅当 ,即 9 4 36,x 8 时等号成立。2x 7 12 x 44 x f(x)的最大值为 11。10.A、B、C 为圆O 上不同的三点,且AOB 120,点C 在劣弧 AB 内(点C 与 A、B不重合),若OC OA OB(,R),则 的取值范围为 。【答案】1,2【解答】如图,连结OC 交 A
11、B 于点 D。C 设OD mOC,则由OC OA OB,得 A B OD m OA m OB。E D A、D、B 三点共线,O m m 1,1。m 不妨设圆的半径为 1,作OE AB 于 E,由AOB 120,知 2x 7 6 44 x 6 5 OE 1。2 OD OE 1,且点C 在劣弧 AB 内(点C 与 A、B 不重合),2 1 m 1。于是,1 2。2 的取值范围为1,2。另解:如图,以O 为原点,线段 AB 的垂直平分线所在直线为 y 轴建立直角坐标系。不妨设圆O 半径为 2,则由AOB 120,知 A(设C(2 cos,2 sin )。则由OC OA OB,得 3,1),B(3,1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2017 全国 高中数学 联赛 福建 赛区 预赛 福建省 竞赛 试卷 参考答案 5168
链接地址:https://www.deliwenku.com/p-83498374.html
限制150内