(人教版)2018年中考数学_拓展题型_二次函数综合题(有答案)32562.pdf
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1、目 录 拓展题型 二次函数综合题.1 拓展一 二次函数与线段和差问题.1 拓展二 二次函数与三角形面积问题.6 拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题.15 拓展四 二次函数与特殊三角形判定问题.25 拓展题型 二次函数综合题 拓展一 二次函数与线段和差问题 针对演练 1.(2016 贺州 10 分)如图,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC 上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线yax2bxc经过O,A,E三点(1)求此抛物线的解析式;(2)求AD的长;(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当PAD的周长最小时,求点P的坐
2、标 第 1 题图 2.(2016 大连 12 分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线 yx214与y轴相交于点A,点B与点O关于点A对称(1)填空,点B的坐标是_;(2)过点B的直线ykxb(其中k0)与x轴相交于点C,过点C作直线l平行于y轴,P是直线l上一点,且PBPC.求线段PB的长(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上,说明理由;(3)在(2)的条件下,若点C关于直线BP的对称点C恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P的坐标 第 2 题图 3.如图,抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且
3、OF2,EF3.(1)求抛物线的解析式;(2)连接CB交EF于点M,再连接AM交OC于点R,连接AC,求ACR的周长;(3)设G(4,5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作PHEF于点H,连接AP,GH,问APPHHG是否有最小值?如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由 第 3 题图 备用图 【答案】1解:(1)四边形OABC是矩形,B(10,8),A(10,0).(1 分)又抛物线yax2bxc经过点A(10,0)、E(6,8)和O(0,0),22101006680abcabcc,解得131030abc ,抛物线的解析式为y13x2103x;(3 分)(2)由题意可知:ADED,
4、BE1064,AB8,(4 分)设AD为x,则EDx,BDABAD8x,在 RtBDE中,ED2EB2BD2,即x242(8x)2,(5 分)解得x5,即AD5;(6 分)(3)由(2)可知,D点的坐标是(10,5),PAD的周长lPAPDADPAPD5,(7 分)抛物线的对称轴是线段OA的垂直平分线,点P是抛物线对称轴上的一动点,POPA,lPAPD5POPD5,当POPD最小时,PAD的周长l最小,即当点P移动到直线OD与抛物线对称轴的交点处时POPD最小,(8 分)设直线OD的解析式为ykx,将D点坐标(10,5)代入得:510k,解得k12,直线OD的解析式为y12x,(9 分)当x5
5、 时,y52,P点的坐标是(5,52)(10 分)2解:(1)(0,12);(2 分)【解法提示】由yx214得:A(0,14),点B、O关于点A对称,B(0,12)(2)直线BC过点B(0,12),直线BC解析式为ykx12,(3 分)C(12k,0),又P是直线l上一点,可设P(12k,a)如解图,过点P作PNy轴,垂足为N,连接PB,第 2 题解图 则在 RtPNB中,由勾股定理得:PB2PN2NB2,PBPCa,a2(12k)2(a12)2,(5 分)解得a21144k,PB21144k,P点坐标为(12k,21144k),(6 分)当x12k时,y21144k,点P在抛物线上;(7
6、分)(3)如解图,由C在y轴上,可知CBPCBP,第 2 题解图 PBPC,CBPPCB,PCCB,PCBABC,CB PCBPABC60,PBC为等边三角形,OB12,BC1,OC32,PC1,P(32,1)(12 分)3解:(1)四边形OCEF为矩形,且OF2,EF3,C(0,3),E(2,3),将C(0,3),E(2,3)代入抛物线解析式yx2bxc得,3423cbc,解得23bc,抛物线的解析式为yx22x3;(2)由(1)得yx22x3,令y0,得x22x30,解得x11,x23,A(1,0),B(3,0),AO1,BO3,又C(0,3),OC3,在 RtAOC中,由勾股定理,得AC
7、2210AOOC,COBO3,OF2,OBCOCB45,AF3,BF1,MFBF1,ROMF,AROAMF,ROAOMFAF,113RO,解得RO13,CR31383,在 RtAOR中,AR221101()33,ACR的周长为 108310384 103;(3)存在点P,使得APPHHG的值最小 如解图,取OF中点A,连接AG交直线EF的延长线于点H,过点H作HPy轴于点P,连接AP,此时,APPHHG的值最小,第 3 题解图 设直线AG的解析式为ykxa,将A(1,0),G(4,5)代入得,045kaka,解得5353ka,直线AG的解析式为y53x53,令x2,得y1035353,点H的坐
8、标为(2,53),符合题意的点P的坐标为(0,53)拓展二 二次函数与三角形面积问题 针对演练 1.(2016 永州 12 分)已知抛物线yax2bx3 经过(1,0),(3,0)两点,与y轴交于点C,直线ykx与抛物线交于A,B两点(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式;(2)当原点O为线段AB的中点时,求k的值及A,B两点的坐标;(3)是否存在实数k使得ABC的面积为3 102?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由 第 1 题图 2.(2015 攀枝花)如图,已知抛物线yx2bxc与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相
9、交于点M,连接PB.(1)求该抛物线的解析式;(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得BCD的面积最大?若存在,求出D点坐标及BCD面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q,使得QMB与PMB的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由 第 2 题图 3.(2015 桂林)如图,已知抛物线y12x2bxc与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒 1 个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒 1 个单位长度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动(1)直接
10、写出抛物线的解析式:_;(2)求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,CED的面积最大?最大面积是多少?(3)当CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使PCD的面积等于CED的最大面积,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由 第 3 题图 4.(2016 常州 10 分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数yx与二次函数yx2bx的图象相交于O、A两点,点A(3,3),点M为抛物线的顶点(1)求二次函数的表达式;(2)长度为 2 2的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动,分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1,求四边形PQQ1P1面积
11、的最大值;(3)直线OA上是否存在点E,使得点E关于直线MA的对称点F满足SAOFSAOM?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由 第 4 题图 【答案】1解:(1)令x0,得y3,C(0,3),把(1,0)和(3,0)代入yax2bx3 中,得 309330abab,解得12ab,抛物线的解析式为yx22x3;(3 分)(2)联立方程组223yxxykx,解得212212416224162kkkxkkk kky,222222416224162kkkxkkk kky,O是AB的中点,x1x20,即2224162416022kkkkkk 解得k2,1132 3xy 或2232 3xy,A(
12、3,2 3),B(3,2 3);(7 分);(3)不存在实数k使得ABC的面积为3 102.理由如下:假设存在实数k使得ABC的面积为3 102,联立方程组223yxxykx,解得 212212416224162kkkxkkk kky,222222416224162kkkxkkk kky,则A(22224162416,22kkkkkk kk),B(22224162416,22kkkkkk kk),SABC12OC(xBxA)3 102,1232416kk3 102,k24k1610,即k24k60,b24ac16240,此方程无解,不存在实数k使得ABC的面积为3 102.(12 分)2 解:
13、(1)把点A(1,0),B(3,0)代入yx2bxc,得10930bcbc ,解得23bc,yx22x3;【一题多解】由题意可知点A(1,0),点B(3,0)是抛物线与x轴的两个交点,抛物线解析式为y(x1)(x3)x22x3.(2)存在点D,使得BCD的面积最大 设D(t,t22t3),如解图,作DHx轴于点H,C点坐标为(0,3),第 2 题解图 则SBCDS四边形DCOHSBDHSBOC12t(t22t33)12(3t)(t22t3)123332t292t,320,即抛物线开口向下,在对称轴处取得最大值,当t922(32)32时,SBCD32(32)29232278,即点D的坐标为(32
14、,154)时,SBCD有最大值,且最大面积为278;(3)存在点Q,使得QMB与PMB的面积相等 如解图,P(1,4),过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一,第 2 题解图 直线BC为yx3,过点P作BC的平行直线l1,设l1为yxb,将P(1,4)代入即可得到直线l1的解析式为yx5,联立方程组2523yxyxx ,解得1123xy,2214xy,Q1(2,3);直线PM为x1,直线BC为yx3,M(1,2),设PM与x轴交于点E,PMEM2,过点E作BC的平行直线l2,则过点E且与BC平行的直线l2与抛物线的交点也为所求Q点之一,即将直线BC向下平移 2 个单位得到直线l
15、2,解析式为yx1,联立方程组2123yxyxx ,解得1131721172xy,2231721172xy,Q2(317117,22),Q3(317117,22),满足条件的Q点为Q1(2,3),Q2(317117,22),Q3(317117,22)3解:(1)y12x23x8;【解法提示】把点A(0,8)、B(8,0)代入y12x2bxc可得,83280cbc,解得38bc,抛物线解析式为y12x23x8.(2)在y12x23x8 中,当y0 时,12x23x80,解得x12,x28,E(2,0),BE10,SCED12DEOC,S12t(10t)12t25t,S与t的函数关系式为:S12t
16、25t,S12t25t12(t5)2252,当t5 时,CED的面积最大,最大面积为252;(3)存在,当CED的面积最大时,t5,即BDDE5,此时,要使SPCDSCED,CD为公共边,故只需求出过点B、E且平行于CD的直线即可,如解图 第 3 题解图 设直线CD的解析式为ykxb,由(2)可知OC5,OD3,C(0,5),D(3,0),把C(0,5)、D(3,0)代入ykxb,得530bkb,解得535kb,直线CD的解析式为y53x5,DEDB5,过点B且平行于CD的直线解析式为y53(x5)5,过点E且平行于CD的直线解析式为y53(x5)5,分别与抛物线解析式联立得:方程:12x23
17、x853(x5)5,解得x18,x243,方程:12x23x853(x5)5,解得x3343,x42(舍去),分别将x值代入抛物线解析式,得y10,y21009,y32009,又P点不与E点重合,满足题意的P点坐标有 3 个,分别是P1(8,0),P2(43,1009),P3(343,2009)4解:(1)由题意知,A(3,3)在二次函数yx2bx的图象上,将x3,y3 代入得 93b3,解得b2,二次函数表达式为yx22x;(2 分)(2)如解图所示,过点P作PBQQ1于点B,第 4 题解图 PQ2 2,且在直线yx上,PBQB2,(3 分)设P(a,a),则Q(a2,a2),P1(a,a2
18、2a),Q1(a2,(a2)22(a2),即Q1(a2,a22a),四边形PQQ1P1的面积为:22(2)(22)22aaaaaaS 2a22a22(a12)252,(4 分)当Q运动到点A时,OPOQPQ 2,a1,a的取值范围为 0a1,当a12时,四边形PQQ1P1的面积最大,最大值为52;(5 分)(3)存在,点E的坐标为E1(43,43),E2(143,143),如解图所示,连接OM,第 4 题解图 点M为抛物线顶点,M(1,1),又OA所在直线为yx,OMOA,即AOM90,在AOF和AOM中,以OA为底,当面积相等时,则两三角形OA边上的高相等,又OMOA,且OM 2,可作两条与
19、OA互相平行且距离为 2的直线,(6 分)如解图所示,在直线HD、MC上的点F均满足SAOFSAOM,只需满足E点的对称点F在这两条直线上即可 如解图,过点A作ACMC于点C,易得四边形OACM为矩形,AM为该矩形的一条对角线,取AM中点O,过O作AM垂线,交OA于点E1,交MC于点F1,OA3 2,2222(3 2)(2)2 5AMOAOM,AO 5,AOE1AOM,(7 分)11AEAOOEAOAOAMAM,13 253 22 5OE,解得OE14 23,点E1在yx上,E1(43,43),(8 分)同理可得HF2GE24 23,又OG2OA6 2,OE26 24 2314 23,E2(1
20、43,143)综上所述,符合条件的E点的坐标为:E1(43,43)、E2(143,143)(10 分)拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题 针对演练 1.(2016 茂名 8 分)如图,抛物线yx2bxc经过A(1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;(2)点P是线段BD上一点,当PEPC时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,过点P作PFx轴于点F,G为抛物线上一动点,M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时,请求出点M的坐标 第 1
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- 人教版 2018 年中 数学 拓展 题型 二次 函数 综合 答案 32562
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