高中数学联赛模拟试题38600.pdf
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1、2017 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试(时间:8:00-9:20 满分:120)一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.1.集合,Ax y与31,log(2)Bx恰有一个公共元为正数1x,则AB 2.若函数 23log2af xaxx在区间 1,2上递增,则a的取值范围是_.3.已知02,且tan3tan,则u的最大值为_.4.在单调递增数列 na中,已知12a,24a,且21na,2na,21na成等差数列,2na,21na,22na成等比数列,1,2,3,n.那么,100a_.5.已知点(1,2,5)P是空间直角坐标系Oxyz内一定点,过P作一平面与三坐标
2、轴的正半轴分别交于,A B C三点,则所有这样的四面体OABC的体积的最小值为 6.在ABC中,角,A B C的对边为,a b c,5a,4b,又知31cos()32AB,则ABC的面积为 7.已知过两抛物线21:1(1)Cxy,22:(1)41Cyxa 的交点的各自的切线互相垂直,则实数a的值为 8.若整数,a b既不互质,又不存在整除关系,则称,a b是一个“联盟”数对;设A是集1,2,2014M 的n元子集,且A中任两数皆是“联盟”数对,则n的最大值为 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.9.(本小题满分16分)设数列na满足21131,12nnnaaana求证:(1)当2n
3、时,na严格单调递减(2)当1n 时,212|3|2 31nnnrar,这里23r 10.(本小题满分 20 分)设椭圆22221(0)yxabab与抛物线22(0)xpy p有一个共同的焦点F,PQ为它们的一条公切线,P、Q为切点,证明:PFQF 11.(本小题满分20分)求证:(1)方程310 xx 恰有一个实根,并且是无理数;(2)不是任何整数系数二次方程20(,0)axbxca b cZ a的根 2017 年全国高中数学联赛模拟试题 04 加试(时间:9:40-12:10 满分:180)一、(本小题满分 40 分)如图,在锐角ABC 中,,ABAC D、E 分别是边AB、AC 的中点,
4、ADE 的外接圆与BCE 的外接圆交于点P(异于点E),ADE 的外接圆与BCD 的外接圆交于点Q(异于点D)。求证:APAQ.二、(本小题满分 40 分)求所有素数p,使得12211ppkpk 三、(本小题满分 50 分)设n是一个正整数,1212232,nnna aa b bb c cc是 4n1 个正实数,使得2,1,ijijcabi jn 令22maxiinmc,证明:22321212()()()2nnnmcccaaabbbnnn 四、(本小题满分 50 分)n个棋手参加象棋比赛,每两个棋手比赛一局规定胜者得 1 分,负者得 0分,平局各得分如果赛后发现任何 m 个棋手中都有一个棋手胜
5、了其余m1 个棋手,也有一个棋手输给了其余m1 个棋手,就称此赛况具有性质P(m)对给定的m(m4),求n的最小值f(m),使得对具有性质P(m)的任何赛况,都有所有n名棋手的得分各不相同 2017 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.1.集合,Ax y与31,log(2)Bx恰有一个公共元为正数1x,则AB 解:由于1xx,故1xy由3log(2)1x知1x,又因为10 x,所以1132xxex即3log(2)1xx故只能是11yx,这样0,1A,31,log 2B,得30,1,log 2AB 2.若函数 23log
6、2af xaxx在区间 1,2上递增,则a的取值范围是_.解:()当01a时,只需01,12,140.22aaa,解得1814a.()当1a 时,只需1,10.21,12aaa,解得1a.综上,a的取值范围是1 1,1,8 4.3.已知02,且tan3tan,则u的最大值为_.解:因为02,tan3tan,所以02,tantantan1tantan.所以22tan2tan113tan3tanta33n,u的最大值为6.4.在单调递增数列 na中,已知12a,24a,且21na,2na,21na成等差数列,2na,21na,22na成等比数列,1,2,3,n.那么,100a_.解:因为 na单调
7、递增,10a,所以0na.因为21na,2na,21na成等差数列,2na,21na,22na成等比数列,所以212122222212nnnnnnaaaaaa.因为2222222121222nnnnnnnaaaaaaa,所以222222nnnaaa,数列2na是等差数列.易得36a,49a,所以421aa.所以21nan,221nan,2100512601a.5.已知点(1,2,5)P是空间直角坐标系Oxyz内一定点,过P作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于,A B C三点,则所有这样的四面体OABC的体积的最小值为 解:设此平面的方程为1xyzabc,,0a b c 分别是该平面在,x y z
8、轴上的截距,又点P 在平面ABC内,故1251abc,由于31251 2 513abca b c,即11027abc,得1456OABCVabc当12513abc,即(,)(3,6,15)a b c 时,OABCV的最小值为45 6.在ABC中,角,A B C的对边为,a b c,5a,4b,又知31cos()32AB,则ABC的面积为 解法 1:由等比定理sinsinsinsinsinsinabababABABAB得9(sinsin)1(sinsin)ABAB,故18sincos2sincos2222ABABABAB,即tan9tan22ABAB 因为cos()AB221tan21tan2A
9、BAB,又根据ab知AB,所以7tan221AB,从而 3 7tan27AB,于是7tancot223CAB,3 7sin8C,115 7sin24SabC 解法 2:在边AB内取点1A,使14CACA,则11ACBCA AABCAB 由条件及余弦定理得,221313452 4 5322AB ,进一步有222111119coscos216CAABBCACABCA AB ,因此1193246162cAAAB,295 74 1164ch,所以115 724cSch 7.已知过两抛物线21:1(1)Cxy,22:(1)41Cyxa 的交点的各自的切线互相垂直,则实数a的值为 解:联立曲线12,CC的
10、方程,求得交点坐标为(,11)55aa,由对称性,不妨只考虑交点(,11)55aaA处切线是否垂直:在点A局部,12,CC所对应的解析式分别为1:11Cyx,2:411Cyxa 对1C求导得121yx,对2C求导得(4)224141xyxaxa ,故两条曲线在点A处的斜率分别为1215a与215a,它们垂直当且仅当2111 2155aa,解得0a 8.若整数,a b既不互质,又不存在整除关系,则称,a b是一个“联盟”数对;设A是集1,2,2014M 的n元子集,且A中任两数皆是“联盟”数对,则n的最大值为 解:称这种子集A为“联盟子集”;首先,我们可构造一个联盟子集,其中具有504个元素为此
11、,取2504,505,1007Ak k,以下证,504就是n的最大值今设A是元素个数最多的一个联盟子集,12,nAa aa,若ja是集A中的最小数,显然1ja,如果1007ja,则得22014ja,即2jaM,显然2jaA,(因2ja与ja有整除关系)今在A中用2ja替代ja,其它元素不变,成为子集A,则A仍然是联盟子集,这是由于对于A中异于ja的任一元素ia,因ja与ia不互质,故2ja与ia也不互质;再说明2ja与ia没有整除关系:因jaia,则2jaia;又若2ijaa,设2jiaka,(显然1,2k,否则,ija a有整除关系),则2k,于是ijaa,这与ja的最小性矛盾!因此A仍然是
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