47开放探究型问题1135.pdf
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1、http:/-1-开放探究型问题 一、填空题 1、(2011 年北京四中模拟 28)两个不相等的无理数,它们的乘积为有理数,这两个数可以是 答案:略 二、解答题 1在等边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N,D 为ABC外一点,且60MDN,120BDC,BD=DC.探究:当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时,BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3(I)如图 1,当点 M、N 边 AB、AC 上,且 DM=DN 时,BM、NC、MN 之间的数量关系是 ;此时LQ ;(II)如图 2,点 M、N 边 A
2、B、AC 上,且当 DMDN 时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;(III)如图 3,当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时,若 AN=x,则 Q=(用x、L 表示)PT 与 MN 交于点3Q,3Q点的坐标是(a ,3122a )解:(I)如图 1,BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN 此时 32LQ (II)猜想:结论仍然成立 证明:如图,延长 AC 至 E,使 CE=BM,连接 DE CDBD,且120BDC30DCBDBC 又ABC是等边三角形,http:/-2-90MBDNCD 在MBD与ECD中:DCBDECDMBDCEBM MBDECD
3、(SAS)DM=DE,CDEBDM 60MDNBDCEDN 在MDN与EDN中:DNDNEDNMDNDEDM MDNEDN(SAS)MN=NE=NC+BM AMN的周长 Q=AM+AN+MN =AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC =2AB 而等边ABC的周长 L=3AB 3232ABABLQ.(III)如图 3,当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时,若 AN=x,则 Q=2x+L32 (用x、L 表示)组 三、解答题 1(2011 天一实验学校 二模)已知:如图,直线l:13yxb,经过点 M(0,41),一组抛物线的顶点112233(1)(2)(3
4、)()nnByByByB ny,(n为正整数)依次是直线l上的点,这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是:A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),An+1(xn+1,0)(n为正整数),设101xdd()(1)求b的值;(2)求经过点112ABA、的抛物线的解析式(用含d的代数式表示)(3)定义:若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,则这种抛物线就称为:“美丽抛物线”http:/-3-y O M x n l 1 2 3 1B 2B 3B nB 1A2A3A4AnA1nA 探究:当01dd()的大小变化时,这组抛物线中是否存在美丽抛物线?若存在,请你求出相应的d的值
5、答案:M(0,)41在直线 y=31x+b 上,b=41 由得 y=31x+41,B1(1,y1)在直线 l 上,当 x=1 时,y1=311+41=127 B1(1,127)又A1(d,0)A2(2-d,0)设 y=a(x-d)(x-2+d),把 B1(1,127)代入得:a=-2)1(127d 过A1、B1、A2三点的抛物线解析式为 y=-2)1(127d(x-d)(x-2+d)(或写出顶点式为 y=-2)1(127d(x-1)2+127)存在美丽抛物线。由抛物线的对称性可知,所构成的直角三角形必定是以抛物线为顶点为直角顶点的等腰直角三角形,此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半,又0d
6、1,等腰直角三角形斜边的长小于 2,等腰直角三角形斜边上的高必小于 1,即抛物线的顶点的纵坐标必小于1。当 x=1 时,y1=311+41=1271;当 x=2 时,y2=312+41=12111 美丽抛物线的顶点只有 B1B2.http:/-4-第 2 题 若 B1为顶点,由 B1(1,127),则 d=1-127=125 若 B2为顶点,由 B2(2,1211),则 d=1-1)12112(=1211 综上所述,d 的值为125或1211时,存在美丽抛物线。(2011 年杭州市西湖区模拟)(本题 12 分)矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示,A、C两点的坐标分别为(6,0)A、(0,
7、3)C,直线34yx与BC边相交于点D.(1)若抛物线2(0)yaxbx a经过D、A两点,试确定此抛物线的表达式;(2)若以点A为圆心的A与直线OD相切,试求A的半径;(3)设(1)中抛物线的对称轴与直线OD交于点M,在对称轴上是否存在点Q,以Q、O、M为顶点的三角形与OCD相似,若存在,试求出符合条件的Q点的坐标;若不存在,试说明理由.答案:(1)解 xyy433 得 D 点的坐标为 D(4,3)抛物线bxaxy2经过 D(4,3)、A(6,0),可得xxy49832 (2)CD=4,OC=3,OD=53432.sinCDO=53,过 A 作 AHOD 于 H,则 AH=OAsinDOA=
8、653=518=3.6,当直线 OD 与A 相切时,r=3.6.8 分(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点 Q1,则点 Q1符合条件.CBOA,Q1OM=ODC,RtQ1OM RtCDO.对称轴x=32ab,Q1点的坐标为 Q1(3,0).http:/-5-又过 O 作 OD 的垂线交抛物线的对称轴于点 Q2,则点 Q2也符合条件.对称轴平行于y轴,Q2MO=DOC,RtQ2MORtDOC.在 RtQ2Q1O 和 RtDCO 中,Q1O=CO=3,Q2=ODC,RtQ2Q1ORtDCO,CD=Q1Q2=4,Q2位于第四象限,Q2(3,-4).因此,符合条件的点有两个,分别是 Q1(3,0),Q2
9、(3,-4).(2011 灌南县新集中学一模)如图,已知直角梯形 ABCD 中,ADBC,ABC90,ADAB3,BC4,动点 P 从 B 点出发,沿线段 BC 向点 C 作匀速运动;动点 Q 从点D 出发,沿线段 DA 向点 A 作匀速运动过 Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M,交 BC于点 NP、Q 两点同时出发,速度都为每秒 1 个单位长度,当 Q 点运动到 A 点,P、Q两点同时停止运动设点 Q 运动的时间为 t 秒(1)求 NC、MC 的长(用含 t 的代数式表示);(2)当 t 为何值时,四边形 PCDQ 构成平行四边形?(3)是否存在某一时刻 t,使射线 QN 恰好将A
10、BC 的面积和周长同时平分?若存在,求出此时 t 的值;若不存在,请说明理由;(4)探究:t 为何值时,PMC 为等腰三角形?答案:解:(1)由题意知,四边形 ABNQ 为矩形,BNAQ3t NCBCBN4(3t)1t 在 RtABC 中,AC 2AB 2BC 23 24 225,AC5 在 RtMNC 中,cosMCNMCNCACBC54 MC45(1t)(2)QDPC,当 QDPC 时,四边形 PCDQ 构成平行四边形 t4t,t2 当 t2 时,四边形 PCDQ 构成平行四边形(3)若射线 QN 将ABC 的周长平分,则有 MCNCAMBNAB 即45(1t)1t21(345)解得 t3
11、5而 MN43NC43(1t)A B C D Q M N P http:/-6-SMNC 21NCMN21(1t)43(1t)83(1t)2 当 t35时,SMNC 83(135)238 而21SABC 2121433,SMNC 21SABC 不存在某一时刻 t,使射线 QN 恰好将ABC 的面积和周长同时平分(4)若PMC 为等腰三角形,则:当 MPMC 时(如图 1),则有:NPNC 即 PC2NC,4t2(1t)解得 t32 当 CMCP 时(如图 2),则有:45(1t)4t 解得 t911 当 PMPC 时(如图 3),则有:在 RtMNP 中,PM 2MN 2PN 2 又 MN43
12、NC43(1t)PNNCPC(1t)(4t)2t3 43(1t)2(2t3)2(4t)2解得 t157103,t21(不合题意,舍去)综上所述,当 t32或 t911或 t57103时,PMC 为等腰三角形 A B C D Q M N P 图 1 A B C D Q M N P 图 2 A B C D Q M N P 图 3 http:/-7-.(2011 浙江杭州育才初中模拟)天天伴我学数学一道作业题。如图 1:请你想办法求出五角星中ABCDE 的值。由于刚涉及到几何证明,很多学生不知道如何求出其结果。下面是习题讲解时,老师和学生对话的情景:老师向学生抛出问题:观察图像,各个角的度数能分别求
13、出他们的度数吗,能的话怎么求,不能的话怎么办?学生通过观察回答:很明显每个角都不规则,求不出各个角的度数。有个学生小声的说了句:要是能把这五个角放到一块就好了?老师回答:有想法,就去试试看。很快就有学生发现利用三角形外角性质将C 和E;B 和D 分别用外角1 和2 表示。于是得到ABCDE=12A 180。根据以上信息,亲爱的同学们,你能求出图 2 中ABCDEFG 的值吗?请给予证明。(原创)、(北京四中 2011 中考模拟 13)已知:如图,O1和O2相交于 A、B 两点,动点 P在O2上,且在1 外,直线 PA、PB 分别交O1于 C、D.问:O1的弦 CD 的长是否随点 P 的运动而发
14、生变化?如果发生变化,请你确定 CD 最长和最短时 P 的位置,如果不发生变化,请你给出证明;答案:解:当点 P 运动时,CD 的长保持不变,A、B 是O1与O2的交点,弦 AB 与点 P 的位置关系无关,连结 AD,ADP 在O1中所对的弦为 AB,所以ADP 为定值,P在O2中所对的弦为 AB,所以P 为定值.CAD=ADP+P,CAD 为定值,在O1中CAD 对弦 CD,CD 的长与点 P 的位置无关.ACEBD图1GF21DQBCEA图 2GFO2ABO1PDChttp:/-8-、(北京四中 2011 中考模拟 14)探究题:将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上,并使它的
15、直角顶点 P 在对角线AC 上滑动,直角的一边始终经过点 B,另一边与射线 DC 相交于点 Q。设 A、P 两点间的距离为 X,探究:(1)当点 Q 在边 CD 上时,线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系?试证明你得到的结论。(2)当点 Q 在边 CD 上时,设四边形 PBCQ 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围;(3)当点 P 在线段 AC 上滑动时,PCQ 是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置,并求出响应的 X 的值;如果不可能,请说明理由。答案:(1):过点 P 作 MNBC,分别交 AB
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- 47 开放 探究 问题 1135
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