河北省衡水中学2015_2016学年高中一年级下学期期中考试_理科数学试题(卷)(解析版)48222.pdf
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1、 .下载可编辑.2015-2016 学年河北省衡水中学高一(下)期中数学试卷(理科)一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1已知向量,则 与 的夹角为()A0 B45 C90 D180 2如图,正方体 ABCDA1B1C1D1中,棱长为 1,PB=PB,则 P 点坐标为()A(,)B(,)C(,)D(,)3设 A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到 C 点的距离为()A B C D 4设 m,n 是不同的直线,、是三个不同的平面,有以下四个命题:若 m,n,则 mn;若=m,=n,
2、mn 则;若,m,则 m 若,则 其中正确命题的序号是()A B C D 5正四棱锥的侧棱长是底面长的 k 倍,则 k 的取值范围是()A(0,+)B(,+)C(,+)D(,+)6(5 分)(2013 新郑市校级模拟)已知圆锥的底面半径为 R,高为 3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是()A R2 B R2 C R2 D R2 7(5 分)(2006 四川)如图,正四棱锥 PABCD 底面的四个顶点 A、B、C、D 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上,如果,则求 O 的表面积为().下载可编辑.A4 B8 C12 D16 8如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图,其原来平面图形
3、面积是()A2 B4 C4 D8 9(5 分)(2015 株洲一模)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为()A B C D 10(5 分)(2014 浙江二模)正四面体 ABCD 的棱长为 1,其中线段 AB平面,E,F 分别是线段 AD 和 BC 的中点,当正四面体绕以 AB 为轴旋转时,线段 EF 在平面 上的射影 E1F1长的范围是()A0,B,C,D,11(5 分)(2013 北京)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,P 为对角线 BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有()A3 个 B4
4、 个 C5 个 D6 个 .下载可编辑.12(5 分)(2011 怀柔区一模)已知三棱锥 ABCO,OA、OB、OC 两两垂直且长度均为 6,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动,另一个端点 N 在BCO 内运动(含边界),则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为()A B或 36+C36 D或 36 二填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)13已知长方体 ABCDA1B1C1D1,设=,=,=,E,F 分别为 AA1,C1D1中点,则可用表示为 14如图,四棱锥 PABCD 中,BAD=ABC=90,BC=2AD,PAB 和P
5、AD 都是等边三角形,则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为 15(5 分)(2014 德州二模)一个几何体的三视图如图所示,其侧(左)视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积是 16如图,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,E 为 A1B1的中点,则下列五个命题:.下载可编辑.点 E 到平面 ABC1D1的距离为;直线 BC 与平面 ABC1D1所成角为 45;空间四边形 ABCD1在正方体六个面内的射影围成的图形中,面积最小的值为;BE与 CD1所成角的正弦值为;二面角 ABD1C 的大小为 其中真命题是 (写出所有真命题的序号)三解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解
6、答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(10 分)(2014 黄浦区二模)(文)已知矩形 ABB1A1是圆柱体的轴截面,O、O1分别是下底面圆和上底面圆的圆心,母线长与底面圆的直径长之比为 2:1,且该圆柱体的体积为 32,如图所示 (1)求圆柱体的侧面积 S侧的值;(2)若 C1是半圆弧 A1B1的中点,点 C 在半径 OA 上,且 OC=OA,异面直线 CC1与 BB1所成的角为,求 sin 的值 18(12 分)(2012 秋台州期中)如图四边形 ABCD 为梯形,ADBC,ABC=90,求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积 .下载可编辑.19(12 分)(2
7、014 湖北模拟)如图所示,PA平面 ABCD,ABCD 是矩形,AB=1,AD=,点F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动 ()若 PA=1,求证:AFPC;()若二面角 PBCA 的大小为 60,则 CE 为何值时,三棱锥 FACE 的体积为?20(12 分)(2014 春凉州区校级期末)如图,边长为 2 的正方形 ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直,AD 与 CE 的交点为 M,ACBC,且 AC=BC (1)求证:AM平面 EBC;(2)求二面角 AEBC 的大小 21(12 分)(2014 石景山区一模)如图,正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长是 2,侧棱长是,D
8、是 AC 的中点 ()求证:B1C平面 A1BD;()求二面角 A1BDA 的大小;()在线段 AA1上是否存在一点 E,使得平面 B1C1E平面 A1BD,若存在,求出 AE 的长;若不存在,说明理由 .下载可编辑.22(12 分)(2014 益阳模拟)如图,在三棱锥 CABD 中,ACCB,AC=CB,E 为 AB 的中点,AD=DE=EC=2,CD=2 ()求证:平面 ABC平面 ABD;()求直线 BD 与平面 CAD 所成角的正弦值 2015-2016 学年河北省衡水中学高一(下)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每
9、小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1已知向量,则 与 的夹角为()A0 B45 C90 D180【分析】设则 与 的夹角为 由向量夹角的定义可得,0180可得=90 【解答】解:设则 与 的夹角为 由向量夹角的定义可得,0180 =90 故选 C 【点评】解决本题的关键需掌握:向量数量积的坐标表示,还要知道向量的夹角的范围0,只有数列掌握基础知识,才能在解题时灵活应用 2如图,正方体 ABCDA1B1C1D1中,棱长为 1,PB=PB,则 P 点坐标为().下载可编辑.A(,)B(,)C(,)D(,)【分析】根据题意,设出点 P(x,y,z),结合题意利用坐标表示列出方程组,求出
10、解即可 【解答】解:如图所示,设点 P(x,y,z),且点 B(1,1,0),B(1,1,1),D(0,0,1);点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的对角线 BD,x=y,又 PB=PB,(x1)2+(y1)2+z2=(x1)2+(y1)2+(z1)2,又与共线,=;由组成方程组,解得;P 点坐标为(,)故选:C 【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题,也考查了解方程组的应用问题,是基础题目 3设 A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到 C 点的距离为()A B C D .下载可编辑.【分析】先由中点坐标公式求得 AB 的中点 M 的空间
11、直角坐标,再利用空间坐标系中两点间的距离公式求出 M 到 C 点的距离即可 【解答】解:A(3,3,1)、B(1,0,5)AB 的中点 M 坐标为:(2,3),又C(0,1,0),M 到 C 点的距离为:d=故选 C 【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、距离公式等基础知识,考查点、线、面间的距离计算,考查空间想象力、化归与转化思想属于基础题 4设 m,n 是不同的直线,、是三个不同的平面,有以下四个命题:若 m,n,则 mn;若=m,=n,mn 则;若,m,则 m 若,则 其中正确命题的序号是()A B C D【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明 【解答】解:由于垂
12、直于同一个平面的两条直线平行,故正确 设三棱柱的三个侧面分别为,其中两条侧棱为 m,n,显然 mn,但 与 不平行,故错误 ,当 m 时,m,故正确 当三个平面,两两垂直时,显然结论不成立,故错误 故选:A 【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断,属于中档题 5正四棱锥的侧棱长是底面长的 k 倍,则 k 的取值范围是()A(0,+)B(,+)C(,+)D(,+)【分析】从棱锥顶点向底面正方形中心引一辅助线,该辅助线垂直底面,辅助线、侧棱与正方形对角线的一半构成直角三角形,侧棱为斜边;根据直角三角形中的边角关系即可求出 k 的取值范围 【解答】解:如图所示,.下载可编辑.设正四棱锥 VABCD
13、 底面中心为 O,BC=a,则 VB=ka,易知 OB=a;在 RtVOB 中,cosVBO=,VBO(0,),01,解得 k;k 的取值范围是(,+)【点评】本题考查了正四棱锥的结构特征的应用问题,也考查了空间想象能力与逻辑推理能力,是基础题目 6(5 分)(2013 新郑市校级模拟)已知圆锥的底面半径为 R,高为 3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是()A R2 B R2 C R2 D R2【分析】将全面积表示成底面半径的函数,用配方法求二次函数的最大值 【解答】解:设内接圆柱的底面半径为 r,高为 h,全面积为 S,则有=h=3R3r,S=2rh+2r2 =4r2+6Rr =4(
14、r2 Rr)=4(r R)2+R2 当 r=R 时,S 取的最大值 R2 .下载可编辑.故选:C 【点评】考查实际问题的最值问题,常转化成函数的最值 考查空间想象能力以及计算能力 7(5 分)(2006 四川)如图,正四棱锥 PABCD 底面的四个顶点 A、B、C、D 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上,如果,则求 O 的表面积为()A4 B8 C12 D16【分析】由题意可知,PO平面 ABCD,并且是半径,由体积求出半径,然后求出球的表面积 【解答】解:如图,正四棱锥 PABCD 底面的四个顶点 A,B,C,D 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上,PO底面 ABCD,PO=
15、R,SABCD=2R2,所以,R=2,球 O 的表面积是 16,故选 D 【点评】本题考查球的内接体问题,球的表面积、体积,考查学生空间想象能力,是基础题 8如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图,其原来平面图形面积是().下载可编辑.A2 B4 C4 D8【分析】用斜二侧画法的法则,可知原图形是一个两边分别在 x、y 轴的直角三角形,x 轴上的边长与原图形相等,而 y 轴上的边长是原图形边长的一半,由此不难得到平面图形的面积 【解答】解:设原图形为AOB,OA=2,0B=2 AOB=45 OA=4,OB=2,AOB=90 因此,RtAOB的面积为 S=42=4 故选 C 【点评】本题要求我们
16、将一个直观图形进行还原,并且求出它的面积,着重考查了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识,属于基础题 9(5 分)(2015 株洲一模)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为()A B C D【分析】由题意,由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角 【解答】解:以 D 点为坐标原点,以 DA、DC、DD1所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系(图略),则 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1)=(2,0,1),=(2
17、,2,0),且为平面 BB1D1D 的一个法向量 cos,=BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 故答案为 D .下载可编辑.【点评】此题重点考查了利用空间向量,抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题 10(5 分)(2014 浙江二模)正四面体 ABCD 的棱长为 1,其中线段 AB平面,E,F 分别是线段 AD 和 BC 的中点,当正四面体绕以 AB 为轴旋转时,线段 EF 在平面 上的射影 E1F1长的范围是()A0,B,C,D,【分析】取 AC 中点为 G,连接 EG、FG,根据四面体绕 AB 旋转时,GF
18、平面,GE 与 GF的垂直性保持不变,当 CD 与平面 垂直时射影 E1F1的长取得最小,当 CD 与平面 平行时,E1F1取得最大,分别求出最大、最小值,可得答案 【解答】解:如图,取 AC 中点为 G,连接 EG、FG,E,F 分别是线段 AD 和 BC 的中点,GFAB,GECD,在正四面体中,ABCD,GEGF,EF2=GE2+GF2=,当四面体绕 AB 旋转时,GF平面,GE 与 GF 的垂直性保持不变,当 CD 与平面 垂直时,GE 在平面上的射影长最短为 0,此时 EF 在平面 上的射影 E1F1的长取得最小值;当 CD 与平面 平行时,GE 在平面上的射影长最长为,E1F1取得
19、最大值,射影 E1F1长的取值范围是,故选:D 【点评】本题借助考查线段在平面内的射影问题,考查空间直线与直线位置关系的判定,考查了学生的空间想象能力,11(5 分)(2013 北京)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,P 为对角线 BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有().下载可编辑.A3 个 B4 个 C5 个 D6 个【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长|AB|=3,即可得到各顶点的坐标,利用两点间的距离公式即可得出 【解答】解:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长|AB|=3,则 A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D
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