近世代数的基础知识11112.pdf
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1、 近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数(Classical algebra),它的研究对象主要是代数方程和线性方程组)。近世代数(modern algebra)又称为抽象代数(abstract algebra),它的研究对象是代数系,所谓代数系,是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括:群论、环论和域论等几个方面的理论,其中群论是基础。下面,我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识,然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。3 1 集合、映射、二元运算和整数 3 1 1 集合 集合是指一些对象的总体,这些对象称为集合
2、的元或元素。“元素a是集合 A 的元”记作“Ax”,反之,“Aa”表示“x不是集合A的元”。设有两个集合 A 和 B,若对 A 中的任意一个元素a(记作Aa)均有Ba,则称 A 是B 的子集,记作BA。若BA 且AB,即 A 和 B 有完全相同的元素,则称它们相等,记作BA。若BA,但BA,则称 A 是 B 的真子集,或称 B 真包含 A,记作BA。不含任何元素的集合叫空集,空集是任何一个集合的子集。集合的表示方法通常有两种:一种是直接列出所有的元素,另一种是规定元素所具有的性质。例如:cbaA,;)(xpxS,其中)(xp表示元素x具有的性质。本文中常用的集合及记号有:整数集合,3,2,1,
3、0Z;非零整数集合,3,2,10ZZ;正整数(自然数)集合,3,2,1Z;有理数集合 Q,实数集合 R,复数集合 C 等。一个集合 A 的元素个数用A表示。当 A 中有有限个元素时,称为有限集,否则称为无限集。用A表示 A 是无限集,A表示 A 是有限集。3 1 2 映射 映射是函数概念的推广,它描述了两个集合的元素之间的关系。定义 1 设 A,B 为两个非空集合,若存在一个 A 到 B 的对应关系 f,使得对 A 中的每一个元素 x,都有 B 中唯一确定的一个元素 y 与之对应,则称 f 是 A 到 B 的一个映射,记作 y=f(x)。y 称为 x 的像,x 称为 y 的原像,A 称为 f
4、的定义域,B 称为 f 的定值域。定义 2 设 f 是 A 到 B 的一个映射(1)若Axx21,和21xx 均有)()(21xfxf,则称 f 是一个单射。(2)若By均有Ax使yxf)(,则称 f 是满射。(3)若 f 既是单射又是满射,则称 f 是双射。3 1 3 二元运算 3 1 3 1 集合的笛卡儿积 由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。定义 3 设 A,B 是两个非空集合,由 A 的一个元素a和 B 的一个元素b可构成一个有序的元素对(a,b),所有这样的元素对构成的集合,称为 A 与 B 的笛卡儿积,记作BA,即BbAabaBA,),(。用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。
5、定义 4 设 S 是一个非空集合,若有一个对应规则 f,对 S 中每一对元素a和b都规定了一个唯一的元素Sc与之对应,即 f 是SSS的一个映射,则此对应规则就称为 S中的一个二元运算,并表示为cba,其中“”表示运算符,若运算“”是通常的加法或乘法,ba就分别记作ba 或ab。由定义可见,一个二元运算必须满足:(1)封闭性:Sba;(2)唯一性:ba是唯一确定的。定义 5 设 S 是一个非空集合,若在 S 中定义了一种运算(或若干种运算+,等),则称 S 是一个代数系统,记作(S,)或(S,+,)等。3 1 3 2 二元关系 我们经常需要研究两个集合元素之间的关系或者一个集合内元素间的关系。
6、定义 6 设 A,B 是两个集合,若规定一种规则 R:使对Aa和对Bb均可确定a和b是否适合这个规则,若适合这个规则,就说a和b有二元关系 R,记作aRb,否则就说a和b没有二元关系 R,记作bRa。3 1 2 3 等价关系和等价类 等价关系是集合中一类重要的二元关系。定义 7 设是集合 A 上的一个二元关系,满足以下条件:(1)对Aa,有aa;(反身性)(2)对Aba,,有abba;(对称性)(3)对Acba,,有ab和bcac。(传递性)则称为 A 中的一个等价关系。子集axAxxa,即所有与a等价的元素的集合,称为a所在的一个等价类,a称为这个等价类的代表元。例如:设 n 是一取定的正整
7、数,在整数集合 Z 中定义一个二元关系)(mod n如下:)()(modbannba,这个二元关系称为模n的同余(关系),a与b模n同余指a和b分别用n来除所得的余数相同。同余关系是一个等价关系,每一个等价类记作)(mod,naxZxxa称为一个同余类或剩余类。3 1 4 整数 在近世代数中整数是最基本的代数系。这里仅重述有关整数的基本性质和常用概念。3 1 4 1 整数的运算 整数的运算包括加、减、乘、除、开方、乘方、取对数等,这些运算及其性质这里不再赘述。在整数运算中有以下两个基本的定理:带余除法定理 设Zba,,0b,则存在唯一的整数q,r满足:brrqba0,。当0r时,称a能被b整除
8、,或b整除a,记作ab;当0r时,称a不能被b整除。只能被 1 和它本身整除的正整数称为素数;除 1 和本身外,还能被其它整数整除的正整数称为合数。算术基本定理 每一个不等于 1 的正整数a可以分解为素数的幂之积:sspppa2121,其中sppp,21为互不相同的素数,),2,1(,siZi。除因子的次序外分解式是唯一的。此分解式称为整数的标准分解式。3 1 4 2 最大公因子和最小公倍数 设Zba,,不全为 0,它们的正最大公因子记作),(ba,正最小公倍数记作ba,。设Zba,,由算术基本定理可将它们表示为:sxsxxpppa2121,sysyypppb2121,其中sppp,21为互不
9、相同的素数,ix,),2,1(siyi为非负整数,某些可以等于 0。令:),2,1(,minsiyxiii,),2,1(,maxsiyxiii,则 sspppba2121),(,sspppba2121,,且有 babaab,),(。最大公因子还有以下重要性质:最大公因子定理 设Zba,,ba,不全为 0,),(bad,则存在Zqp,使 dqbpa。3 1 4 3 互素 若Zba,,满足1),(ba,则称a与b互素。关于整数间的互素关系有以下性质:(1)Zqpba,1),(,使1 qbpa。(2)bca且caba1),(。(3)设Zba,,p为素数,则有:apabp或bp。(4)1),(ba,1
10、),(1),(bcaca。(5)ca,cb且cabba1),(。(6)欧拉函数:设 n 为正整数,)(n为小于 n 并与 n 互素的正整数的个数,小于 n 并与 n 互素的正整数的集合记为:)(2,1nnrrP。若 n 的标准分解式为:sspppn2121,则)11()11)(11()(21spppnn。3 2 群 近世代数的研究对象是代数系,最简单的代数系是在一个集合中只定义一种运算,群是由一个集合和一个二元运算构成的代数系,它在近世代数中是最基本的一个代数系。3 2 1 群的基本概念 定义 1 设 G 是一个非空集合,若在 G 上定义一个二元运算满足:(1)结合律:对Gcba,,有)()(
11、cbacba。则称 G是一个半群,记作),(G。若),(G还满足:(2)存在单位元e使对Ga,有aeaae;(3)对Ga有逆元1a,使eaaaa11,则称),(G是一个群。当二元运算“”为通常的加法时,),(G称为加法群或加群;当二元运算“”为通常的乘法时,),(G称为乘法群或乘群。定义中条件(2)可改为:有一个左单位元Le(或右单位元Re),使aaeL(或aeaR),对Ga成立。因为由此可推出RRLLeeee。定义中条件(3)可改为:对Ga,有一个左逆元1La(或右逆元1Ra),使eaaL1(或eaaR1)成立。因为由此可推出11111111)()(RRRLRLLLaaeaaaaaaeaa。
12、定理 1 半群),(G是群的充要条件是:对Gba,,方程bax 和bya 在 G 中均有解。定理 2 半群),(G是群的充要条件是左、右消去律都成立:yxayaxa,0,yxyaxaa,0。如果半群中含有单位元,则称为含幺半群。如果群),(G适合交换律:对Gba,,有abba,则称 G 为可换群或阿贝尔(Abel)群。通常把群的定义概括为四点:封闭性、结合律、单位元和逆元。如果一个群 G 是个有限集,则称 G 是有限群,否则称为无限群。G 的元素个数G称为群的阶。元素的倍数和幂定义为:anaaana个,annaaaa个,n 为正整数,并规定ea 0。且有:nabnbabna)()(,mnmna
13、aa,nmmnaa)(,当baab 时有nnnbaab)(。满足aa 2的元素称为幂等元,满足Znan,0的元素称为幂零元。例 1:1,2,1,0nZn是整数模 n 的同余类集合,在nZ中定义加法(称为模 n的加法)为baba。由于同余类的代表元有不同的选择,我们必须验证以上定义的运算结果与代表元的选择无关。设21aa,21bb,则有)(21aan,22112211212121)()()()()(babababanbbaanbbn所以模n的加法是nZ中的一个二元运算。显然,单位元是0,nZk,k的逆元是kn。所以),(nZ是群。例 2:设1),(,nkZkkZnn,在nZ中定义乘法(称为模 n
14、 的乘法)为abba。对这个运算不仅需要检验它的唯一性,而且要检验它的封闭性,因为由nZa,nZb得出nZab并不明显。先 证 封 闭 性:因 为 由1),(,naZban和1),(1),(nabnb,所 以nZab。再证唯一性:设21aa,21bb,则有)(21aan,22112211122212221112212211212121)()()()()()()()(babababanbbabaababanbabababanbbaanbbn所以模 n 的乘法是nZ中的一个二元运算。结合律显然满足。单位元是1。对nZa,由1),(na知Zqp,,使1 qnpa,因而有)(mod1npa,即1paa
15、p,所以pa1,即nZ中每一元素均有逆元。综上,nZ对模 n 的乘法构成群。nZ的阶数为)(n欧拉函数:小于 n 并与 n 互素的正整数的个数。3 2 2 群的基本性质(1)群中单位元是唯一的 证明:设 G 中有两个单位元1e和2e,则有:2211eeee,所以单位元是唯一的。在不致混淆的情况下,单位元简记为 1。(2)群中每个元素的逆元是唯一的 证明:设Ga,a有两个逆元Ga11和Ga12,则有:1212121112111111)()(aeaaaaaaaeaa,所以a的逆元是唯一的。的逆元有以下性质:(1)aa11)(;(2)若ba,可逆,则ab也可逆,且有111)(abab;(3)若a可逆
16、,则na也可逆,且有nnnaaa)()(11。3 2 3 子群 定义 2 设 S 是群 G 的一个非空子集,若 S 对 G 的运算也构成群,则称 S 是 G 的一个子群,并记作:GS。当GS 且GS 时,称 S 是 G 的真子群,记作GS。定理 3 设 S 是群 G 的一个非空子集,则以下三个命题互相等价:()S 是 G 的子群;()对Sba,,有Sab和Sa1;()对Sba,,有Sab1。3 2 4 元素的阶 定义 3 设 G 是有限群,Ga,可以证明一定存在最小的正整数n使:ean (1)成立,n称为a的阶或周期,记作 o(a)。若没有这样的正整数存在,则称a的阶是无限的。由定义 3 可知
17、,单位元的阶是 1。在加群中,式(1)变为:0na (2)定理 4 设 G 是群,Ga,则:maoam)(1。关于元素的阶还有以下重要结果:(1)有限群中每一个元素的阶是有限的;(2)设 G 是群,Gba,,mao)(,nbo)(,若1),(nm和baab,则mnabo)(;(3)设 G 是群,若除单位元外其它元素都是 2 阶元,则 G 是 Abel 群。3 2 5 循环群和生成群 设 G 是群,Ga,令:ZkaHk,因为Haakk21,,有Haaakkkk21211)(,所以 H 是 G 的子群,此子群称为由a生成的循环子群,记作 a,a称为它的生成元。若 G=a,则称 G 是循环群。循环子
18、群是由一个元素生成的,由几个元素或一个子集也可生成一个子群。定义 4 设 S 是群 G 的一个非空子集,包含 S 的最小子群称为由 S 生成的子群,记作 S,S 称为它的生成元集。如果 SG,且任何 S 的真子集的生成子群均不是 G,则称 S 是 G 的极小生成元集。任何一个生成子群都有一个极小生成元集。当S时,元素个数最少的生成元集称为最小生成元集。定义 5 设(G,)是一个群,GH,Ga,则Ha称为 H 的一个左陪集,aH 称为 H 的一个右陪集。定义 6 设 G 是群,GH,H 在 G 中的左(右)陪集个数称为 H 在 G 中的指数,记作:HG。当 G 是有限群时,则子群的阶数与指数也都
19、是有限的,它们有以下关系:定理 5(拉格朗日(Lagrange))设 G 是有限群,GH,则::HGHG 这就是说,有限群 G 的子群的阶是群 G 的阶的一个因子。由拉格朗日定理立即可得如下推论:(1)设 G 是有限群,GH,则GH;(2)当G时,对任何Ga,有Gao)(;(3)若pG(素数),则pCG(p阶循环群),即素数阶群必为循环群。3 3 环 环是有两个二元运算并建立在群的基础上的一个代数系统。定义 1 设 A 是一个非空集合,在 A 中定义两中二元运算,一种叫加法,记作+,另一种叫乘法,记作。且满足:(1)(A,+)是一个可换群;(2)(A,)是一个半群;(3)左、右分配律成立,对A
20、cba,,有:acabcba)(,bcaccba)(则称代数系(A,+,)是一个环。例:设1,2,1,0nZn是整数模 n 的同余类集合,在nZ中定义加法和乘法分别为模 n 的加法和乘法:baba,abba。在前面我们已经知道),(nZ是群,),(nZ是半群。下面我们证明分配律成立:acabacabcbacbacba)()()(。类似有bcaccba)(,所以),(nZ是环,称为整数模 n 的同余类(或剩余类)环。如果环(A,+,)对乘法也是可交换的,则称 A 是可换环。设(A,+,)是一个环,加群(A,+)中的单位元通常记作 0,称为零元。元素a在加群中的逆元记作a,称为负元。环中的单位元指
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- 近世 代数 基础知识 11112
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