高考数学第7章不等式、推理与证明第5节综合法、分析法、反证法、数学归纳法教学案理北师大版15522.pdf
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1、第五节 综合法、分析法、反证法、数学归纳法 最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 1综合法、分析法 内容 综合法 分析法 定义 从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法 从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等我们把这样的思维方法称为分
2、析法 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 PQ1 Q1Q2 QnQ QP1P1P2得到一个明显成立的条件 文字 语言 因为所以或由得 要证只需证即证 2反证法(1)反证法的定义:在假定命题结论的反面成立的前提下,经过推理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题结论成立的方法叫反证法(2)反证法的证题步骤:作出否定结论的假设;进行推理,导出矛盾;否定假设,肯定结论 3数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)归纳奠基:证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立;(2)归纳递推
3、:假设nk(kn0,kN)时命题成立,证明当nk1 时命题也成立 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法 一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n1 时结论成立()(2)综合法是直接证明,分析法是间接证明()(3)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件()(4)用反证法证明结论“ab”时,应假设“aQ BPQ CPQ,只需P2Q2,即 2a132a6a72a132a8a5,只需a213a42a213a40.因为 4240 成立,所以PQ成立故选 A.4 已知数列an满足an1
4、a2nnan1,nN,且a12,则a2_,a3_,a4_,猜想an_.3 4 5 n1 易得a23,a34,a45,故猜想ann1.考点 1 综合法的应用 掌握综合法证明问题的思路 综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性 设a,b,c均为正数,且abc1.证明:(1)abbcac13;(2)a2bb2cc2a1.证明(1)由a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac,得a2b2c2abbcca,由题设得(abc)21,即a2b2c22ab2bc2c
5、a1,所以 3(abbcca)1,即abbcca13.(2)因为a,b,c均为正数,a2bb2a,b2cc2b,c2aa2c,故a2bb2cc2a(abc)2(abc),即a2bb2cc2aabc,所以a2bb2cc2a1.母题探究 本例的条件不变,证明a2b2c213.证明 因为abc1,所以 1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac,因为 2aba2b2,2bcb2c2,2aca2c2,所以 2ab2bc2ac2(a2b2c2),所以 1a2b2c22(a2b2c2),即a2b2c213.(1)不等式的证明常借助基本不等式,注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”;(2)应用重要不等
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