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1、1虚数单位虚数单位 i(1)i21(即即1 的平方根是的平方根是i)(2)实数可以与实数可以与 i 进行四则运算,进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立进行四则运算,进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立(3)i 的幂具有周期性:的幂具有周期性:i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i(nN),则有,则有inin1in2in30(nN)2复数的分类复数的分类复数复数 abi,(a,bR)Error!Error!3共轭复数共轭复数设复数设复数 z 的共轭复数为的共轭复数为 ,则,则z(1)z |z|2| |2;zz(2)z 为实数为实数z ;z 为纯虚数为纯虚数z .zz4复数相等的条件复数相等
2、的条件复数相等的充要条件为复数相等的充要条件为 abicdiac,bd(a,b,c,dR)特别地,特别地,abi0ab0(a,bR)5复数的运算复数的运算(1)加法和减法运算:加法和减法运算:(abi)(cdi)(ac)(bd)i(a,b,c,dR)(2)乘法和除法运算:复数的乘法按多项式相乘进行运算,即乘法和除法运算:复数的乘法按多项式相乘进行运算,即(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i;复数除法是乘法的逆运算,其实质是分母实数化;复数除法是乘法的逆运算,其实质是分母实数化复数的概念复数的概念例例 1 复数复数 zlog3(x23x3)ilog2(x3),当,当 x 为何实数时,为
3、何实数时,(1)zR?(2)z 为虚数?为虚数?(3)z 为纯虚数?为纯虚数?解解 (1)一个复数是实数的充要条件是虚部为一个复数是实数的充要条件是虚部为 0,Error!Error!由由得得 x4,经验证满足,经验证满足式式当当 x4 时,时,zR.(2)一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于 0,Error!Error!解得解得Error!Error!即即4.3 212当当4 时,时,z 为虚数为虚数3 212(3)一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为 0 且虚部不为且虚部不为 0,Error!Error!解得解得Err
4、or!Error!无解无解复数复数 z 不可能是纯虚数不可能是纯虚数解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系,另外要解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系,另外要注意某些函数的定义域注意某些函数的定义域1若复数若复数 z(2i)为纯虚数,求实数为纯虚数,求实数 a.a2i1i解:解:z(2i)(2i)a2i1i a2i 1i 2(2i) a2 2a i2 i 为纯虚数,为纯虚数,a62a20,即,即 a6.a622已知已知 z(x0),且复数,且复数 z(zi)的实部减去它的虚部所得的差等于的实部减去它的虚部所得的差等于 ,求,求xi1i3
5、2 .解:解:z(zi)xi1i(xi1ii)i.xi1ix11ix12x2x2根据题意根据题意 ,得,得 x213.x12x2x232x0,x2. 3i.32 .(323i)(323i)454复数的四则运算复数的四则运算例例 2 计算:计算:(1); 22i 4 1 3i 5(2)(2i)(15i)(34i)2i.解解 (1)原式原式16 1i 4 1 3i 4 1 3i 16 2i 2 22 3i 2 1 3i 644 1 3i 2 1 3i 16 1 3i 41i.41 3i3(2)原式原式(311i)(34i)2i5321i2i5323i.复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除,加减法
6、是对应实、虚部相加减,而乘法复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比分式的分子分母有理化,注意类比多项式乘法,除法类比分式的分子分母有理化,注意 i21.3计算计算.1i 1i 21i 1i 2解:解: 1.1i 1i 21i 1i 21i2i1i2i2i2i4若复数若复数 z12i(i 为虚数单位为虚数单位),求,求 z z.z解:解:z12i, 12i.zz z(12i)(12i)(12i)512i62i.z复数问题实数化复数问题实数化例例 3 设存在复数设存在复数 z 同时满足下列条件:同时满足下列条件:(1)复数复数 z 在复平
7、面内对应的点位于第二象限;在复平面内对应的点位于第二象限;(2)z 2iz8ai(aR)z试求试求 a 的取值范围的取值范围解解 设设 zxyi(x,yR),则,则 xyi.z由由(1),知,知 x0,y0.又又 z 2iz8ai(aR),z故故(xyi)(xyi)2i(xyi)8ai,即即(x2y22y)2xi8ai.Error!Error!消去消去 x,整理,得,整理,得 4(y1)236a2,y0,4(y1)20.36a20.6a6.又又 2xa,而,而 x0,a0.6a0.所以所以 a 的取值范围为的取值范围为6,0)复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,桥梁是设复
8、数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,桥梁是设zxyi(x,yR),依据是复数相等的充要条件,依据是复数相等的充要条件5已知复数已知复数 z(1i)213i.(1)求求|z|;(2)若若 z2azb ,求实数,求实数 a,b 的值的值z解:解:z(1i)213i2i13i1i.(1)|z|.12122(2)z2azb(1i)2a(1i)b2iaaibab(a2)i, 1i,zab(a2)i1i,Error!Error!a3,b4.复数的几何意义复数的几何意义例例 4 已知已知 z 是复数,是复数,z2i,均为实数均为实数(i 为虚数单位为虚数单位),且复数,且复数(zai)2
9、在复平面在复平面z2i上对应的点在第一象限,求实数上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围的取值范围解解 设设 zxyi(x,yR),则则 z2ix(y2)i, (xyi)(2i)z2ixyi2i15 (2xy) (2yx)i.1515由题意知由题意知Error!Error!Error!Error!z42i.(zai)24(a2)i2(124aa2)8(a2)i,由已知得由已知得Error!Error!2a6.实数实数 a 的取值范围是的取值范围是(2,6)复数复数 zabi(a,bR)和复平面上的点和复平面上的点 P(a,b)一一对应,和向量一一对应,和向量一一对应,正一一对应,正OP确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键6设设 O 为坐标原点,已知向量为坐标原点,已知向量,分别对应复数分别对应复数 z1,z2,且,且OZ1OZ2z1(10a2)i,z2(2a5)i,aR,若,若1z2可以与任意实数比较大小,求可以与任意实数比较大小,求3a521az的值的值OZ1OZ2解:解:1(10a2)i,z3a5则则1z2(a210)(2a5)i 的虚部为的虚部为 0,z3a521aa22a150.解得解得 a5 或或 a3.又又a50,a3.则则 z1 i,z21i.38,(1,1),OZ1(38, ,1)OZ2 .OZ1OZ258
限制150内