2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点12平面向量的线性表示(解析版)5617.pdf
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1、考点 12 平面向量的线性表示 【知识框图】【自主热身,归纳总结】1、(2019 无锡期末)在四边形 ABCD 中,已知 ABa2b,BC4ab,CD5a3b,其中,a,b是不共线的向量,则四边形 ABCD 的形状是_【答案】.梯形【解析】、因为ADABBCCD(a2b)4ab(5a3b)8a2b所以,AD2BC,即ADBC,且|AD|BC|,所以,四边形ABCD是梯形 2、(2017 年苏州期末)设1e与2e是两个不共线向量,1232eeAB,12eeCBk,1232eeCDk,若A,B,D三点共线,则k 【答案】.:49k【解析】、12(3)(21)BDCDCBkkee,设ABBD则)3(
2、3k且)12(2k,解得49k 3、(2017 徐州期末)在ABC中,若点D,E,F依次是边AB上的四等分点,设1eCB,2eCA,用1e,2e表示CF,则CF 【答案】.ee214143【解析】、在ABC中,12eeAB AC CB,34AFAB,所以CFCAAF 21212331=+444eeeee 4、(2016 年南通一模)如图,在ABC中,D,E分别为边BC,AC的中点.F为边AB上的点,且3ABAF,若ADxAFyAE,,x yR,则xy的值为 .【答案】:52 【解析】、:因为D为BC的中点,所以11332222ADABACAFAEAFAE,故3,12xy,52xy。5(2017
3、 泰州期中)如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120,OA与OC的夹角为30,且3|2,|,|2 32OAOBOC,若(,)R OCOAOB,则_,_ 【答案】=2,4=3【解析】、设与OA,OB同方向的单位向量分别为a,b,依题意有=42abOC,又=2aOA,3=2bOB,则4=23OCOAOB,所以=2,4=3 ABCO 6、(2016 年苏北四市联考)如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边,AB AD分别 交于,E F两点,且交其对角线于K,其中,25AEAB,12AFAD,AKAC,则的值为 【答案】29 【解析】、因为点F,K,E共线,故可设21(1
4、)52mAKmAEm AFmABAD 又()AKACABAD,所以2152mm,解得29【问题探究,变式训练】题型一 向量的共线定理与平面向量的线性运算 知识点拨:注意平行四边形法则和三角形法则的灵活运用。例 1、(2018 南京学情调研)设向量a(1,4),b(1,x),ca3b.若ac,则实数x的值是_【答案】4 【解析】、因为a(1,4),b(1,x),ca3b(2,43x)又ac,所以43x80,解得x4.【变式 1】、(2017 南京学情调研)已知向量a(1,2),b(m,4),且a(2ab),则实数m的值为_【答案】2 解法 1 由题意得a(1,2),2ab(2m,8),因为a(2
5、ab),所以 18(2m)20,故m2.解法 2 因为a(2ab),所以存在实数,使得a2ab,即(2)ab,所以(2,24)(m,4),所以2m且 244,得4,m2.解法 3 因为a(2ab),所以ab,所以 42m,即m2.【变式 2】、(2017 苏州暑假测试)设 x,yR,向量a(x,1),b(2,y),且a2b(5,3),则xy_.【答案】1 【解析】、由题意得a2b(x4,12y)(5,3),所以 x45,12y3,解得 x1,y2,A B C D E F K 所以xy1.【变式 3】、已知点C,D,E是线段AB的四等分点,O为直线AB外的任意一点,若()OCODOEm OAOB
6、,则实数 m的值为 【答案】:23m【解析】、因为OCODOEm()OAOB,所以3ODm2OD23m【关联 1】、(2016 南京、盐城、徐州二模)已知O为ABC的外心,若51213OAOBOC 0,则C=【答案】34【解析】、:由已知等式得OCOBOA13125,平方得16912014425OBOA,故0OBOA,得2AOB,若C为锐角,则OBOA125与OC反向,与条件矛盾,故C为钝角,从而43C.误点警示:若C为锐角,则AOB与C分别是同弧所对的圆心角与圆周角,此时 AOB=2C;若C为钝角,由AOB与C的关系是CAOB21,因此,必须对C进行分类讨论.本题从条件OCOBOA13125
7、判断知,C必为钝角.【关联 2】、在ABC中,C45,O是ABC的外心,若OCmOAnOB(m,nR),则mn的取值范围是_【答案】2,1)思路分析 本题中三点在圆O上是一个关键条件,可以建立坐标系求出m,n的关系式,再利用三角换元求解,也可以对向量等式两边平方后得到m,n的关系式,再利用线性规划求解 因为C4,O是ABC外心,所以AOB90,OCmOAnOB,所以C在优弧AB上 建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设半径为 1,则A(0,1),B(1,0)设C(cos,sin)2,2,代入OCmOAnOB,可得ncos,msin,即mncossin 2sin4.又434,94,所以mn 2,1
8、)解后反思 本题易错在没有注意点C在优弧AB上,错误的认为点C在整个圆上本题是典型的二元函数的值域问题,解题方法比较多,可以用基本不等式、线性规划、三角换元,但由于点C在圆弧上,最好的方法建立坐标系,利用三角函数求解,定义域的寻找也较为简单 题型二 平面向量的基本定理的应用 知识点拨:运用平面向量基本定理表示向量的本质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法和减法数乘。要特别注意用基底表示向量有时要借助于几何性质,如平行和相似。例 2、(2019 苏北四市、苏中三市三调)如图,正六边形ABCDEF中,若ADACAE(,R),则的值为 【答案】43【解析】、:建系(坐标法)如图设六边形边
9、长为 2,(0,0)A,(2,0)B,(3,3)C,(2,2 3)D,(0,2 3)E 由ADACAE得:(2,2 3)=(3,3)(0,2 3),2=2=3322 3=3+2 3=3 故4+=3.【变式 1】、(2019 泰州期末)已知点 P 为平行四边形 ABCD 所在平面上一点,且满足PAPB2PD0,PAPBPC0,则 _【答案】34 思路分析 由于题中出现了四个向量,因此可以考虑消去PC或PD,再根据平面向量基本定理,即可求得 和 的值 解法 1(转化法)如图,因为PAPB2PD0,所以PAPB2(PCCD)0,即PAPB2(PCBA)0,即PAPB2(PCPAPB)0,所以,3PA
10、PB2PC0,即32PA12PBPC0,所以 32,12,34.E A B C D E F(第 1 题)A B C 6 2 3.5(第 2 题)解法 2(基底法)因为12PA12PBPD0,PAPBPC0,两式相减得12PA12PBDC12PA12PBPBPA0,所以 121,121,321234.解法 3(几何法)取 AB 中点 E,则PAPB2PE2PD,所以PDEP,即 P 为 DE 中点,延长 CP 交 BA 延长线于点 F,易知:A,E 为 BF 的三等分点,且 P 为 CF 中点 由PA13PB23PF13PB23PC,得32PA12PBPC0,所以 34.解后反思 本题考查了平面
11、向量基本定理,也就是平面向量分解的唯一性定理,解法 1,把PD用其他三个向量来表示,根据平面向量的基本定理得到 和 的值;解法 2,两式相减,同时消去了PC,PD,转化为以PA,PB为基向量的方程;解法 3,通过构造三角形,根据向量的线性运算,找到PA,PB,PC这三个向量的关系式,以上三种解法都可以称为基底法,此外本题可以将平行四边形特殊化为矩形或正方形,通过坐标法来处理【变式 2】、在ABC中,AB2,AC3,角A的平分线与AB边上的中线交于点O,若AOxAByAC(x,yR),则xy的值为_.【答案】.58 解析:如图,在ABC中,AD为BAC的平分线,CE为AB边的中线,且ADCEO.
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