PA+k·PB型的最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿氏圆、费马点).pdf
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1、.“PA+kPB”型的最值问题 当 k 值为 1 时,即可转化为“PA+PB”之和最短问题,就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理,即可以转化为轴对称问题来处理。当 k 取任意不为 1 的正数时,通常以动点 P 所在图像的不同来分类,一般分为 2 类研究。其中 点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题;点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。一、“将军饮马”模型“将军饮马”:把河岸看作直线 L,先取 A(或 B)关于直线 L 的对称点 A(或 B),连接 AB(或 BA),并与直线交于一点 P,则点 P 就是将军饮马的地点,即 PA+PB 即为最短路线。例1.如图,在锐角 ABC
2、 中,AB=4,BAC=45,BAC 的平分线交 BC 于点 D,M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是 。例2.如图,在矩形 ABCD 中,AB10,AD6,动点 P 满足 S PAB31S矩形ABCD,则点 P 到 A,B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为 例3.如图,AOB=30,点 M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点,OP 平分AOB,且 OP=6,PMN 的周长最小值为 ;当PMN 的周长取最小值时,四边形 PMON 的面积为 。变式:“造桥选址”模型 例4.如图,已知直线 ab,且 a 与 b 之间的距离为 4,点 A 到直线 a的距离为 2
3、,点 B到直线 b 的距离为 3,AB=302试在直线 a 上找一点 M,在直线 b 上找一点 N,满足 MNa 且 AM+MN+NB 的长度和最短,则此时 AM+NB 的值为 。例5.如图,CD 是直线 y=x 上的一条定长的动线段,且 CD=2,点 A(4,0),连接 AC、AD,设 C 点横坐标为 m,求 m 为何值时,ACD的周长最小,并求出这个最小值。.二、“胡不归”模型 有一则历史故事:说的是一个身在他乡的小伙子,得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而,当他气喘吁吁地来到父亲的面前时,老人刚刚咽气了。人们告诉他,在弥留之际,老人在不断喃喃地叨念:“胡不归?胡不归?”早期的科学家曾
4、为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。(如下图)A 是出发地,B 是目的地;AC 是一条驿道,而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家,小伙子选择了直线路程 AB。但是,他忽略了在驿道上(V1)行走要比在砂土地带(V2)行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线(尽管这条路线长一些,但速度可以加快),是可以提前抵达家门的。解题步骤:将所求线段和改写为“BD12VVAD”的形式(012VV1);在 AD 的一侧,BD 的异侧,构造一个角度,使得 sin12VV;过 B 作所构造的一边垂线,该垂线段即为所求最小值 例6.如图,ABC 中,BC=2,ABC=30,则 2AC+AB 的最小值为
5、。例7.如图,四边形 ABCD 是菱形,AB=4,且ABC=60,M 为对角线 BD(不含 B 点)上任意一点,则 AM+21BM 的最小值为 。例8.如图,等腰 ABC 中,AB=AC=3,BC=2,BC 边上的高为 AO,点 D 为射线 AO 上一点,一动点 P 从点 A 出发,沿 AD-DC 运动,动点 P 在 AD 上运动速度 3 个单位每秒,动点 P 在 CD 上运动的速度为 1 个单位每秒,则当 AD=.时,运动时间最短为 秒。中考真题 1.(2016徐州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点A(-1,0),B(0,-3)、C(2,0),其中对称轴
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