《最短路径问题》名师教案(人教版八年级上册数学).pdf
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1、1 13.4 课题学习 最短路径问题(第二课时)13.4.2 造桥选址问题(邹敏)一、教学目标:(一)学习目标 1.熟练应用轴对称变换知识,提高解决实际问题的能力;2.学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题;3.体会平移变换在解决最值问题中的作用,感悟转化思想(二)教学重点 教学重点:利用平移将“造桥选址”的实际问题转化为“两点之间,线段最短”问题(三)教学难点 教学难点:如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题 二、教学设计(一)课前设计 1.预习任务 平移不改变图形的 和 ;三角形三边的数量关系:三角形任意两边的差 第三边;如图,直线 AB,CD 且 ABCD,在直线 AB
2、上任取不同两点 P、Q,过 P、Q分别作 CD 的垂线,垂足分为 M、N,则 PM 与 QN 的大小关系为()APMQN BPMQN CPMQN D不能确定 NMBCDAPQ 答案:形状,大小;小于;B 2.预习自测 直线 AB 上有一点 P,当点 P 在 时,PA+PB 有最小值,最小值为 AB的值;直线 AB 上有一点 P,当点 P 在 时,PB-PA 等于 AB 的值;直线 AB 上有一点 P,当点 P 在 时,PA-PB 等于 AB 的值;2 图1图3图2BAPBAPBAP【知识点】线段的和差【数学思想】分类讨论,数形结合【思路点拨】直线 AB 上有一点 P,此时点 P 与线段 AB
3、的位置关系有两种:如图 1,点在线段 AB 上;如图 2 和图 3,点在线段 BA 的延长线上或点在直线AB 的延长线上.【解题过程】当点 P 在线段 AB 上时,如图 1,PA+PB=AB 即 PA+PB 最小值为AB 的值;当点 P 在线段 BA 的延长线上时,如图 2,PB-PA=AB;当点 P 在线段 AB 的延长线上时,如图 3,PA-PB=AB;【答案】线段 AB 上;线段 BA 的延长线上;线段 AB 的延长线上.如图,点 A、B 在直线 l 的同侧,在直线 l 上能否找到一点 P,使得PBPA的值最大?lBA【知识点】两点之间线段最短,三角形两边的差小于第三边【思路点拨】当点
4、P、点 A、点 B 不共线时,根据“三角形任意两边的差小于第三边”,则PBPAAB;当点 P 与 A、B 共线,点 P 在线段 BA 的延长线上时,即点 P 为直线 AB 与直线 l 的交点,则PBPA=AB.【解题过程】当点 P 在直线 l 上且点 P、点 A、点 B 不共线时PBPAAB;当点 P 在线段 BA 的延长线与直线 l 的交点时,如图,PB-PA=AB,即 PBPA=AB;【答案】如图,连接 BA 并延长交直线 l 于 P,此时PBPA的值最大.lPAB 3(二)课堂设计 1.知识回顾 在平面内,一个图形沿一定方向、移动一定的距离,这样的图形变换称为平移变换(简称平移).平移不
5、改变图形的形状和大小.三角形三边的数量关系:三角形两边的差小于第三边 2.问题探究 探究一 运用轴对称解决距离之差最大问题 活动回顾旧知,引入新知 师:上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦,解决了数学史中的经典问题“将军饮马问题”,但善于观察与思考的海伦在解决“两点(直线同侧)一线”的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况:活动整合旧知,探究新知 例 1.如图,A、B 两点在直线 l 的异侧,在直线 l 上求作一点 C,使ACBC的值最大 【知识点】轴对称变换,三角形三边的关系【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系,通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破
6、点是作点 A(或点 B)关于直线 l 的对称点 A(或B),利用三角形任意两边之差小于第三边,再作直线 AB(AB)与直线 l 交点 C.【解题过程】如图 1 所示,以直线 l 为对称轴,作点 A 关于直线 l 的对称点 A,AB 的延长线交 l 于点 C,则点 C 即为所求 l图1CABA 活动类比建模,证明新知 师:回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点(直线同侧)一线型”时 AC+BC最小的吗?试类比证明“ACBC最大”的作法是否正确性?4 理由:在直线 l 上任找一点 C (异于点 C),连接 CA,CA,CA,CB.因为点 A,A关于直线 l 对称,所以 l 为线段 AA的垂直平分
7、线,则有 CACA,所以 CACBCACBAB.又因为点 C在 l 上,所以 CACA.又在ABC中,CACBCACBAB,所以 CACBCACB.练习 点 A、B 均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系,如图所示.若 P 是 x 轴上使得|PAPB|的值最大的点,Q 是 y 轴上使得QA+QB 的值最小的点,请在图中画出点 P 与点 Q.【知识点】两点之间线段最短,三角形任意两边的差小于第三边,三角形任意两边的和大于第三边【思路点拨】当点 P 与 A、B 共线时,即在线段 AB 的延长线上,点 P 为直线 AB与 x 轴的交点,则此时 P 是 x 轴上使得|PA
8、PB|的值最大的点,即PAPB=AB.将点 A、B 看成 y 轴同侧有两点:在 y 轴上求一点 Q,使得 QA+QB 最小【解题过程】延长线段 AB,AB 与 x 轴交于点 P,则此时 P 是 x 轴上使得|PAPB|的值最大的点,即PAPB=AB;作点 A 关于 x 轴的对称点 A,AB的连线交 y 轴于点 Q,则点 Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的点.【答案】如图,点P 与点 Q 即为所求:5 探究二 利用平移解决造桥选址问题 活动结合实际,难点分解 师:常说“遇山开路,遇水搭桥”,生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢?如图,在笔直河岸 CD 上的点 A 处需建一座
9、桥,连接河岸 EF,且 CDEF.显然当桥 AB 垂直于河岸时,所建的桥长最短.DCEFABDCEFA 活动生活中的实际问题 例 2.如图,A、B 两地位于一条河的两岸,现需要在河上建一座桥 MN,桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)【知识点】平移知识,两点之间线段最短【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题:从点 A 到点 B 要走的路线是AMNB,如图所示,而 MN 是定值,于是要使路程最短,只要 AMBN 最短即可如图 1,此时两线段 AM、BN 应在同一平行方向上,平移 MN 到 A A,则 A A=MN,AM+NB=AN+
10、NB,这样问题就转化为:当点 N 在直线 b 的什么位置时,AN+NB 最小?如图 2,连接 A,B 两点的线中,线段 AB 最短,因此,线段 AB 与直线 b 的交点 N 的位置即为所求,即在点 N 处造桥 MN,所得路径AMNB 是最短的.图 1 6【解题过程】如图 2,平移 MN 到 AA(或者过点 A 作 A A垂直于河岸),且使 AA等于河宽连接 BA与河岸的一边 b 交于点 N.过点 N 作河岸的垂线交另一条河岸 a 于点 M.【答案】如图所示,则MN 为所建的桥的位置 图 2 活动几何证明 上述作图为什么是最短的?请你想想.先让学生小组合作完成,进行展示、分享.证明:由平移的性质
11、,得 MNAA,且 MN=AA,AM=AN,AMAN,所以 A、B 两地的距离:AM+MN+BN=AA+AN+BN=AA+AB.如图 2,不妨在直线 b 上另外任意取一点 N,若桥的位置建在 NM处,过点 N作错误!未找到引用源。a,垂足为错误!未找到引用源。,连接错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。N,错误!未找到引用源。.由平行知:AM=错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。NM,则建桥后 AB 两地的距离为:AM+MN+NB=AN+AA+NB=AA+AN+NB.在ANB 中,AN+NB AB,AA+AN+NB AA+AB,即AM+MN+NB AM+MN+BN.所以桥建在 MN
12、处,AB 两地的路程最短.【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的已知问题,从而做出最短路径的选择.练习 如图 1,江岸两侧有 A、B 两个城市,为方便人们从 A 城经过一条大江到B 城的出行,今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥,且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置,才能使从A 地到 B 地的路程最短?7 【知识点】平移的知识,两点之间线段最短【思路点拨】从 A 到 B 要走的路线是 AMNB,如图所示,而 MN 是定值,于是要使路程最短,只要 AMBN 最短即可此时两线段应在同一平行方向上,平移 MN 到 AC,从 C 到 B 应是余下的路程,连接 BC 的线段即为最短的,此时不
13、难说明点 N 即为建桥位置,MN 即为所建的桥【解题过程】(1)如图 2,过点 A 作 AC 垂直于河岸,且使 AC 等于河宽;(2)连接BC 与河岸的一边交于点 N;(3)过点 N 作河岸的垂线交另一条河岸于点 M.【答案】如图 2 所示,则 MN 为所建的桥的位置 3.课堂总结 知识梳理 本堂课主要知识为两个最值问题:(1)利用轴对称知识解决“线段距离之差最大”问题;(2)利用平移、两点间线段最短解决“造桥选址”问题 重难点归纳 解决线段最值问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题“距离之差最大”问题的两种模型:如果
14、两点在一条直线的同侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大;如果两点在一条直线的异侧时,先作其中一点关于直线的对称点,转化为即可.通常求最大值或最小值的情况,常取其中一个点的对称点来解决,而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性 “造桥选址”问题的关键是把各条线段转化到一条线段上解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时,可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零,转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题 8(三)课后作业 基础型 自主突破 1.如图,A、B 两点分别表示两幢大楼所在的位置,直线 a 表示输水总管道,直线 b 表示输煤气总管道 现要在这两根总管道上分别设一
15、个连接点,安装分管道将水和煤气输送到 A、B 两幢大楼,要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短图中,点 A是点 A 关于直线 b 的对称点,AB 分别交 b、a 于点 C、D;点 B是点 B 关于直线 a 的对称点,BA 分别交 b、a 于点 E、F则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是()AF 和 C BF 和 E CD 和 C DD 和 E【知识点】最短路径问题【思路点拨】图中隐含了两个“两点(同侧)一线型”的模型.【解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知:输水分管道的连接点是点B 关于 a 的对称点 B与 A 的连线的交点F,煤气分管道的连接点是点 A 关于 b
16、的对称点 A与 B 的连线的交点 C故选 A【答案】A 2.如图所示,一面镜子 MN 竖直悬挂在墙壁上,人眼 O 的位置与镜子 MN 上沿M 处于同一水平线 有四个物体 A、B、C、D 放在镜子前面,人眼能从镜子看见的物体有()9 A.点 A、B、C B.点 A、B、D C.点 B、C、D D.点 A、B、C、D【知识点】轴对称的知识【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点,人眼从镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点,必须在眼的视线范围内 如下图示,分别作 A、B、C、D 四点关于直线 MN 的对称点 A、B、C、D 由于 C不在MON 内部,故人能从镜子里看
17、见 A、B、D 三个物体【解题过程】如下图示,分别作 A、B、C、D 四点关于直线 MN 的对称点 A、B、C、D由于 C不在MON 内部,故人能从镜子里看见 A、B、D 三个物体 【答案】B 3如图,在四边形 ABCD 中,C50,BD90,E、F 分别是 BC、DC 上的点,当AEF 的周长最小时,EAF 的度数为()A50 B60 C70 D80 EFCABD【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、三角形的外角以及三角形内角和、四边形内角和【解题过程】在四边形 ABCD 中,C50,BD90,BAD=130 延长 AB 到 P,使 BP=AB,延长 AD 到 Q,使 DQ=AD,则点 A
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- 最短路径问题 路径 问题 名师 教案 人教版八 年级 上册 数学
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