高等代数(北大版)第7章习题参考答案.docx
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1、第七章线性变换1.判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:1)2)3)4)5)6)7)8)解在线性空间V中,44 = 4 + ”,其中aev是一固定的向量; 在线性空间V中,= =其中是一固定的向量; 在 P 3 中,A(1,工2,)=区,九2 +工3,%);在P 3中,A(2,12,)= (22一工2,+九3,),在 PJ中,A/(x)= /(%+ D :在PX中,4/(刈=/(尤0),其中)EP是一固定的数;把复数域上看作复数域上的线性空间,在Px中,AX=BXC其中B,CP”是两个固定的矩阵.1)当二=0时,是;当。W0时,不是。2)当二=0时,是;当。W0时,不是。3)不是.例如当
2、 a = (1,0,0)次=2 时,如 A (a) = (2,0,0), A *a) = (4,0,0),A(ka)。kA(a)。4)是.因取a =(七,/,七),=(/,为,丁3),有4(二+/)=4(玉+2,工3 +3)=(2再 +2y -x2 - 2, +乃 +七 + 3,玉 +%)=(2范-x2,x2 +%3,3)+ (2必一为。2 + %M)=Aa +A/3,A(ka) = A, kx2, kx3)=Qk% 一 kxk4 + kxk%)=(2左升-k%,k% + kx3.kx)kA(6Z),故A是p3上的线性变换。5)是.因任取f(x) e Px,g(x) 尸印,并令(x) = /(
3、x) + g(x)贝IA (/(九) + g(x)=A (%) = (x +1)=于(x +1) + g(x +1) =A /(x) + A (g(x), 再令 v(x) = kf(x)那么 A (kf(x) = A (v(x) = v(x + 1) = kf(x + 1) = kA(f(x), 故A为丹幻上的线性变换。6)是.因任取 /(x) e Px,g(x) g Px那么.A(7(x) + g(x) = /(x() + g(% )=A(/(x)+A(g(x),A (kf(x) = kf(x。) = kA (/*)。7)不是,例如取 a=l,k=L 那么 A(ka)=-i, k(Aa)=i
4、, A(ka)kA(a)。8)是,因任取二矩阵 x,y 产、,那么 A(x + y)= B(x + y)c = Bxc+5yc=AX+Ay, 4k X尸B(kX) = k(BXQ = kAX ,故A是Pnxn上的线性变换。(7,2,/)=(i,2,%)x,那么7,%,久也是v的一组基,且A在这组基下的矩阵是X-AX,从而有AX二XA,这说明A与一切非退化矩阵可交换。假设取( n)那么由 AX| = X|A 知% =O(iWj),即得/ 、 a“22A 二.,*ann7再取0100、0010X 2= *.0 0 0 1J000?由AX2 = XzA,可得故A为数量矩阵,从而A为数乘变换。14.设
5、三,4,3,4是四维线性空间V的一组基,线性变换A在这组基下的矩阵为,1021、-1213125 5,、2 -2 1 -2?1)求 A 在基7 = j -22 +%,% = 32 一/ 一4,% =邑 +4,4 =下的矩阵;2)求A的核与值域;3)在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵;4)在A的值域中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵。解1)由题设,知, 1000、-2300(7,%,3,4)=(J,&,R,4)八 八u 11UJ-112,故A在基7,%,%,”下的矩阵为,2B=X-AX =0k 10311o oY1 * 3 ( 1o o -i0
6、22-2-201 一2八 10 0 0、3 0 0-1 1 0-112;10一 340一 3-8 10一340一3-7 4 63 13 1 - - 2-38-30-2)先求 47(0).设 A-1 (0),它在 ,2,3,4下的坐标为(71,2,力3,74),且 AE在 1,2,3,4下的坐标为(,),那么102-121125、2-21因 rank(A)=2,假设令 / =(,2,R,4)X|,a? (, 3 , 4)X 2那么%即为4(0)的一组基,所以A - (0)= /(%,%) o再求A的值域AV。因为A J = J 2 + 邑 + 2%,A q =+ s2+ 5q + q,A 4 3
7、3欣0)=2,故4句,42,43,44的秩也为2,且41,42线性无关,故41,42可组成AV的基,从而AV=L(Aj ,44)。4)由2)知。%是A-7。)的一组基,且知,4,是V的一组基,又( 0( 0(, ,a , a 2)(、, 82,3 , 4)0,0-2_3- 210-20故A在基J,4, %,%下的矩阵为B二fl 0 -21 )30 1 -220 0100 001 ?10 21、-121312 552 -2 1 2,(1021 )30 1 220 0 10、0 0 01 ?(5 9二 21200、10020012 -2 0 0J4)由 2)知 A J = J 6*2 + 邑 +
8、?4 ,A 4 = 2邑 + 2邑 一 2%易知A”A2,3,4是V的一组基,且10 。0、-12 0 0(A , A 612 , *3 , ,4 )=( *! , ,2 , ,3 , f4 ) JL A JL JJ -2 0 1,故A在基A句,A 4 ,%,q下的矩阵为C二0 0 0Y1 ( 12 0 021 0-2 0 1?一2 1 一2八10 0 0、2 0 0210-2 0 5 2 2 1A93-1-2二2 2 0 0 0 0、0 0 0 0,15.给定p3的两组基与=(1A1) 邑=(2,1,0)、邑=(1,覃) 定义线性变换A:7=(121) % =(22-1),73 =(2-1-
9、1)1)写出由基邑,%到基i,%,%的过度矩阵;2)写出在基力,,名下的矩阵;3)写出在基7,%,%下的矩阵。解 1)由(7, %,%)二( i,2,3)X,引入 p3 的一组基6二(1,0,0), e2 =(0,1,0), e3 =(0,0,1),那么2)因( 2(句,2,*3)=(,3)。11、1 =(e),e2,3)A, J所以(1(7,2/3)二(4,62,4)2、T22、2 -1 =(% ,g,e3汨=(,g,4)A-1 B,T故由基1,J,%到基7,%,%的过度矩阵为X=A-1 B= 0J2 1Y1 ( 1-1 二 i2 32 J_ 2-2A(、邑,邑)=(7,%,%)=( J,4
10、,邑)2 3-21-23-23-25-2故A在基句,4,邑下的矩阵为(o 33)2233A= 1 o2211 .9I 22)4)因 4 , %,3 户4 1,4,3)X=( 7 , 2,3)X故4在基%下的矩阵仍为X.o16.证明4 .与儿、相似,4ln 7其中(,, ,,)是1,2,,孔的一个排列。证设有线性变换A,使那么 A( , :, )( : , ,)I 2ln*1*2ln2.h二(%,、气)D 2,4% J于是D 与D2为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵,故相似。17.如果A可逆,证明AB与BA相似。证 因A可逆,故At存在,从而A-(AB)A=(aT A)BA=BA,所以AB与B
11、A相似。18.如果A与B相似,C与D相似,证明:相彳以。证由,可设 B=X- AX, D=Y-1 CY,x- B 0k 0 D这里X-01)A二5)A=0014、2)2)A=3)A二11111111111111114)A二-3、102(3-2037)A=4-1-3,J6)A=1800-2相似。)19.求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量.A在一组基下的矩 阵为:先求属于特征值4=7的特征向量。解方程组411一 4x2 = 05工1+ 5%2 = 0,它的基础解系为 ,I解1)设A在给定基?,4下的矩阵为A,且A的特征多项式为AE-A=22-5244=(2-7)(2 + 2),
12、故 A 的特征值为 7, -2。因此A的属于特征值7的全部特征向量为kJ(kwO),其中句+ 4。再解方程组5M 0一12,它的基础解系为5%1 =0,因此A的属于特征值-2的全部7-A2 ,特征响向量为2(kwO),其中另=4j-52。2)设A在给定基2,4下的矩阵为A,且当0时,有A=0,所以花 A故A的特征值为4 =几2=。解方程组故A的特征值为4 =几2=。解方程组Ox + Ox9 = 012,它的基础解系为Oxj + 0x2 = 010、,因此A的属于特征值0的两个线性无关特征向量为J尸句,另=4,故A以V的任一非零向量为其特征向量。当 aw 0 时,|花1A | =aixx-a分+
13、。2 =(2 +由)(4一点),故A的特征值为4 =山,一但=02 的基础解系为ax + aix2 = 0,故A的属于特征值出的全部特征向量为kJ(kwO),其中J1=t+4。当乙二-出时,方程组一 aix. 一 ax, = 012的基础解系为ax - aix2 = 0,故A的属于特征值-出的全部特征向量为kJ? (kW。),其中另= 6+4 3)设A在给定基片,4,r,%下的矩阵为A,因为|江A |=(2-2)3(2 + 2),故A的特征值为4 =42 = “3 = 2, %4 = -2。当4 = 2时,相应特征方程组的基础解系为X=110/3 , 4=1-6。当4 =2时,方程组31 6%
14、2 + 3与=0X + 2x2 - x3 = 0 的基础解系为的全部特征向量为kJ、(kwO),其中, =当2二1+百时,方程组,故A的属于特征值2(-4 +- 6x, + 3% =0玉+ (1 + V3)X2 一 X3 =。 的基础解系为- 2x)+ (2 + y)X3 031,2-V3的属于特征值1+6 的全部特征向量为k42 (kwO),其中另=34+(2 g)R。当4二16时,方程组(-4- a/3)X1 - 6x9 + 3%=0玉+ (1 V3)x2 七=0 的基础解系为_ Xj _ 2%2 + (2 = 0312 + V3的属于特征值1 6 的全部特征向量为 (kW。),其中,=3
15、-4+(2 +6)3。5)设A在给定基三,2,鼻下的矩阵为人,因20-1AE- A|= 0 2-1 0 =(2-1)2(2 + 1),-102故a的特征值为4 =2。=1,4 =1。方程组%一心=013 的基础解系为玉 + X3 = 01 ,故A的属于特征值1I。)的全部特征向量为4高+&(匕,&不全为零),其中。=与+%,2 = 4。_ X- =。/ 1 当4 =-1时,方程组1-212=0的基础解系为0 ,故A的属于特征值-1的全一2-当二。(-1,部特征向量为W ),其中,二1 一q。6)设A在给定基下的矩阵为A,因4 2 1|2E- 川=2 A -3 = Z(22 +14) = 2(/
16、1 - V14z)(2 + V14z),132故A的特征值为4 =0,2 ?= 旧。4 = -V14/ o_ 22 _ 匕=0-12,故A的属于特征值0的全=0时,方程组1 2玉-3当=。的基础解系为Xi + 3x2 = 0部特征向量为攵。(女W0),其中。=3句4+2鼻。6 + V14z 当刈=内,时,该特征方程组的基础解系为一2 + 3巧,故A的属于特征值旧,-10的全部特征向量为抬2(左。0),其中&2 =(6 + JT山)与+(-2 + 3V14z2-10o6-V14z、当4 =-时,该特征方程组的基础解系为-2-3历i ,故a的属于特征值-107-的全部特征向量为砥(女。0),其中=
17、 (6-714/) + (-2-3V14i2 - 10f3o 7)设A在给定基/,?,名下的矩阵为4 因2-3 -10花 川二 4 2 + 10 =(2-1)2(2 + 2),-482+2故A的特征值为4 =2 2 =1,4 =2。3、当4 =几2 =1,该特征方程组的基础解系为-6 ,故A的属于特征值1的全部特征 120,向量为。(%。0),其中。=3务64+20r。,0、当4=-2,该特征方程组的基础解系为0 ,故A的属于特征值-2的全部特征向量为您2(k W 0),其中昆二3。20 .在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下,写 出相应的基变换的过度矩
18、阵T,并验算T-1AT。解线形变换A在某一组基下为对角形的充要条件是有n个线形无关的特征向量,故上 题中1)6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵To(1)因为&4)=(弓,2)V,所以过渡矩阵T二T t AT=4、9_5(5 2)4-52)当=0时,已是对角型。当 W。时,有 ,基)=(42) 1,过渡矩阵T二T t AT=12_2aY。13)因为(。42,,,44)二(臼,4,3,4)410,0T t AT 二-2J4)因为(。,2,3)=(1方2,3)T过渡矩阵丁=0 2-V3312 + V3ai01010312-V3ai J100111115)因为(。,。2,43)=(句,
19、2,3)。1Il 010-1,过渡矩阵丁=(21 + V311001010111,过渡矩阵T二10-12 .在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换, 以5表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换,证明:A4 =B4 =C4 =E,AB BA,A2 B2 =B2 A2 ,并检验(AN)?2 是否成立。解 任取一向量a=(x,y,z),那么有1)因为Aa=(x,-z,y), A2 a=(x,-y,-z), A 3 a=(x,z,-y),A 4 a=(x,y,z),234Ba=(z,y,-x),a=(-
20、x,y,-z), B a=(-z,y,x), B a=(x,y,z),Ca=(-y,x,z), C2 a=(-x,-y,z), C3 a=(y,-x,z), C4 a=(x,y,z),所以/,的,=后。2)因为 AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y), A4(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x), 所以A3W A4。3)因为 A 2 3 2 (a)=A2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z), B2 A2 (a)=B2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z),所以 4252=5242。4)因为(AB)? (a)=(43)(A8(a)_=43(z,x,y)=(y,z,x),A
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