第8讲. 复数的一般形式.docx
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1、第1课时复数的代数形式一.复数的概念.复数:z = a+hi ( a.beR )强调。/eR1 .实部、虚部:1。(2)=。表示2 =。+沅的实部,1111(2)=/?表示2 = +瓦的虚部z + z = 2 Re( z)z-z = 2 Im( z) i.复数的模:z=a2+b2 |zHz| |z|2=zz (分母实数化用得太多了)I 卒2 |二| 马 | | Z2 |事实上他给出了我们一个计算复数乘法(或者除法)的模的一个简单办法。就是模可 以分到每个因子上面 特别的|z|二|z|把i当成一个已知的未知数,从而进行四则混合运算(包括复数的内部运算)。例1.化简:3-4z4 + 3,2 + i
2、-1 + 2/例2.计算Co - G3 G% +嘴、Coo - / +%100100解析:正负交叉周期为4,故而考虑把(l + x赋值i (1 + O100 =+ C;oo ,+ Goo e / + c;oo ,+ Cjoq -i4 + + CoJ -(l + 0100 =(2/)50 =-250因此 c;x)Go()+ c;)()-* H = -2、4 ,复数实数化的策略 例3 .已知复数z满足z + 2|z|=2 + i,求|z|解析:z = a+bi, a,b w R所以,2?+/ =2 + (l 4解得:b = l,。= 0,3例4.设复数Z满足I z 1=1,使得关于X的方程功2+2
3、2工+2 = 0有实根,则这样的复数Z的 和为 解析:设 z = a+)i, a,beR ,则?+/=1所以(q + bi)x2 + 2( - bi)x + 2 = 0因此以之 +2qx + 2 = 0, Zzx(x-2) = 0显然b=0或者%=2(1)当 =0时,解得。=1(2)当x = 2D寸,解得 =一,,b = 土叵443因此这样的复数z的和为-士2二、复数范围内的运算在复数与复数之间,提公因式,约分,完全平方公式,平方差公式;求根公式,韦达 定理;等式左右两边同时取模,取实部,同时乘方(开方不行一一解释原因)等等均可以 大胆使用.例 5.复数z3=l,则 z3+2z2+2z + 2
4、0 =解析:由 z3=l 得(z l)(z2+z + l) =。所以z = l,或者z?+z + l = 0因止匕 z3 +2z2 +2z + 20 = 25 或 19记住z3=l的三个根(学习了三角形式之后更好记)4、设方程r=1的一个虚根为,(为正整数)则苏+“+1 =解析:依题意(X 1)(工2+工+ 1) = 0,因此Q2+刃+ 1=0(1)当 =3攵时,疗 + +1 = 1 +1 +1 = 3(2)当 =34+1时,苏 + 69 + 1 = 692 + 69 + 1 = 0(3)当 =3左时,co + a)2 +1 = 05、复数满足% + , = 1,则2。+$=2JCJC6、若非
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