矩阵对策的基本定理讲稿.ppt
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1、关于矩阵对策的基本定理第一页,讲稿共三十三页哦2023/4/622.1 矩阵对策的数学模型二人有限零和对策%二人零和对策就是矩阵对策,是指只有两个参加对策的局中人,每个局中人都只有有限个策略可供选择。在任一局势下,两个局中人的赢得之和总是等于零,即双方的利益是激烈对抗的。矩阵对策的表示%设局中人有 m 个纯策略 1,2,m,局中人有 n 个纯策略 1,2,n,则局中人、的策略集分别为 S1=1,2,m S2=1,2,n第二页,讲稿共三十三页哦2023/4/63%当局中人选定纯策略 i 和局中人选定纯策略 j 后,就形成了一个纯局势(i,j)。这样的纯局势可构成 m n 矩阵。对任一纯局势(i,
2、j),记局中人的赢得值为 aij,则称矩阵 A=(aij)mn 为局中人 I 的赢得矩阵(或为局中人 II 的支付矩阵),这样,局中人 II 的赢得矩阵即为 A。%矩阵对策常记为:G=I,II;S1,S2;A或 G=S1,S2;A第三页,讲稿共三十三页哦2023/4/64例 齐王赛马的赢得矩阵第四页,讲稿共三十三页哦2023/4/65例6%设有一矩阵对策 G=S1,S2;A,其中 S1=1,2,3,4 ,S2=1,2,3,局中人 I 的赢得矩阵为%试分析局中人 I 和 II 分别使用什么策略最有利?又在什么局势下对双方都有利?第五页,讲稿共三十三页哦2023/4/66定义定义1 设 G=S1,
3、S2;A为矩阵对策。其中 S1=1,2,m ,S2=1,2,n ,A=(aij)mn 若成立以下等式则称 VG 为对策 G 的值,并称使上述等式成立的纯局势(i*,j*)为 G 在纯策略下的解(或平衡局势),i*与 j*分别称为局中人,的最优纯策略。第六页,讲稿共三十三页哦2023/4/67例7%求解矩阵对策 G=S1,S2;A,其中第七页,讲稿共三十三页哦2023/4/68定理定理1 矩阵对策 G=S1,S2;A 在纯策略意义下有解的充分必要条件是:存在纯局势(i*,j*)使得对一切 i=1,m,j=1,n,均有 aij*ai*j*ai*j证明:第八页,讲稿共三十三页哦2023/4/69充分
4、性(前提:对任意 i,j 有 aij*ai*j*ai*j)%由不等式左边知,j*列的任一元素不超过 ai*j*,从而 j*列的最大元也不超过 ai*j*.即:%同理对不等式右边,ai*j*不超过 i*行的任一元素,从而 ai*j*不超过 i*行的最小元素,即有%因此可得%而对每列的最大元中的最小者及每行的最小元中的最大者有%即:j*列的任一元素i*行的任一元素第九页,讲稿共三十三页哦2023/4/610%另外,对任意 i,j 有,任意元素 aij 不小于其所在行的最小元,也不大于其所在列的最大元,即%不等式左边又说明,矩阵中每一行的最小元都不超过 aij,从而每一行的最小元中的最大者也不超过
5、aij,即%同理,由不等式的右边也可得%从而有%结合(1),(2)即可得第十页,讲稿共三十三页哦2023/4/611必要性%假设有 i*,j*使%上式右边说明 ai*j*是第 j*列中最大元,即%同理左边说明 ai*j*是第 i*行中最小元,即%而对任意 i 应有%同理对任意 j 应有%综上可得%即第十一页,讲稿共三十三页哦2023/4/612定义定义2 设 f(x,y)为一个定义在 x A 及 y B 上的实值函数,如果存在 x*A,y*B,使得对一切 x A 和 y B,有 f(x,y*)f(x*,y*)f(x*,y)则称(x*,y*)为函数 f 的一个鞍点。矩阵对策的解与鞍点%若将局势矩
6、阵视为二元函数 f(x,y)的定义域,则赢得矩阵即为其值域;从而,若矩阵对策有解的充要条件是 ai*j*是赢得矩阵的鞍点。第十二页,讲稿共三十三页哦2023/4/613例8%求对策的解。设矩阵对策 G=S1,S2;A,其中 S1=1,2,3,4 ,S2=1,2,3,4 ,赢得矩阵为第十三页,讲稿共三十三页哦2023/4/614%一般矩阵对策的解可以是不唯一的。当解不唯一时,解之间的关系具有下面两条性质。性质1 无差别性%即若(i1,j1)和(i2,j2)是对策 G 的两个解,则 ai1j1=ai2j2;性质2 可交换性%即若(i1,j1)和(i2,j2)是对策 G 的两个解,则 (i1,j2)
7、和(i2,j1)也是解。第十四页,讲稿共三十三页哦2023/4/6152.2 矩阵对策的混合策略定义定义3 设有矩阵对策 G=S1,S2;A,其中 S1=1,2,m ,S2=1,2,n ,A=(aij)mn 记则 S1*和 S2*分别称为局中人和的混合策略集;x S1*和 y S2*分别称为局中人和的混合策略,称(x,y)为一个混合局势,局中人的赢得函数记成新的对策记成 G*=S1*,S2*,E,它是对策 G 的混合扩充。第十五页,讲稿共三十三页哦2023/4/616定义定义4 设 G*=S1*,S2*;E 是矩阵对策 G=S1,S2;A的混合扩充,如果记其值为 VG.则称 VG 为对策 G*
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