数学思想与数学文化-历史上的三次数学危机dskr.pptx
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1、数学思想与数学文化数学思想与数学文化第六讲第六讲 历史上的三次数学危机历史上的三次数学危机1第六讲第六讲 历史上的三次数学危机历史上的三次数学危机前言前言一、第一次数学危机一、第一次数学危机 1、危机的起因 2、危机的实质 3、危机的解决二、第二次数学危机二、第二次数学危机 1、危机的引发 2、危机的实质 3、危机的解决三、第三次数学危机三、第三次数学危机 1“数学基础”的曙光集合论 2算术的集合论基础 3 罗素的“集合论悖论”引发危机 4 危机的消除四、四、三次数学危机与三次数学危机与“无穷无穷”的联系的联系2前前 言言 历史上,数学的发展有顺利也有曲折。大历史上,数学的发展有顺利也有曲折。
2、大的挫折也可以叫做的挫折也可以叫做危机危机。危机也意味着挑战,危。危机也意味着挑战,危机的解决就意味着进步。所以,危机往往是数学机的解决就意味着进步。所以,危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机,都是一次数学危机,都是数学的基本部分数学的基本部分受到质疑。受到质疑。实际上,也恰恰是这实际上,也恰恰是这三次危机,引发了数学上的三次危机,引发了数学上的三次思想解放三次思想解放,大大推动了数学科学的发展。,大大推动了数学科学的发展。3 一一.第一次数学危机第一次数学危机 1.1.危机的起因危机的起因:第一次数学危机第一次数学危机
3、是由是由 不不 能写能写成两个整数之比成两个整数之比引发的。引发的。毕达哥拉斯(约公元前580-前500)古希腊哲学家、数学家、天文学家4 1 1.这这 一一 危危 机机 发发 生生 在在 公公 元元 前前5 5世世 纪纪,危危 机机 来来 源源 于于:当当 时时 认认 为为 所所 有有 的的 数数 都都 能能 表表 示示 为为 整整 数数比比,但但突突然然发发现现 不不能能表表为为整整数数比比。第第一一次次数数学学 危危 机机 是是 由由 毕毕 达达 哥哥 拉拉 斯斯 学学 派派 内内 部部 提提 出出 的的.2.2.危机的实质:危机的实质:是无理数,全体整数之比构是无理数,全体整数之比构成
4、的是有理数系,有理数系需要扩充,需要添加成的是有理数系,有理数系需要扩充,需要添加无理数无理数.5当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关于机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之两个量之比比”的新说法,回避了的新说法,回避了 是无理数的实质,而是无理数的实质,而是用几何的方法去处理是用几何的方法去处理不可公度比不可公度比。这样做的。这样做的结果,使几何的基础牢靠了,几何从全部数学结果,使几何的基础牢靠了,几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的几何原本中也采中脱颖而出。欧几里得的几何原本中也采用了这一说法,以致在以后的近二千年中
5、,几用了这一说法,以致在以后的近二千年中,几何变成了几乎是全部严密数学的基础。何变成了几乎是全部严密数学的基础。63.危机的解决危机的解决 但是彻底解决这一危机是在但是彻底解决这一危机是在1919世纪,依赖于世纪,依赖于数系的扩张。直到人类认识了实数系,这次数系的扩张。直到人类认识了实数系,这次危机才算彻底解决,这已经是两千多年以后危机才算彻底解决,这已经是两千多年以后的事情了。的事情了。7 二二.第二次数学危机第二次数学危机 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的,第二次数
6、学危机则拉斯学派内部提出的,第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的,是对牛顿的,是对牛顿“无穷小量无穷小量”说法的质疑引说法的质疑引起的。起的。8 1危机的引发危机的引发 1 1)牛顿的)牛顿的“无穷小无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就,蕴含牛顿的微积分是一项划时代的科学成就,蕴含着巨大的智慧和创新,但也有逻辑上的问题。我着巨大的智慧和创新,但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。们来看一个例子。微积分的一个来源,是想求运动物体在某一时微积分的一个来源,是想求运动物体在某一时刻的刻的瞬时速度瞬时速度。在牛顿之前,只能求一段时间内。在牛顿
7、之前,只能求一段时间内的的平均速度平均速度,无法求某一时刻的瞬时速度,无法求某一时刻的瞬时速度。9 例如,设自由落体在时间例如,设自由落体在时间 下落的距离为下落的距离为 ,有公式有公式 ,其中,其中 是固定的重力加速度。我是固定的重力加速度。我们要求物体在们要求物体在 的瞬时速度,先求的瞬时速度,先求 。(*)10 当当 变成无穷小时,右端的变成无穷小时,右端的 也变成无穷小,因而上式右端就可以认为也变成无穷小,因而上式右端就可以认为是是 ,这就是物体在,这就是物体在 时的瞬时速度,时的瞬时速度,它是两个无穷小之比。它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用,解决了大量过牛顿的这一方法很好用,
8、解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格,遭到责难。格,遭到责难。11 2)贝克莱的发难)贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。攻击牛顿的理论。贝克莱问道:贝克莱问道:“无穷小无穷小”作为一个作为一个量,究竟是不是量,究竟是不是0 0?12 如果是如果是0,上式左端当,上式左端当 成无穷小后分母为成无穷小后分母为0,就,就没有意义了。如果不是没有意义了。如果不是0,上式右端的,上式右端的 就不能就不能任意去掉。任意去掉。在推出上式时,假定了在推出上式时,假定了 才能做除法,所以才能做除法,所以上式
9、的成立是以上式的成立是以 为前提的。那么,为什么又为前提的。那么,为什么又可以让可以让 而求得瞬时速度呢?而求得瞬时速度呢?因此,牛顿的这一套运算方法,就如同从因此,牛顿的这一套运算方法,就如同从 出发,两端同除以出发,两端同除以0,得出,得出5=3一样一样的荒谬。的荒谬。(*)13 贝克莱还讽刺挖苦说:即然贝克莱还讽刺挖苦说:即然 和和 都变都变成成“无穷小无穷小”了,而无穷小作为一个量,既不了,而无穷小作为一个量,既不是是0,又不是非,又不是非0,那它一定是,那它一定是“量的鬼魂量的鬼魂”了。了。这就是著名的这就是著名的“贝克莱悖论贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家对牛顿微
10、积分的这一责难并不是由数学家提出的,但是,提出的,但是,14贝克莱的质问是击中要害的贝克莱的质问是击中要害的数学家在将近数学家在将近200年的时间里,不能彻底年的时间里,不能彻底反驳贝克莱的责难。反驳贝克莱的责难。直至柯西创立极限理论,才较好地反驳了直至柯西创立极限理论,才较好地反驳了贝克莱的责难。贝克莱的责难。直至魏尔斯特拉斯创立直至魏尔斯特拉斯创立“”语言,才语言,才彻底地反驳了贝克莱的责难。彻底地反驳了贝克莱的责难。15 3)实践是检验真理的唯一标准)实践是检验真理的唯一标准 应当承认,贝克莱的责难是有道理的。应当承认,贝克莱的责难是有道理的。“无穷无穷小小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏
11、基础。牛顿和的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其他数学家并不能在逻辑上严格说清当时的其他数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷无穷小小”的方法。数学家们相信它,只是由于它使用起的方法。数学家们相信它,只是由于它使用起来方便有效,并且得出的结果总是对的。特别是来方便有效,并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子,显示出牛像海王星的发现那样鼓舞人心的例子,显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以,人们不大相顿的理论和方法的巨大威力。所以,人们不大相信贝克莱的指责。这表明,在大多数人的脑海里,信贝克莱的指责。这表明,在大多数人的脑海里,“实践是检验真理的唯一标准。实践是检
12、验真理的唯一标准。”16 2危机的实质危机的实质 第一次数学危机的实质是第一次数学危机的实质是“不是不是有理数,而是无理数有理数,而是无理数”。那么第二次数学。那么第二次数学危机的实质是什么?应该说,是危机的实质是什么?应该说,是极限的概极限的概念不清楚,极限的理论基础不牢固。念不清楚,极限的理论基础不牢固。也就也就是说,微积分理论缺乏逻辑基础。是说,微积分理论缺乏逻辑基础。17 其实,在牛顿把瞬时速度说成其实,在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候,这种的时候,这种说法本身就是不明确的,是含糊的。说法本身就是不明确的
13、,是含糊的。当然,牛顿也曾在他的著作中说明,所谓当然,牛顿也曾在他的著作中说明,所谓“最最终的比终的比”,就是分子、分母要成为,就是分子、分母要成为0还不是还不是0时的比时的比例如(例如(*)式中的)式中的gt,它不是,它不是“最终的量的比最终的量的比”,而是,而是“比所趋近的极限比所趋近的极限”。18 他这里虽然提出和使用了他这里虽然提出和使用了“极限极限”这个词,但并没这个词,但并没有明确说清这个词的意思。有明确说清这个词的意思。德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分,但是德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分,但是也没有明确给出极限的定义。也没有明确给出极限的定义。正因为如此,此后近二百年间
14、的数学家,都不能正因为如此,此后近二百年间的数学家,都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。满意地解释贝克莱提出的悖论。19 所以,由所以,由“无穷小无穷小”引发的第二次数学危引发的第二次数学危机,机,实质上是缺少严密的极限概念和极限理实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。论作为微积分学的基础。20牛顿(英,1642-1727)莱布尼茨(德,1646-1716)21 3危机的解决危机的解决 1)必要性)必要性 微积分虽然在发展,但微积分的微积分虽然在发展,但微积分的逻辑基础上存在的问题是那样明显,逻辑基础上存在的问题是那样明显,这毕竟是数学家的一块心病。这毕竟是数学家的一块心病。2
15、2 而且,随着时间的推移,研究范围的扩而且,随着时间的推移,研究范围的扩大,类似的悖论日益增多。数学家在研究无大,类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候,做出许多错误的证明,并由穷级数的时候,做出许多错误的证明,并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行(不考虑无穷级数收敛的问题)。间任意通行(不考虑无穷级数收敛的问题)。23 因此,进入因此,进入19世纪时,一方面微积分世纪时,一方面微积分取得的成就超出人们的预料,另一方面取得的成就超出人们的预料,另一方面,大量
16、的数学理论没有正确、牢固的逻辑基大量的数学理论没有正确、牢固的逻辑基础,因此不能保证数学结论是正确无误的。础,因此不能保证数学结论是正确无误的。历史要求为微积分学说奠基。历史要求为微积分学说奠基。24 2)严格的极限理论的建立)严格的极限理论的建立 到到19世纪,一批杰出数学家辛勤、世纪,一批杰出数学家辛勤、天才的工作,终于逐步建立了严格的极限天才的工作,终于逐步建立了严格的极限理论,并把它作为微积分的基础。理论,并把它作为微积分的基础。应该指出,严格的极限理论的建立是应该指出,严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。逐步的、漫长的。25 在在18世纪时,人们已经建立了极限理论,但世纪时,人们已
17、经建立了极限理论,但那是初步的、粗糙的。那是初步的、粗糙的。达朗贝尔在达朗贝尔在1754年指出,必须用可靠的理论年指出,必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。提供这样的理论。19世纪初,捷克数学家波尔查诺开始将严格世纪初,捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析,他写的无穷的悖论一书的论证引入数学分析,他写的无穷的悖论一书中包含许多真知灼见。中包含许多真知灼见。26 而做出决定性工作、可称为分析学的而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是奠基人的是法国数学家柯西法国数学家柯西(A.L.Cauchy,178
18、91857)。他在。他在18211823年间出版的年间出版的分析教程和无穷小计分析教程和无穷小计算讲义算讲义是数学史上划时代的著作。他对极是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义,然后用它定义连续、限给出比较精确的定义,然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性,导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性,已与我们现在教科书上的差不太多了。已与我们现在教科书上的差不太多了。27柯西柯西(法,(法,1789-1857)波尔查诺波尔查诺(捷,(捷,1781-1848)28 3)严格的实数理论的建立)严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识对以往理论的再认识 后来的一些发现,使人们认
19、识到,极限后来的一些发现,使人们认识到,极限理论的进一步严格化,需要实数理论的严格理论的进一步严格化,需要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析,是在实数范围化。微积分或者说数学分析,是在实数范围内研究的。但是,下边两件事,表明极限概内研究的。但是,下边两件事,表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。赖比人们想象的要深奥得多。29 一件事是,一件事是,1874年年德国数学家魏尔斯特拉斯德国数学家魏尔斯特拉斯(K.T.W.Weirstrass,18151897)构造了一个)构造了一个 “点点连续而点点不可导的函数点点连续而点
20、点不可导的函数”。“连续函数连续函数”在直观上是在直观上是“函数曲线没有间断,连函数曲线没有间断,连在一起在一起”,而,而“函数在一点可导函数在一点可导”直观上是直观上是“函数曲线函数曲线在该点有切线在该点有切线”。所以,在直观上。所以,在直观上“连续连续”与与“可导可导”有有密切的联系。密切的联系。这之前甚至有人还证明过:函数在连续点上都这之前甚至有人还证明过:函数在连续点上都可导(当然是错误的)。因此根本不可想象,还会可导(当然是错误的)。因此根本不可想象,还会有有“点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”。30 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 德意志帝国数学家。1815年10月3
21、1日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德,1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。18421856年,先后在几所中学任教。1854年3月31日获得哥尼斯堡大学名誉博士学位。1856年10月受聘为柏林大学助理教授,同年成为柏林科学院成员,1864年升为教授。魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(德,德,18151897)31 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 关于关于 “点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”的例子是的例子是 其中其中 是奇数,是奇数,使使 。32 另一件事是德国数学家黎曼另一件事是德国数学家黎曼(B.Riemann,18261866)发现,)
22、发现,柯西把定积分限制于连续函数是没有必柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。要的。黎曼证明了,被积函数不连续,黎曼证明了,被积函数不连续,其定积分也可能存在。其定积分也可能存在。33黎曼还造出一个函数,当自变量取无理黎曼还造出一个函数,当自变量取无理数时它是连续的,当自变量取有理数时数时它是连续的,当自变量取有理数时它是不连续的。它是不连续的。34 黎曼黎曼 1826年9月17日,黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村,父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学,14岁进入大学预科学习,19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学,1847年,黎曼转到柏林大学学习,成为雅可比、狄利克莱、施
23、泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥廷根大学攻读博士学位,成为高斯晚年的学生。黎曼(德,黎曼(德,1826-1866)35 这这些些例例子子使使数数学学家家们们越越来来越越明明白白,在在为为分分析析建建立立一一个个完完善善的的基基础础方方面面,还还需需要要再再前前进进一一步步:即即需需 要要理解和阐明实数系的更深刻的性质。理解和阐明实数系的更深刻的性质。36 魏尔斯特拉斯的贡献魏尔斯特拉斯的贡献 德德 国国 数数 学学 家家 魏魏 尔尔 斯斯 特特 拉拉 斯斯(K a r l Weierstrass,18151897)的的努努力力,终终于于使使分分析析学学从从完完全全依依靠靠运运动动学学、直
24、直观观理理解解和和几几何何概概念念中中解解放放出出来来。他他的的成成功功产产生生了了深深远远的的影影响响,主主要要表表现现在在两两方方面面,一一方方面面是是建建立立了了实实数数系系,另一方面是创造了精确的另一方面是创造了精确的“”语言。语言。37 “”语言的成功,表现在:语言的成功,表现在:这这 一一 语语 言言 给给 出出 极极 限限 的的 准准 确确 描描 述述,消消 除除了了 历历 史史 上上 各各 种种 模模 糊糊 的的 用用 语语,诸诸 如如“最最 终终比比”、“无限地趋近于无限地趋近于”,等等。,等等。这这 样样 一一 来来,分分 析析 中中 的的 所所 有有 基基 本本 概概 念
25、念 都都可可 以以 通通 过过 实实 数数 和和 它它 们们 的的 基基 本本 运运 算算 和和 关关 系系 精精确地表述出来。确地表述出来。38 4)极限的)极限的“”定义及定义及“贝克莱悖贝克莱悖论论”的消除的消除 极限的极限的“”定义定义39 定义:设函数定义:设函数 在在 的附近都有定的附近都有定义,如果有一个确定的实数义,如果有一个确定的实数 (无论多无论多么小的正数么小的正数 )。)。都都 (都能找到一个正数都能找到一个正数 ,依赖,依赖于于 ),使当),使当 时(时(满足不等式满足不等式 的所有不等于的所有不等于 的的 ),有),有 (这些这些 对应的函数值对应的函数值与与 的差
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