行列式按行展开课件.ppt
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1、行列式按行展开行列式按行展开第1页,此课件共40页哦 内容分布内容分布 一、行列式按一行一、行列式按一行(列列)展开展开 二、行列式按某二、行列式按某k行行(列列)展开展开 基本要求基本要求 利用展开定理计算行列式利用展开定理计算行列式 第2页,此课件共40页哦 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。问题:一个问题:一个n 阶行列式是否可以转化为若干个阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行阶行列式来计算?列式来计算?第3页,此课件共40页哦 1.4.1 行列式按一行(列)展开行列式按一行(列)展开定义定义1.9 在在n阶行列式阶行
2、列式D=|aij|中,去掉元素中,去掉元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列列后,余下的后,余下的n-1阶行列式,称为阶行列式,称为D中元素中元素aij的的余子式余子式,记为记为Mij称称Aij=(-1)i+jMij为元素为元素aij的的代数余子式代数余子式第4页,此课件共40页哦注:注:行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。余子式。第5页,此课件共40页哦例如例如 引理引理 一个一个n 阶行列式,如果其中第阶行列式,如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零,那么这行列式等于外都为零,那么这行列式等于 与它的代数余子
3、式的乘积,与它的代数余子式的乘积,即即 第6页,此课件共40页哦即有即有又又从而从而下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时,(根据(根据P.16例例8的结论)的结论)第7页,此课件共40页哦我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例.第8页,此课件共40页哦 被调换到第被调换到第1行,第行,第1列列第9页,此课件共40页哦 定理定理1.2 行列式行列式D=|aij|等于它的任一行(列)的各元素与其对等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即应的代数余子式乘积之和,即或或第10页,此课件共40页哦证明:证明:i=1,2,n第1
4、1页,此课件共40页哦例例1 分别按第一行与第三列展开行列式分别按第一行与第三列展开行列式 解解(1)按第一行展开)按第一行展开(2)按第三列展开)按第三列展开第12页,此课件共40页哦由例由例1我们可以看出,按第一行展开计算比按第三列展开我们可以看出,按第一行展开计算比按第三列展开计算要简单,这是因为行列式第一行里的零元素相对要多计算要简单,这是因为行列式第一行里的零元素相对要多为此,在计算行列式时,可以先用行列式的性质将行列为此,在计算行列式时,可以先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元,再按此行(列)式中某一行(列)化为仅含有一个非零元,再按此行(列)展开,变为低一阶
5、的行列式,如此继续下去,直到化为三展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式阶或二阶行列式第13页,此课件共40页哦例例2 计算行列式计算行列式解解由于由于D中第三行有一个零元素,并且非零元素中有中第三行有一个零元素,并且非零元素中有1,所以利,所以利用行列式的性质,把该行除元素用行列式的性质,把该行除元素“1”外其余的非零元素全外其余的非零元素全化为化为0,然后按第三行展开,然后按第三行展开第14页,此课件共40页哦第15页,此课件共40页哦例例 计算行列式计算行列式解:解:第16页,此课件共40页哦第17页,此课件共40页哦例例3 讨论当讨论当k为何值时为何值时 解解
6、所以,当所以,当 且且 时,时,第18页,此课件共40页哦例例4 求证求证第19页,此课件共40页哦第20页,此课件共40页哦第21页,此课件共40页哦例例5 证明范德蒙行列式证明范德蒙行列式其中,其中,表示全部同类因子的乘积(连乘),注意下标条件的表示全部同类因子的乘积(连乘),注意下标条件的理解。理解。第22页,此课件共40页哦证明证明 用数学归纳法证明用数学归纳法证明.当当n=2时,时,结论成立结论成立.假设结论对于假设结论对于n-1阶范德蒙德行列式成立,要证结论对阶范德蒙德行列式成立,要证结论对n阶范阶范德蒙德行列式也成立为此,设法把德蒙德行列式也成立为此,设法把Dn降阶降阶 第23页
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