状态空间模型.pptx
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1、 数学模型:描述系统动态行为的数学表达式,称为控制系统的数学模型。经典理论模型:用一个高阶微分方程或传递函数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定输入的响应来表征。实际上,系统内部还有若干其他变量,他们之间(包含输出变量在内)是相互独立的。关于他们对输入的响应是不易相互导出的,必须重新分别建模求解。由此可见,单一的高阶微分方程,是不能完全揭示系统内全部运动状态的。第1页/共38页 我们把这种输入/输出描述的数学模型称为系统的外部描述,内部若干变量,在建模的中间过程,被当作中间变量消掉了。现代理论模型:由状态变量构成的一阶微分方程组来描述,其中包含了系统全部的独立变量。特别是在数字计算机上求
2、解一阶微分方程组比求解与之相应的高阶微分方程要容易得多,而且能同时给出系统的全部独立变量的响应。此外,在求解过程中,还可以方便地考虑初始条件产生的影响。因而能同时确定系统内部的全部运动状态。第2页/共38页 所谓“状态”是指描述系统动态行为的基本变量的集合,这些必要且充分的变量,足以完全描述系统的动态行为。相平面法:用来求解二阶常微分方程的图解方法 设二阶系统的常微分方程为:式中 是x和 的线性或非线性函数。1-1.状空间表达式一.状态及状态空间第3页/共38页 则说明二阶方程只有两个实际的未知变量。我们称x和 为相变量。如果我们能够求出这两个量,这个系统的运动状态就完全被确定了。若采用x和
3、作为平面的直角坐标轴,则系统在每一时刻的状态均对应于该平面上一点,当时间t变化时,这一点在平面上绘出一条相应的轨迹线。该轨迹线表征系统状态的变化过程,称为相轨迹。若表示为若表示为第4页/共38页x则由x1与x2张成的平面即为状态平面。由 所组成的平面坐标系称为相平面 过去,用解析法求二过去,用解析法求二阶微分方程不很方便,阶微分方程不很方便,在工程上出现了作图求在工程上出现了作图求解的方法。即先用几何解的方法。即先用几何作图法画出作图法画出x与与 的相的相轨迹图,再利用图形分轨迹图,再利用图形分析系统或求近似解。析系统或求近似解。第5页/共38页 1.1.状态:定义:能够完全描述系统时域行为的
4、一个最小变量组,称为系统的状态,而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。注意:完全描述:若给定 t=t0 时刻这组变量的值(初始状态)又已知tt0 时系统的输入u(t),则系统在 tt0 时,任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。第6页/共38页例:RLCRLC网络如下图所示,试选择系统的状态变量 按以前的方法,令电路初始条件为零,用传递按以前的方法,令电路初始条件为零,用传递函数求解系统的行为,即:函数求解系统的行为,即:Y(s)=G(s)U(s),只能求出只能求出输入输入输出关系。输出关系。这只是求出了零状态下的单个输这只是求出了零状态下的单个输出解,是一种外部描述,对于二阶系统来
5、说不是完出解,是一种外部描述,对于二阶系统来说不是完整描述。整描述。RCu(t)y(t)Li第7页/共38页写出网络的回路方程写出网络的回路方程:这个方程有两个独立的未知变量i和uc,只要求出这两个量,这个系统的运动状态就完全被确定了。在非零初始条件下。系统的行为不仅与输入有关,且与初始状态有关,此时,要确定系统的完全行为,必须先知道这两方面的信息。第8页/共38页 本例中,根据电路知识,只要知道了电感上的初始电流 i(0)和电容的初始电压uc(0)以及输入u(t),就可确定电路的全部状态。故根据状态的定义,可选 i 和 uc为本系统的状态变量。最小变量组:即这组变量应是线性独立的。第9页/共
6、38页例:RCRC网络如下图所示,试选择系统的状态变量 在在t=t0时,若已知时,若已知u(t)及及uc1(t0),uc2(t0),uc3(t0)。则由克希霍夫定律则由克希霍夫定律,可求得电路的解可求得电路的解。故故uc1(t),uc2(t),uc3(t)均均可选作状态变量。可选作状态变量。u(t)RC2C1C3i1i2i3y(t)第10页/共38页但因但因 uc1+uc2+uc3=0 显然他们是线性相关的,故只有两个变量是独立的,因此,最小变量组的个数应是二。一般的:状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数 =系统的阶数对于n阶系统,有n个状态变量:x1(t),x2(t),xn(t)状态变量
7、具有非唯一性的:第11页/共38页 如上例中,最小变量组是2 2个独立变量,可在 uc1,uc2,uc3中任选2 2个,选法不唯一。2.状态空间:定义:由系统的n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴,构成的n维欧氏空间,称为n维状态空间。引入状态空间后,即可把n个状态变量用矢量形式表示出来,称为状态矢量。记为:第12页/共38页又表示为:又表示为:x(t)Rn x(t)属于属于n维状态空间维状态空间 引入状态矢量后,则状态矢量的端点就表示了引入状态矢量后,则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。系统在某时刻的状态。换一种说法即状态空间是由所有状态矢量换一种说法即状态空间是由
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