矩阵第一章线性空间与线性变换精选文档.ppt
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1、矩阵第一章线性空间与线性变换本讲稿第一页,共一百零一页1.11.1线性空间线性空间定义定义1.1.11.1.1本讲稿第二页,共一百零一页加法规则:加法规则:本讲稿第三页,共一百零一页数乘规则:数乘规则:本讲稿第四页,共一百零一页两条相容性规则:两条相容性规则:本讲稿第五页,共一百零一页本讲稿第六页,共一百零一页本讲稿第七页,共一百零一页本讲稿第八页,共一百零一页定理定理1.1.11.1.1本讲稿第九页,共一百零一页1.1.2 1.1.2 基、坐标基、坐标定义定义1.1.21.1.2本讲稿第十页,共一百零一页0)t2t2(k)t3t2(kt1k)t(Pk)t(Pk)t(Pk2322111=-+-
2、+)(解:解:本讲稿第十一页,共一百零一页 于是于是k k有非平凡解,是线性相有非平凡解,是线性相关向量组。关向量组。本讲稿第十二页,共一百零一页。的维数,记为的维数,记为称为线性空间称为线性空间的基向量,的基向量,称为称为(底),(底),称是的一个基称是的一个基n)Vdim(n,n21=a aa aa aL定义定义1.1.31.1.3本讲稿第十三页,共一百零一页注:注:线性空间中的基不是唯一的。线性空间中的基不是唯一的。如如和和本讲稿第十四页,共一百零一页定义定义1.1.41.1.4本讲稿第十五页,共一百零一页定理定理1.1.21.1.2本讲稿第十六页,共一百零一页定义定义1.1.51.1.
3、5本讲稿第十七页,共一百零一页本讲稿第十八页,共一百零一页1.1.3 1.1.3 基变换与坐标变换基变换与坐标变换(1)(1)基变换基变换本讲稿第十九页,共一百零一页上式用矩阵可以写成上式用矩阵可以写成 本讲稿第二十页,共一百零一页(1.1.9)(1.1.9)式称为式称为 中两个基的变换公式。中两个基的变换公式。矩阵矩阵 p p 称为从称为从 s s 到到 s*s*的过渡矩阵,的过渡矩阵,且且 本讲稿第二十一页,共一百零一页(2)2)向量的坐标变换向量的坐标变换定理定理1.1.31.1.3 设向量设向量 在基在基 下下的坐标是的坐标是 ;在基在基 下下的坐标是的坐标是 ,;假设从;假设从 到到
4、 的基满足关系式的基满足关系式(1.1.10)(1.1.10),那么坐标,那么坐标 满足关系式满足关系式 (1.1.11)(1.1.12)即即本讲稿第二十二页,共一百零一页其中其中本讲稿第二十三页,共一百零一页本讲稿第二十四页,共一百零一页本讲稿第二十五页,共一百零一页1.2.11.2.1线性子空间线性子空间定义定义1.1.21.1.2 设设 是线性空间是线性空间 的非空子集,如果的非空子集,如果 对对 中所定义的加法和数乘两种运算满足:中所定义的加法和数乘两种运算满足:如果如果 ,则,则 ;如果如果 ,则,则 ,则称则称 是是 的线性空间的子空间。的线性空间的子空间。1.2 1.2 线性空间
5、的子空间线性空间的子空间本讲稿第二十六页,共一百零一页易证,线性子空间易证,线性子空间 也是线性空间。也是线性空间。和和 叫做线性空间叫做线性空间 的两个平凡子空间,其的两个平凡子空间,其它子空间叫做非平凡子空间。它子空间叫做非平凡子空间。本讲稿第二十七页,共一百零一页图1.2.1中 是 的两个线性子空间,而在图1.2.2中由于直线 和平面 不含原点所以不能形成的子空间。图1.2.1 本讲稿第二十八页,共一百零一页图1.2.2 本讲稿第二十九页,共一百零一页见下面动画见下面动画本讲稿第三十页,共一百零一页 零子空间维数规定为零。而对于零子空间维数规定为零。而对于 的其它的的其它的子空间,维数比
6、原空间的维数小,即子空间,维数比原空间的维数小,即 本讲稿第三十一页,共一百零一页下面讨论子空间的生成问题下面讨论子空间的生成问题设设 是数域是数域 上上 中的一个向量中的一个向量组,在组,在 中任取中任取m m个数个数 ,做,做S S中向量中向量的线性组合的线性组合显然显然 ,这样,这样 全体的集合表示成全体的集合表示成本讲稿第三十二页,共一百零一页)()(生成的子空间,记为生成的子空间,记为为由中的向量为由中的向量称称m21mm2211m21m21,spankkk,SWa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aLLLL+=本讲稿第三十三页,共一百零一页图图1.
7、2.31.2.3中中,表示表示 的几的几个子空间。其中个子空间。其中 是是 的一个基。三个子空的一个基。三个子空间分别可以写成间分别可以写成本讲稿第三十四页,共一百零一页子空间子空间 也可以写成:也可以写成:也可以写成以上类似形式。也可以写成以上类似形式。本讲稿第三十五页,共一百零一页像空间和零空间像空间和零空间本讲稿第三十六页,共一百零一页像空间和零空间像空间和零空间本讲稿第三十七页,共一百零一页定理定理1.2.11.2.1 设设 是数域是数域 上线性空间上线性空间 的一个的一个 维子空间,维子空间,是是 的基,则的基,则 的向量一定可以扩充为的向量一定可以扩充为 的一个基。的一个基。本讲稿
8、第三十八页,共一百零一页定理定理1.2.21.2.2 设设 和和 是线性空间是线性空间 的两个子空间,则它们的交的两个子空间,则它们的交 是是 的子空间,称为的子空间,称为 和和 的交空的交空间间.本讲稿第三十九页,共一百零一页定理定理1.2.31.2.3 设设 和和 是线性空间是线性空间 的两个的两个子空间,则它们的和子空间,则它们的和是是 的子空间,称为的子空间,称为 和和 的和空间。的和空间。本讲稿第四十页,共一百零一页本讲稿第四十一页,共一百零一页本讲稿第四十二页,共一百零一页本讲稿第四十三页,共一百零一页定理定理1.2.41.2.4 (维数公式)设(维数公式)设 和和 是的是的两个线
9、性子空间,则两个线性子空间,则 本讲稿第四十四页,共一百零一页推论推论1 1 如果如果 维线性空间的两个子空间维线性空间的两个子空间 和和 的和空间维数小于的和空间维数小于 和和 维数之维数之和,那么它们的交空间一定含有非零向量,和,那么它们的交空间一定含有非零向量,即即本讲稿第四十五页,共一百零一页定义定义1.2.21.2.2 如果如果 中任一向量只能中任一向量只能唯一的表示成子空间唯一的表示成子空间 的一个向量和子的一个向量和子空间空间 中的一个向量的和,则称中的一个向量的和,则称 是是 的直和,记为的直和,记为 (或)(或)本讲稿第四十六页,共一百零一页定理定理1.2.51.2.5 两个
10、子空间的和是直和两个子空间的和是直和的充要条件是:的充要条件是:本讲稿第四十七页,共一百零一页推论推论 设设 是的是的 两个子空间,则两个子空间,则 的充要条件是:的充要条件是:推论推论2 2可以作为定义可以作为定义1.2.21.2.2的等价定义。的等价定义。本讲稿第四十八页,共一百零一页推论推论3 3 如果如果 是的是的 基;基;是是 的基的基,是直和是直和,那么那么 是是 的基的基.本讲稿第四十九页,共一百零一页1.3.1 1.3.1 线性变换线性变换 定义定义从线性空间到线性空间的映射叫做变换从线性空间到线性空间的映射叫做变换 先看一个例子先看一个例子 1.3 1.3 线性变换及其矩阵表
11、示线性变换及其矩阵表示本讲稿第五十页,共一百零一页本讲稿第五十一页,共一百零一页注注:不满足不满足(1)(1),(,(2 2)的变换不是线性变换的变换不是线性变换 定义定义1.3.11.3.1 设设 和和 是两个线性空间,假如一是两个线性空间,假如一个从个从 到到 的变换的变换 具有以下性质具有以下性质(1 1)(2 2)称作称作 的一个线性变换或线性算子。特别当的一个线性变换或线性算子。特别当 =时,称时,称 是上是上 的线性变换。的线性变换。本讲稿第五十二页,共一百零一页在在 的线性变换中有两个特殊的变换:的线性变换中有两个特殊的变换:(1)(1)如果对任意如果对任意 ,恒有,恒有 ,则,
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