寻找最速降线幻灯片.ppt
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1、寻找最速降线第1页,共18页,编辑于2022年,星期五 数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现直线真理之间的新的接触点.C.F.Guass 数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益.R.C.Buck第2页,共18页,编辑于2022年,星期五 1696年John Bernoulli向他的兄弟和其他数学家挑战性地提出了最速降线(捷线)问题:一质量为m的质点,在重力作用下从定点A沿曲线下滑到定点B,AB试确定一条曲线,使得质点由A到B下滑时间最短.假定B比A低,不计摩
2、擦力和其他阻力等因素.问题导致数学新分支的产生.问 题第3页,共18页,编辑于2022年,星期五近似方法如图建立坐标系,设A为原点,B为(c,H),将带状区域0 y H用平行于x 轴的直线y=yk=kH/nABxycyk-1xk-1ykxk把这区域分成n个带状小区域在带状域yk-1yyk,可近似认为而曲线段近似认为是直线段,其长度于是质点从A到B所需时间近似为(n-1元函数!)第4页,共18页,编辑于2022年,星期五求这个函数的极小值,就得到问题的近似解(为简单计,取g=1000cm/s2)In1:=Out1:=第5页,共18页,编辑于2022年,星期五In3:=In4:=Graphics第
3、6页,共18页,编辑于2022年,星期五一个辅助结论设质点从A1经直线 l 到达A2,质点速度在l 的 显然在l一侧质点应走直线,因此关键是质点OC=x 那么质点由A1到A2需时间A1A2a1a2ClOD如图,若A1,A2到l 的垂足分上侧为v1,下侧为v2,则质点如何运动才最省时?别为O,D,A1,A2 到l的距离分别为a,b,OD=c,质点经过l于C何时越过l?第7页,共18页,编辑于2022年,星期五A1A2a1a2ClOD惟一驻点满足也即这就是光学中的Snell折射定律第8页,共18页,编辑于2022年,星期五建立数学模型分析;如图建坐标系,AB 分割成小段,考虑在第kABxycak+
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