山东大学管理学院线性代数42相似矩阵dfci.pptx
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1、第二节第二节 相似矩阵相似矩阵 一、相似矩阵的概念一、相似矩阵的概念 定义定义4.24.2 设设A A、B B都是都是n n阶矩阵,如果存在非奇异矩阵阶矩阵,如果存在非奇异矩阵P P,使得使得 P P1 1APAPB B我们称我们称A A与与B B相似。记为相似。记为“A AB B”;P P称为称为A A与与B B相似的变换矩阵。相似的变换矩阵。显然,相似矩阵有如下简单性质:显然,相似矩阵有如下简单性质:()A AA A (只需取(只需取P PI I)()如如A AB B,则必有,则必有B BA A证明:因为证明:因为A AB B,所以存在可逆矩阵,所以存在可逆矩阵P P,有,有 P P1 1
2、APAPB B所以所以 A APBPPBP1 1 即即 A A(P(P1 1)1 1 B(P B(P1 1)即是即是 B BA A ()如如A AB B,B BC C,则必有,则必有A AC C。证明证明:因为因为A AB,BB,BC C,所以存在可逆矩阵,所以存在可逆矩阵P P1 1、P P2 2 P P1 11 1APAP1 1B B,P P2 21 1BPBP2 2C C所以有所以有 P P2 21 1(P P1 11 1APAP1 1)P P2 2C C即有即有 (P P1 1P P2 2)1 1A A(P P1 1P P2 2)C C所以所以 A AC C 二、相似矩阵的性质二、相似
3、矩阵的性质 n n阶矩阵阶矩阵A A与与B B如果相似,则它们会有许多共同之处。如果相似,则它们会有许多共同之处。性质性质1 1.如如A AB B,则,则A A与与B B有相同的特征值。有相同的特征值。证明:证明:A AB B,则存在可逆矩阵,则存在可逆矩阵P P有有 P P1 1APAPB B 所以所以|I|IB|B|I|IP P1 1AP|AP|P|P1 1(IIA A)P|P|P|P1 1|I|IA|P|A|P|I|IA|A|即即A A与与B B的特征方程相同的特征方程相同,A A与与B B有相同的特征值。有相同的特征值。性质性质2 2.如如A AB B,则,则A A与与B B的秩相同。
4、的秩相同。证明:证明:A AB B,则存在可逆矩阵,则存在可逆矩阵P P有有 P P1 1APAPB (1)B (1)由于由于P P可逆,可设可逆,可设 P PT T1 1T T2 2T Ts s (T (Ti i为初等矩阵为初等矩阵)代人(代人(1 1)得)得 (T T1 1T T2 2T Ts s)1 1A A(T T1 1T T2 2T Ts s)B B T Ts s-1-1T Ts-1s-1-1-1T T2 2 1 1T T1 1-1-1A A(T T1 1T T2 2T Ts s)B B即即A A经过经过2s2s次初等变换可变成次初等变换可变成B B,所以必有,所以必有 秩秩A A秩
5、秩B B 性质性质3 3.如如A AB B,则,则AABB证明:证明:A AB B,则存在可逆矩阵,则存在可逆矩阵P P有有 P P1 1APAPB B所以有所以有 BBP P1 1APAP|P|P1 1|A|P|A|P|A|A|性质性质4 4.如如A AB B,则,则A A与与B B的奇异性相同(利用性质的奇异性相同(利用性质3 3可得此结可得此结论)论)例例1.1.已已知知三三阶阶矩矩阵阵A A与与B B相相似似,A A的的特特征征值值为为1 1、2 2、3 3,求求矩矩阵阵B B2 22B2B的特征值。的特征值。解:解:A A与与B B相似,则相似,则B B的特征值也为的特征值也为 1
6、1、2 2、3 3由上节例由上节例3 3知知 B B2 2-2B-2B 的特征值为的特征值为 1 1、0 0、3 3。例例2.2.设设n n阶矩阵阶矩阵A A与与B B相似,证明相似,证明A A2 2-A-A与与B B2 2-B-B相似。相似。证明:证明:A A与与B B相似。则存在可逆矩阵相似。则存在可逆矩阵P P,有,有 P P-1-1APAPB B所以所以 B B2 2(P(P-1-1AP)(PAP)(P-1-1AP)AP)P P-1-1A A2 2P P可得可得 P P1 1(A(A2 2 A)P A)PP P1 1A A2 2P PP P1 1APAPB B2 2B B因此可得因此可
7、得 A A2 2 A A 与与 B B2 2 B B 相似。相似。矩阵与对角矩阵相似的条件矩阵与对角矩阵相似的条件 一一.判判定定定定理理.n.n阶阶矩矩阵阵A A与与对对角角矩矩阵阵相相似似的的充充分分必必要要条条件件是是A A有有n n个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量。(记记P P为为A A的的特特征征向向量量组组成成的的矩矩阵阵,对对角角矩矩阵阵是是由由P P的的列列对对应应的的特特征征值值组组成成的的对对角角矩矩阵阵,则有则有P P1 1APAP,即,即A A).证明:(证明:(i i)必要性必要性如果如果A A与对角矩阵与对角矩阵相似,则存在可逆矩阵相似,则存在可逆矩阵P P
8、有有 P P1 1APAP 可得可得 APAPP P 设设 P P(X(X1 1X X2 2X Xn n)其中其中,X,Xi i为为P P的第的第i i列列,由于由于P P可逆,显然可逆,显然X X1 1X X2 2X Xn n线性无关。线性无关。下证下证X Xi i为特征向量为特征向量再设又又 AP=A(XAP=A(X1 1X X2 2X Xn n)=)=(AXAX1 1 AX AX2 2 AXAXn n)由由AP=PAP=P得:(得:(AXAX1 1 AX AX2 2 AXAXn n)=(1 1X X1 1 2 2X X2 2 n nX Xn n)进而可得:进而可得:AXAXi i =i
9、iX Xi i(i =1,2,(i =1,2,n),n)所以所以X X1 1X X2 2X Xn n是是A A的的n n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。(ii)(ii)充分性充分性设设A A有有n n个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量X X1 1X X2 2X Xn n,它它们们依依次次对对应应的的特征值分别为特征值分别为1 12 2n n,则有则有AXAXi ii iX Xi i 令令 P P (X(X1 1X X2 2X Xn n)则可得则可得 AP=A(XAP=A(X1 1X X2 2X Xn n)=)=(AXAX1 1 AX AX2 2 AXAXn n)PP(1 1X
10、 X1 1 2 2X X2 2 n nX Xn n)APAPPP P P1 1APAP 即是即是 A A 证毕证毕.可以得到求与可以得到求与A A相似的相似的对角矩阵对角矩阵,以及相似,以及相似变换矩阵变换矩阵 P P 的的步骤:步骤:第一步:由第一步:由IIAA0 0求出特征值。求出特征值。第二步:对于每个第二步:对于每个,解方程组,解方程组(I(IA)XA)X0 0求出基础求出基础解系,最后得到解系,最后得到n n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量X X1 1X X2 2X Xn n。必有必有 P P 1 1AP=AP=第三步:得到第三步:得到例例.矩阵矩阵求可逆矩阵求可逆矩阵P及对
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