Y第4章曲线.ppt
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1、第第4章章 曲线曲线 曲线可分为由已知方程式表示的规则曲线和用曲线曲线可分为由已知方程式表示的规则曲线和用曲线拟合方法逼近的不规则曲线。这些不规则曲线一般采用拟合方法逼近的不规则曲线。这些不规则曲线一般采用分段的多项式参数方程来表示,由此形成一条光滑连续分段的多项式参数方程来表示,由此形成一条光滑连续的曲线称为样条曲线。的曲线称为样条曲线。本章将主要讨论参数样条曲线的本章将主要讨论参数样条曲线的绘制方法。绘制方法。4.1 概述概述 从卫星的轨道、导弹的弹道,到汽车和飞机等的外形,从卫星的轨道、导弹的弹道,到汽车和飞机等的外形,直至日常生活中的图案和花样设计,都离不了对曲线的描直至日常生活中的图
2、案和花样设计,都离不了对曲线的描述和绘制。以至于可以说,几乎没有一张设计图纸上是没述和绘制。以至于可以说,几乎没有一张设计图纸上是没有曲线的。有曲线的。在我们遇到的各种各样的曲线中,归纳起来,大概在我们遇到的各种各样的曲线中,归纳起来,大概不外乎两类:一类是我们已经比较熟悉的,如圆、椭圆、不外乎两类:一类是我们已经比较熟悉的,如圆、椭圆、双曲线、正弦余弦、概率分布、摆线螺线等等。这类曲双曲线、正弦余弦、概率分布、摆线螺线等等。这类曲线均可以用一个曲线方程式来表示,称此类曲线为规则线均可以用一个曲线方程式来表示,称此类曲线为规则曲线。比如圆的方程可以写成曲线。比如圆的方程可以写成 x2y2=R2
3、等。等。而另有一类曲线,我们尚不能确切给出描述整个曲线而另有一类曲线,我们尚不能确切给出描述整个曲线的方程,它们往往是由一些从实际中测量得到的一系列离的方程,它们往往是由一些从实际中测量得到的一系列离散数据点用曲线拟合方法来逼近的,称为不规则曲线。这散数据点用曲线拟合方法来逼近的,称为不规则曲线。这些曲线一般采用分段的多项式参数方程来表示,由此形成些曲线一般采用分段的多项式参数方程来表示,由此形成一条光滑连续的曲线称为样条曲线或简称样条。常见的参一条光滑连续的曲线称为样条曲线或简称样条。常见的参数样条曲线有抛物样条曲线、数样条曲线有抛物样条曲线、Hermite插值样条曲线、插值样条曲线、Bez
4、ier样条曲线和样条曲线和B样条曲线等。样条曲线等。当曲线的数学表达方法确定以后,剩下的问题就是如当曲线的数学表达方法确定以后,剩下的问题就是如何把这些曲线绘制出来。要绘制一条指定的曲线函数的直何把这些曲线绘制出来。要绘制一条指定的曲线函数的直接方法是用很多短直线段来逼近曲线。绘出的曲线的光滑接方法是用很多短直线段来逼近曲线。绘出的曲线的光滑度和精确度取决于我们所选择的数据点的精度和数量。点度和精确度取决于我们所选择的数据点的精度和数量。点的数量越多,直线段越短,则连成的曲线愈接近于理想曲的数量越多,直线段越短,则连成的曲线愈接近于理想曲线。线。至于点的数量取多少,直线段取多长,则取决于我们至
5、于点的数量取多少,直线段取多长,则取决于我们对所绘制曲线的精度要求和图形输出设备的精度,但我们对所绘制曲线的精度要求和图形输出设备的精度,但我们对所绘制曲线的精度要求不能逾越图形输出设备所实际具对所绘制曲线的精度要求不能逾越图形输出设备所实际具有的精度。有的精度。4.1.1 规则曲线的三种坐标表示法规则曲线的三种坐标表示法 一般平面曲线常用直角坐标、极坐标或参数方程表示,一般平面曲线常用直角坐标、极坐标或参数方程表示,如工程上常用的渐开线、摆线以及正弦余弦曲线等,都是如工程上常用的渐开线、摆线以及正弦余弦曲线等,都是用这三种坐标表示的重要曲线。但从计算机图形学和计算用这三种坐标表示的重要曲线。
6、但从计算机图形学和计算几何的角度看,用参数方程绘制曲线比较方便。几何的角度看,用参数方程绘制曲线比较方便。实际上绘制任何平面曲线都要将曲线方程用参数方实际上绘制任何平面曲线都要将曲线方程用参数方程形式表示,即得到曲线上点坐标程形式表示,即得到曲线上点坐标x与与y的分别计算式。于的分别计算式。于是计算出点的坐标值,调用画线函数或画点函救绘出曲线是计算出点的坐标值,调用画线函数或画点函救绘出曲线上的所有点,便得到一条曲线。上的所有点,便得到一条曲线。1直角坐标曲线直角坐标曲线 曲线的直角坐标表示,有显式曲线的直角坐标表示,有显式y=f(x)和隐式和隐式f(x,y)=0之分。如之分。如y=sin(x
7、)是显式表示,而是显式表示,而x2+y2=1是隐式表是隐式表示。无论是哪种表示,都要将其转换成参数坐标表示即示。无论是哪种表示,都要将其转换成参数坐标表示即 x=x(t)y=y(t)然后可以开始绘制它的图形了。下面对曲线的直角坐然后可以开始绘制它的图形了。下面对曲线的直角坐标显式和隐式两种表示分别加以讨论。标显式和隐式两种表示分别加以讨论。(1)显式显式 对对于于显显式式表表示示y=f(x)的的曲曲线线转转换换成成参参数数坐坐标标表表示示,这这是非常容易的,即是非常容易的,即 x=x y=f(x)这这里里式式子子右右边边的的x看看成成参参数数变变量量。此此两两式式便便是是显显式式表表示示y=f
8、(x)曲线的参数坐标表示。曲线的参数坐标表示。例如正弦曲线例如正弦曲线y=sin(x)是直角坐标显式表示其参数是直角坐标显式表示其参数坐标表达式为坐标表达式为 x=x y=sin(x)这时式子右边的这时式子右边的x当作参数变量。这样给定一个参当作参数变量。这样给定一个参数变量数变量x值,就可求得正弦曲线上一个点的坐标值,就可求得正弦曲线上一个点的坐标x与与y值。值。进而一点一点地绘出正弦曲线。进而一点一点地绘出正弦曲线。(2)隐式隐式 一一般般隐隐式式f(x,y)=0的的曲曲线线转转换换成成参参数数坐坐标标表表示示式式是是很很困困难的,如下面隐式曲线难的,如下面隐式曲线 4x43x3+2y2y
9、x2(a+x)/(ax)=0 (a0)要要表表示示成成参参数数坐坐标标式式,至至今今未未能能成成功功,因因此此无无法法使使用用计计算算机机绘绘制制它它的的图图形形。不不过过常常用用的的重重要要曲曲线线基基本本上上都都能能用参数坐标表示。例如星形线直角坐标表示式:用参数坐标表示。例如星形线直角坐标表示式:x2/3y2/3 =R2/3 (R正常数正常数)可写成参数坐标表示式:可写成参数坐标表示式:x=Rcos3 y=Rsin3 (02)从而可用计算机绘出其曲线图。从而可用计算机绘出其曲线图。2极坐标曲线极坐标曲线 对对任任一一极极坐坐标标曲曲线线=(),可可利利用用极极坐坐标标与与直直角角坐坐标标
10、变变换关系式换关系式 x=cos y=sin 将此曲线转换成参数坐标表示为将此曲线转换成参数坐标表示为 x=()cos y=()sin这里这里成为参数坐标。成为参数坐标。例如,重要曲线阿基米德螺线例如,重要曲线阿基米德螺线 =a (a正常数正常数)极坐标与直角坐标变换关系式极坐标与直角坐标变换关系式 x=cos y=sin 将阿基米德螺线将阿基米德螺线=a代入上面两式,便得代入上面两式,便得 x=acos y=asin这样就将阿基米德螺线极坐标表示转换成了参数坐标表示。这样就将阿基米德螺线极坐标表示转换成了参数坐标表示。由阿基米德螺线参数坐标表示式由阿基米德螺线参数坐标表示式 x=acos y
11、=asin可以计算出其曲线上点的坐标值,然后用这些点的坐标值可以计算出其曲线上点的坐标值,然后用这些点的坐标值调用绘图函数就可绘出阿基米德螺线曲线图。调用绘图函数就可绘出阿基米德螺线曲线图。3参数坐标曲线参数坐标曲线 曲线的参数坐标表示一般为曲线的参数坐标表示一般为 x=x(t)y=y(t)如弹道曲线如弹道曲线 x=V0tcos y=V0tsingt2/2 (0t2V0Sin/g)式中式中V0,g,均为常数,均为常数,t为参数变量。为参数变量。对于给定一个参数变量对于给定一个参数变量t值,就可求得弹道曲线上一个值,就可求得弹道曲线上一个点的点的x与与y坐标值。若给出参数变量坐标值。若给出参数变
12、量t的一系列值,便可求出的一系列值,便可求出弹道曲线上一系列点的弹道曲线上一系列点的x和和y坐标值。有了坐标值。有了x,y坐标值,使用坐标值,使用绘图函数把这一系列点绘制出来,就获得一条弹道曲线。绘图函数把这一系列点绘制出来,就获得一条弹道曲线。对于某一参数曲线,我们不可能也没有必要去研究参对于某一参数曲线,我们不可能也没有必要去研究参变量变量t从从到到+的整条曲线,而往往只对其中的某一段的整条曲线,而往往只对其中的某一段感兴趣。通常我们经过对参变量感兴趣。通常我们经过对参变量t的规格化变换,使的规格化变换,使t在在0,1闭区间内变化,写成闭区间内变化,写成t0,1,对此区间内的参数曲对此区间
13、内的参数曲线进行研究。线进行研究。4参数曲线的优点参数曲线的优点 在曲线的表示上,参数方程比显式、隐式方程有更在曲线的表示上,参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性。多的优越性。(1)有有更更大大的的自自由由度度来来控控制制曲曲线线的的形形状状。如如一一条条二二维维三三次曲线的显式表示为:次曲线的显式表示为:y=ax3bx2cxd其中只有其中只有4个系数可用来控制此曲线的形状。个系数可用来控制此曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为:而二维三次曲线的参数表达式为:x=at3bt2ctd y=et3ft2gth其中有其中有8个系数可用来控制此曲线的形状。个系数可用来控制此曲线的形状。(2)对非
14、参数方程表示的曲线进行变换,必须对曲线对非参数方程表示的曲线进行变换,必须对曲线上的每个型值点进行几何变换;而对参数表示的曲线可上的每个型值点进行几何变换;而对参数表示的曲线可对其参数方程直接进行几何变换对其参数方程直接进行几何变换(如平移、比例、旋转如平移、比例、旋转),从而节省计算工作量。,从而节省计算工作量。(3)便于处理斜率为无限大的问题,不会因此而中断便于处理斜率为无限大的问题,不会因此而中断计算。计算。(4)(4)规格化的参数变量规格化的参数变量t0,1,使其相应的几何分量使其相应的几何分量是有界的,而不必用另外的参数去定义其边界。是有界的,而不必用另外的参数去定义其边界。(5)(
15、5)参数方程中,代数、几何相关和无关的变量是完全参数方程中,代数、几何相关和无关的变量是完全分离的,而且对变量个数不限,从而便于用户把低维空间分离的,而且对变量个数不限,从而便于用户把低维空间中的曲线扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们中的曲线扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式去处理几何分量,如我们以后用的调和函可以用数学公式去处理几何分量,如我们以后用的调和函数就具有此特点。数就具有此特点。(6)易易于于用用矢矢量量和和矩矩阵阵表表示示几几何何分分量量,简简化化了了计计算算。基基于于这这些些优优点点,我我们们在在以以后后将将用用参参数数表表达达式式来来讨讨论论曲曲
16、线线问问题。题。4.1.2 参数样条曲线的常用术语参数样条曲线的常用术语 在工程设计中,一般多采用低次的参数样条曲线。在工程设计中,一般多采用低次的参数样条曲线。这是因为高次参数样条曲线计算费时,其数学模型难于这是因为高次参数样条曲线计算费时,其数学模型难于建立且性能不稳定,即任何一点的几何信息的变化都有建立且性能不稳定,即任何一点的几何信息的变化都有可能引起曲线形状复杂的变化。可能引起曲线形状复杂的变化。因此,实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线,如:因此,实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线,如:二次参数样条曲线:二次参数样条曲线:P(t)=A0+A1t+A2t2 三次参数样条曲线:三
17、次参数样条曲线:P(t)=A0+A1t+A2t2+A3t3 1型值点和控制点型值点和控制点 所所谓谓型型值值点点,是是指指通通过过测测量量或或计计算算得得到到的的曲曲线线上上少少量量描描述述曲曲线线几几何何形形状状的的数数据据点点。由由于于型型值值点点的的数数量量有有限限,不不足足以以充充分分描描述述曲曲线线的的形形状状,因因此此通通常常是是在在求求得得一一些些型型值值点点后后,采采用用一一定定的的数数学学方方法法,建建立立曲曲线线的的数数学学模模型型,从而再根据数学模型去获得曲线上每一点的几何信息。从而再根据数学模型去获得曲线上每一点的几何信息。所谓控制点,是指用来控制或调整曲线形状的特殊点
18、,所谓控制点,是指用来控制或调整曲线形状的特殊点,曲线段本身不通过该控制点。曲线段本身不通过该控制点。2切线、法线和曲率切线、法线和曲率 当曲线上的点当曲线上的点Q趋于趋于M时,割线的极限位置称为曲线时,割线的极限位置称为曲线在点在点M处的切线。若参数曲线上任一点的坐标为处的切线。若参数曲线上任一点的坐标为p(t)=x(t),y(t),z(t),则该点的切线方程即为参数曲线在该则该点的切线方程即为参数曲线在该点处的一阶导函数,即点处的一阶导函数,即p(t)=x(t),y(t),z(t)。法线就是垂直切线方向且通过该点的直线。法线就是垂直切线方向且通过该点的直线。曲曲线线上上两两点点M和和Q的的
19、切切线线的的夹夹角角与与弧弧长长MQ之之比比,当当Q趋于趋于M时的极限,即时的极限,即称为曲线在称为曲线在M点的曲率,如图点的曲率,如图4.1所示。曲率也是切线的方所示。曲率也是切线的方向角对于弧长的转动率,其值为曲线在向角对于弧长的转动率,其值为曲线在M处的二阶导数。处的二阶导数。yxQMd+ddds图图4.1 4.1 曲线的曲率曲线的曲率 3插值、逼近和拟合插值、逼近和拟合 插值与逼近是曲线设计中的两种不同方法。插值设计插值与逼近是曲线设计中的两种不同方法。插值设计方法要求建立的曲线数学模型,严格通过已知的每一个型方法要求建立的曲线数学模型,严格通过已知的每一个型值点。而逼近设计方法,顾名
20、思义,用这种方法建立的曲值点。而逼近设计方法,顾名思义,用这种方法建立的曲线数学模型只是近似地接近已知的型值点。线数学模型只是近似地接近已知的型值点。而曲线的拟合则是这两种设计方法的统称,是指在曲而曲线的拟合则是这两种设计方法的统称,是指在曲线的设计过程中,用插值或逼近方法使生成的曲线达到某线的设计过程中,用插值或逼近方法使生成的曲线达到某些设计要求,如在允许的范围内贴近原始的型值点或控制些设计要求,如在允许的范围内贴近原始的型值点或控制点序列,或曲线看上去很光滑等。点序列,或曲线看上去很光滑等。4参数连续性和几何连续性参数连续性和几何连续性 为保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡,我为保证
21、分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡,我们可以在连接点处要求各种参数连续性条件。们可以在连接点处要求各种参数连续性条件。0阶参数连续性,记作阶参数连续性,记作C0连续,是指曲线相连,即第连续,是指曲线相连,即第一个曲线段的终点与第二个曲线段的起点相同。一阶参数一个曲线段的终点与第二个曲线段的起点相同。一阶参数连续性,记作连续性,记作C1连续性,指代表两个相邻曲线段的方程在连续性,指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数相交点处有相同的一阶导数(切线切线)。二阶参数连续性,记。二阶参数连续性,记作作C2连续性,是指两个曲线段在交点处有相同的一阶和二连续性,是指两个曲线段在交点处有相同的
22、一阶和二阶导数。阶导数。连结两个相邻曲线段的另一个方法是指定几何连续性连结两个相邻曲线段的另一个方法是指定几何连续性条件。这种情况下,只需两曲线段在相交处的参数导数成条件。这种情况下,只需两曲线段在相交处的参数导数成比例而不是相等。比例而不是相等。0阶几何连续性,记为阶几何连续性,记为G0连续性,与连续性,与0阶参数连续性相阶参数连续性相同,即两个曲线段必在公共点处有相同的坐标。一阶几何同,即两个曲线段必在公共点处有相同的坐标。一阶几何连续性,记为连续性,记为 G1连续性,指一阶导数在两个相邻段的交连续性,指一阶导数在两个相邻段的交点处成比例但不一定相等。二阶几何连续性,记为点处成比例但不一定
23、相等。二阶几何连续性,记为G2连续连续性,指两个曲线段在相交处其一阶和二阶导数均成比例。性,指两个曲线段在相交处其一阶和二阶导数均成比例。G2连续性下,两个曲线段在交点处的曲率相等。连续性下,两个曲线段在交点处的曲率相等。在实际的曲线造型应用中,我们要适当地选择曲线在实际的曲线造型应用中,我们要适当地选择曲线段间的连续性,使造型物体既能保证其光滑性的要求,段间的连续性,使造型物体既能保证其光滑性的要求,也能保证其美观性的要求。也能保证其美观性的要求。4.2 抛物样条曲线抛物样条曲线 4.2.1 抛物样条曲线的数学表达式抛物样条曲线的数学表达式 在拟合生成样条曲线的众多方法中,我们首先选择较在拟
24、合生成样条曲线的众多方法中,我们首先选择较为简单的二次样条曲线即抛物样条曲线的生成方法作为基为简单的二次样条曲线即抛物样条曲线的生成方法作为基本方法,来讨论如何用插值方法生成通过给定离散型值点本方法,来讨论如何用插值方法生成通过给定离散型值点的样条曲线。实际上,二次的样条曲线。实际上,二次Bezier曲线和二次曲线和二次B样条曲线也样条曲线也是抛物样条曲线,但它们采用的方法是逼近方法。是抛物样条曲线,但它们采用的方法是逼近方法。由于离散点的要求,我们首先要解决由给定点定义抛由于离散点的要求,我们首先要解决由给定点定义抛物线问题。设有不在同一直线上的三点:物线问题。设有不在同一直线上的三点:P1
25、,P2,P3,现现在要求通过该给定的三点定义一条抛物线。如图在要求通过该给定的三点定义一条抛物线。如图4.2所示。所示。P1P2P3图图4.2 4.2 过三点的抛物线过三点的抛物线 假如我们采用矢量表达式假如我们采用矢量表达式来表示参数化的二次曲线,那来表示参数化的二次曲线,那么可以把抛物线的表达式写成么可以把抛物线的表达式写成如下的一般形式为:如下的一般形式为:P(t)=A1+A2t+A3t2 (0t1)(41)抛物线是一条二次曲线,所以表达式中参数抛物线是一条二次曲线,所以表达式中参数t的最高次的最高次数为数为2,同时让参数,同时让参数t在在0l之间取值。之间取值。这就是说,只要确定了式这
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