节 刚体动力学.pptx
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1、6.1 力矩力矩 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程一.力矩力改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度 力 F 对z 轴的力矩力矩取决于力的大小、方向和作用点在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向质点获得加速度改变质点的运动状态hA 第1页/共40页(1)(1)力对点的力矩力对点的力矩O .(2)(2)力对定轴力矩的矢量形式力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由力矩的方向由右螺旋法则右螺旋法则确定确定(3)(3)力对任意点的力矩,在力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴投影,等于该力对该轴 的力矩的力矩讨论hA 第2页/共40页xLOMy例已知棒长已知
2、棒长 L,质量质量 M,在摩擦系数为,在摩擦系数为 的桌面转动的桌面转动(如图如图)解根据力矩xdxTT例如TT在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算求 摩擦力对y轴的力矩第3页/共40页刚体的转动定律作用在刚体上所有的外力对作用在刚体上所有的外力对定轴定轴 z z 轴的力矩的代数和轴的力矩的代数和刚体对刚体对 z z 轴轴的转动惯量的转动惯量(1)M 正比于正比于 ,力矩越大力矩越大,刚体的刚体的 越大越大(2)力矩相同,若转动惯量不同,产生的角加速度不同力矩相同,若转动惯量不同,产生的角加速度不同二.刚体对定轴的转动定律实验证明当 M 为零时,则刚体保持静止或匀速转动当存在 M 时,与 M
3、成正比,而与J 成反比(3)与牛顿定律比较:与牛顿定律比较:讨论在国际单位中 k=1第4页/共40页O理论推证取一质量元切线方向对固定轴的力矩对所有质元合内力矩合内力矩 =0合外力矩合外力矩 M刚体的转动惯量刚体的转动惯量 J第5页/共40页三.转动惯量定义式质量不连续分布质量连续分布计算转动惯量的三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置(1)J 与刚体的总质量有关例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量LzOxdxM第6页/共40页(2)J 与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrR第7页/共40页OLxdxMzLOxdx
4、M四.平行轴定理及垂直轴定理zLCMzz(3)J 与转轴的位置有关1.平行轴定理:刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离两轴间垂直距离第8页/共40页例 均匀细棒的转动惯量2.(薄板)垂直轴定理ML 例如求对圆盘的一条直径的转动惯量已知 yx z 圆盘 R C mx,y轴在薄板内;z 轴垂直薄板。zxy第9页/共40页(1)飞轮的角加速度(2)如以重量P=98 N的物体挂在绳端,试计算飞轮的角加速解 (1)(2)两者区别两者区别五.转动定律的应用举例例求一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘,在绳端施以F=98 N 的拉力,飞轮的
5、转动惯量 J=0.5 kgm2,飞轮与转轴间的摩擦不计,(见图)第10页/共40页一根长为 l,质量为 m 的均匀细直棒,可绕轴 O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置求 它由此下摆 角时的 OlmCx解取一质元重力对整个棒的合力矩等于重力全部重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩集中于质心所产生的力矩dm例第11页/共40页圆盘以 0 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止解例求 到圆盘静止所需时间取一质元由转动定律摩擦力矩R第12页/共40页例 一个刚体系统,如图所示,已知,转动惯量,现有一水平力作用于距轴为 l 处求 轴对棒的作用力(也称轴反力)。解设轴对棒的作用力为 N由
6、质心运动定理打击中心打击中心质心运动定理与转动定律联用质心运动定理与转动定律联用质点系质点系由转动定律第13页/共40页6.2 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理一.转动动能z O设系统包括有 N 个质量元,其动能为各质量元速度不同,各质量元速度不同,但角速度相同但角速度相同刚体的总动能P绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半方乘积的一半结论取第14页/共40页二.力矩的功O 功的定义力矩作功的力矩作功的微分形式微分形式对一有限过程若若 M=C(积分形式积分形式 )力的累积过程力矩的空
7、间累积效应.P第15页/共40页三.转动动能定理 力矩功的效果对于一有限过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过程中作用在刚体上绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理动能定理(2)力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。(3)内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。讨论(1)合力矩的功合力矩的功第16页/共40页 刚体的机械能刚体重力势能刚体的机械能质心的势能质心的势能刚体的机械能守恒对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立第17页/共40页例 一根长
8、为 l,质量为 m 的均匀细直棒,可绕轴 O 在竖直平 面内转动,初始时它在水平位置解由动能定理求 它由此下摆 角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCx第18页/共40页图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上,转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮,绳的一端缠绕在鼓轮上,另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。重物下落时,由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段距离 h,所用时间为t,例解 分析(机械能):求求 物体物体A对对Z 轴的转动惯量轴的转动惯量Jz。设绳子。设绳子不可伸缩,绳子、各轮质量及轮轴不可伸缩,绳子、
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