现代数学与应用幻灯片.ppt
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1、现代数学与应用第1页,共49页,编辑于2022年,星期日8.1 208.1 20世纪数学应用的发展概况世纪数学应用的发展概况随着二次世界大战的爆发,大量的实际问题吸引着无数随着二次世界大战的爆发,大量的实际问题吸引着无数的数学家投入到应用数学的研究。的数学家投入到应用数学的研究。“数数学家不能无视客观世界,必须运用数学而且承担学家不能无视客观世界,必须运用数学而且承担解决应用问题的道义责任。解决应用问题的道义责任。”(维纳语)。(维纳语)。数理逻辑、运筹学、控制论等应用数学,都从战争数理逻辑、运筹学、控制论等应用数学,都从战争 的需要的需要中找到了自己生长发育的土壤中找到了自己生长发育的土壤
2、2020世纪最初的二、三十年中,崇尚纯粹数学,世纪最初的二、三十年中,崇尚纯粹数学,忽视数学应用,成为数学研究的主要思想倾忽视数学应用,成为数学研究的主要思想倾向向第2页,共49页,编辑于2022年,星期日 2020世纪下半叶,是应用数学发展的高峰期世纪下半叶,是应用数学发展的高峰期:突变理论、模糊数学以及计算机数学应运突变理论、模糊数学以及计算机数学应运而生而生.数学应用受到社会的关注并取得前所未有的发数学应用受到社会的关注并取得前所未有的发展展 数学与其它领域相结合而形成一系列交叉数学与其它领域相结合而形成一系列交叉学科学科 第3页,共49页,编辑于2022年,星期日8.2 8.2 数学模
3、型方法数学模型方法哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题 是将实际问题转化为数学问题,并借助数学理论来是将实际问题转化为数学问题,并借助数学理论来解释现实问题的方法解释现实问题的方法 第4页,共49页,编辑于2022年,星期日 用数学模型方法解决实际问题,主要经历以下的几个用数学模型方法解决实际问题,主要经历以下的几个步骤步骤:建构数学模型的过程是不断地实践检验、重构的过程建构数学模型的过程是不断地实践检验、重构的过程。为建模提供必要的观测数据和经验性的结论为建模提供必要的观测数据和经验性的结论 区分现实问题中的主次因素,简化现实问题的结构关系,给区分现实问题中的主次因素,简化现实问题的结构关系,给
4、出这些因素、关系的数学概念和数学结构,数学模型的解常出这些因素、关系的数学概念和数学结构,数学模型的解常常需要与计算机有关的算法设计常需要与计算机有关的算法设计 p 构建数学模型构建数学模型 p 求解数学问题求解数学问题 p 回到实际中解释结果回到实际中解释结果第5页,共49页,编辑于2022年,星期日生态学中应用的范例生态学中应用的范例:意大利数学家伏尔泰拉建立了一个数学模型,用微分方程意大利数学家伏尔泰拉建立了一个数学模型,用微分方程 描描 述捕食者与猎物之间的相互消长,得到的解为:述捕食者与猎物之间的相互消长,得到的解为:猎物(小鱼)和捕食者(大鱼)的平均数分别为猎物(小鱼)和捕食者(大
5、鱼)的平均数分别为 (a a2 2+c c)/)/b b1 1,(,(a a1 1c c)/)/b b2 2.(其中(其中a a1 1,a a2 2,b b1 1,b b2 2都是参数,都是参数,c c是捕鱼是捕鱼量)量)当捕鱼量当捕鱼量c c增加时,捕食者减少,猎物增加;增加时,捕食者减少,猎物增加;当当c c减小时,捕食者增加减小时,捕食者增加 而猎物减小而猎物减小2020世纪世纪2020年代,意大利生物学家迪安康纳在研究地中海各年代,意大利生物学家迪安康纳在研究地中海各 种鱼群的变化及其相互影响时发现,鲨鱼及其它凶猛大鱼的种鱼群的变化及其相互影响时发现,鲨鱼及其它凶猛大鱼的捕获量在全部捕
6、鱼量中的比例有戏剧性的变化捕获量在全部捕鱼量中的比例有戏剧性的变化:在第一次世界大战期间凶猛大鱼的捕获量成倍增长在第一次世界大战期间凶猛大鱼的捕获量成倍增长第6页,共49页,编辑于2022年,星期日 数学模型给出的结果,可以给这一现象解数学模型给出的结果,可以给这一现象解 释释 如下:如下:v 因战争捕鱼量下降,凶猛大鱼因战争捕鱼量下降,凶猛大鱼 的数量增加的数量增加v 战战 后捕鱼量逐渐增加,凶猛大鱼的数量便逐后捕鱼量逐渐增加,凶猛大鱼的数量便逐渐下降。渐下降。这一模型所揭示的规律现在称为伏尔泰拉原理这一模型所揭示的规律现在称为伏尔泰拉原理 第7页,共49页,编辑于2022年,星期日8.3
7、8.3 非线性数学非线性数学 对现实世界中的各类问题的线性处理:对现实世界中的各类问题的线性处理:譬如,牛顿用动力学定律描述物体的确定性现象:譬如,牛顿用动力学定律描述物体的确定性现象:当物体在外力作用下,如果已知当物体在外力作用下,如果已知 在初始时刻在初始时刻t t。物体。物体 位位于初始位置于初始位置x x0 0,就可以推知物体在未来时刻,就可以推知物体在未来时刻t t的位置。的位置。在这里,一个基本的假设是运动关于初始值是稳定的,在这里,一个基本的假设是运动关于初始值是稳定的,即初值的微小误差,不会影响物体未来的运动轨迹。即初值的微小误差,不会影响物体未来的运动轨迹。第8页,共49页,
8、编辑于2022年,星期日v非线性问题没有一般的求解方法。往往很难求得准确解,非线性问题没有一般的求解方法。往往很难求得准确解,常采用线性逼近的方法求得非线性问题的近似解。常采用线性逼近的方法求得非线性问题的近似解。例如:例如:“拟线性拟线性”的方法的方法 。世界本质上是非线性的:绝大多数的事物并非是稳世界本质上是非线性的:绝大多数的事物并非是稳定的、有序的和平衡的。定的、有序的和平衡的。譬如,蝴蝶效应(对初始条件的敏感依赖性),描述譬如,蝴蝶效应(对初始条件的敏感依赖性),描述这类系统的数学模型不同于牛顿力学的原理,而是更为复这类系统的数学模型不同于牛顿力学的原理,而是更为复杂的非线性系统的原
9、理和模型。杂的非线性系统的原理和模型。第9页,共49页,编辑于2022年,星期日人口增长数学模型:从线性方程到非线性方程人口增长数学模型:从线性方程到非线性方程 马尔萨斯的线性方程数学模型:马尔萨斯的线性方程数学模型:人口的增长率与现有的人口数成正比,即人口的增长率与现有的人口数成正比,即 第10页,共49页,编辑于2022年,星期日v 按照这个模型考察短期人口的增长情况,基本是正确的。但是用它未预见更长一段时期的情况,就很难奏效。比如,1965年1月的世界人口是33.4亿,由于1960年至1970年世界人口的平均增长率为2%。按马尔萨斯的模型计算,到2660年,世界人口将达到3.6107亿。
10、这样,即使我们把占地球面积80%的水面也住上人,届时每个人的肩上也得站两个人。第11页,共49页,编辑于2022年,星期日逻辑斯蒂模型,一个非线性方程及其解逻辑斯蒂模型,一个非线性方程及其解:第12页,共49页,编辑于2022年,星期日 其中其中c c0 0是常数,它由是常数,它由t t0 0时的人口数时的人口数x x0=0=/(/(+c c)确定。当确定。当t t趋于趋于无穷大时,无穷大时,x x 趋于趋于/。这表示在资源有限的区域内,人口不。这表示在资源有限的区域内,人口不能无限制地增长,它要趋于一个饱和值(能无限制地增长,它要趋于一个饱和值(/)。)。按照逻辑斯蒂模型计算,地球总人数的饱
11、和值估计将是按照逻辑斯蒂模型计算,地球总人数的饱和值估计将是107.6107.6亿,亿,而按照这一模型曲线,在人口达到这个饱和值的一半之前,是人而按照这一模型曲线,在人口达到这个饱和值的一半之前,是人口加速增长时期;达到其一半之后,人口增长率就降低,进入减口加速增长时期;达到其一半之后,人口增长率就降低,进入减速增长时期,最终的增长率趋于零。速增长时期,最终的增长率趋于零。第13页,共49页,编辑于2022年,星期日量子场理论量子场理论 _ _麦克斯韦方程麦克斯韦方程 _ _杨杨米尔斯方程米尔斯方程整体微分几何整体微分几何 _ _陈示性类与纤维丛理论陈示性类与纤维丛理论 数学与物理的内在和谐性
12、数学与物理的内在和谐性 8.4 8.4 杨杨米尔斯方程与现代微分几何米尔斯方程与现代微分几何现代理论物理学和核心数学的所有子学科间紧密联系的漂现代理论物理学和核心数学的所有子学科间紧密联系的漂亮的范例亮的范例 第14页,共49页,编辑于2022年,星期日19671967年,杨振宁在研究规范场理论的推广问题时,年,杨振宁在研究规范场理论的推广问题时,发现了黎曼几何中的公式规范场公式的特例。发现了黎曼几何中的公式规范场公式的特例。1975 1975年初杨振宁听了一系列数学讲座,开始使用纤年初杨振宁听了一系列数学讲座,开始使用纤维丛理论解释物理现象,并于当年发表了论文维丛理论解释物理现象,并于当年发
13、表了论文,明确明确指出了指出了 纤维丛理论和规范场理论的联系,将这两个纤维丛理论和规范场理论的联系,将这两个领域的概念建立了一领域的概念建立了一 一对应的关系一对应的关系 v杨杨米尔斯理论乃是吸引未来越来越多数学家的一门年米尔斯理论乃是吸引未来越来越多数学家的一门年轻的学科。轻的学科。第15页,共49页,编辑于2022年,星期日8.5 8.5 折叠与突变理论折叠与突变理论 经典的系统稳定性的理论:稳定性系统是一种经典的系统稳定性的理论:稳定性系统是一种当影响系统的因素连续变化时,其系统的行为也当影响系统的因素连续变化时,其系统的行为也连续变化的系统,而且当因素发生微小变化,系连续变化的系统,而
14、且当因素发生微小变化,系统的行为也只发生微小的变化。统的行为也只发生微小的变化。第16页,共49页,编辑于2022年,星期日突变现象则是自然界和社会中普遍存在的另一突变现象则是自然界和社会中普遍存在的另一类不具有稳定状态的客观现象,类不具有稳定状态的客观现象,1972 1972年,法国拓扑学家托姆创立了突变年,法国拓扑学家托姆创立了突变理论的数学模型。突变理论就是运用一些典理论的数学模型。突变理论就是运用一些典型函数在一些临界点(即能使系统状态在微型函数在一些临界点(即能使系统状态在微小小“扰动扰动”下产生巨变的自变量值)的性态下产生巨变的自变量值)的性态来刻划突变现象。来刻划突变现象。第17
15、页,共49页,编辑于2022年,星期日最简单的突变模型:最简单的突变模型:f f(x x)=(1/3)=(1/3)x x3 3 ,在,在x x=0=0处,给处,给出一个微扰,形成了一个函数族出一个微扰,形成了一个函数族f fa a(x x)=(1/3)=(1/3)x x3 3+axax 系统系统V V(x x,1/3,1/3,a a),对于参),对于参数数a a的某些值,使的某些值,使x x=0=0这个点(或附近)有这个点(或附近)有影响系统突变的两个影响系统突变的两个临界点。即正是参数临界点。即正是参数a a的微扰而产生系统出现的微扰而产生系统出现突变。突变。第18页,共49页,编辑于202
16、2年,星期日尖角型模型尖角型模型 的实例的实例气液相变中的突变现象水气液相变中的突变现象水的密度的密度是温度是温度 T T 和压力和压力 P P 的函数的函数 用用、T T、P P三个变量组成三三个变量组成三维行为空间如图,其中两维行为空间如图,其中两个水平轴表示相变条件:个水平轴表示相变条件:温度与压力,称为控制平温度与压力,称为控制平面;垂直于控制平面的第面;垂直于控制平面的第三轴表示水的状态:密度;三轴表示水的状态:密度;水的密度变化可用一个特水的密度变化可用一个特殊曲面表示,称为行为曲殊曲面表示,称为行为曲面。面。第19页,共49页,编辑于2022年,星期日整个行为曲面由液态的整个行为
17、曲面由液态的 高密度区向气态的低密度倾斜,高密度区向气态的低密度倾斜,说明随温度上升和压力下降,密度变小说明随温度上升和压力下降,密度变小 v设温度和压力沿设温度和压力沿ABAB方向变化,在行为方向变化,在行为曲面上水的密度处于渐变过程中。曲面上水的密度处于渐变过程中。但到了折叠的边缘,只要温度和压但到了折叠的边缘,只要温度和压力沿力沿ABAB方向再离开方向再离开F F一点点,水的密一点点,水的密度值就突然跌到行为曲面的下叶的度值就突然跌到行为曲面的下叶的气态区域。这时水由液态变为气态,气态区域。这时水由液态变为气态,形成一次突变。反之,如果温度和形成一次突变。反之,如果温度和压力沿着压力沿着
18、BABA的方向变化,起初水的的方向变化,起初水的气态密度在行为曲面下叶沿连续地有所气态密度在行为曲面下叶沿连续地有所增加。但到了折叠的另一个边缘,密度增加。但到了折叠的另一个边缘,密度值突然上升到曲面上叶的液态区域,水值突然上升到曲面上叶的液态区域,水蒸气变为液态的水,这也是一次突变。蒸气变为液态的水,这也是一次突变。第20页,共49页,编辑于2022年,星期日8.6 8.6 平衡点与对策论平衡点与对策论 有鞍点的零和对策实例有鞍点的零和对策实例 1943 1943年初,驻守在新几内亚岛北、南两边的日本与同盟国年初,驻守在新几内亚岛北、南两边的日本与同盟国军队处于对峙的状态。当时情报部门获悉,
19、日本正调遣一支军队处于对峙的状态。当时情报部门获悉,日本正调遣一支护卫舰队增援其岛上驻军,增援的路线可能有南、北两条航护卫舰队增援其岛上驻军,增援的路线可能有南、北两条航线,而且无论走哪条航线,估计都需要三天的时间。线,而且无论走哪条航线,估计都需要三天的时间。这时同盟国决定在三天中利用侦察机尽快搜寻到日军这时同盟国决定在三天中利用侦察机尽快搜寻到日军的增援舰队,然后能有更多的时间(极大化)轰炸这个舰队。的增援舰队,然后能有更多的时间(极大化)轰炸这个舰队。双方指挥官在都不知道对方具体走哪条路线的情况下,要设计双方指挥官在都不知道对方具体走哪条路线的情况下,要设计出对双方都是最佳的选择,出对双
20、方都是最佳的选择,第21页,共49页,编辑于2022年,星期日 利用所谓的利用所谓的“支付矩阵支付矩阵”说明双方最佳的选择方案说明双方最佳的选择方案 矩阵中表示矩阵中表示天数的数字天数的数字在对策论中在对策论中称为称为“支付支付”同盟国可以获得的轰炸天数,即同盟国可以获得的轰炸天数,即“行局中人行局中人”的支付。如,的支付。如,在行局中人(同盟国)选择搜索南线,且在行局中人(同盟国)选择搜索南线,且“列局中人列局中人”(日方)也航行(日方)也航行南线的情况下,同盟国有南线的情况下,同盟国有3 3天可以用于轰炸。由于双方的利益截然相反,所天可以用于轰炸。由于双方的利益截然相反,所以列局中人(日方
21、)的支付就是这些数字的负值。以列局中人(日方)的支付就是这些数字的负值。第22页,共49页,编辑于2022年,星期日 现在的问题是,在已知支付结构的情况下,双现在的问题是,在已知支付结构的情况下,双方的局中人做怎样的选择才是最佳的?方的局中人做怎样的选择才是最佳的?第23页,共49页,编辑于2022年,星期日 对于同盟国一方:如果沿北线搜索,那么不管日方走哪条路增援,对于同盟国一方:如果沿北线搜索,那么不管日方走哪条路增援,他取得的支付都是他取得的支付都是2 2(即获得(即获得2 2天的轰炸时间);如果同盟军沿南线搜天的轰炸时间);如果同盟军沿南线搜索,那么可以获得支付索,那么可以获得支付1
22、1或或3 3。在事先不知日方确切的增援线路的情况。在事先不知日方确切的增援线路的情况下,同盟国的决策是从北线搜索,并获得支付下,同盟国的决策是从北线搜索,并获得支付2 2。如果将支付矩阵中每。如果将支付矩阵中每行的支付的行的支付的“极小值极小值”列在图的右侧,可以看出,同盟国是选择了列在图的右侧,可以看出,同盟国是选择了“行极小中的最大值行极小中的最大值”。出于相同的理由,日方会选择北线增援,即选择了列局中人的出于相同的理由,日方会选择北线增援,即选择了列局中人的“列极大中的最小值列极大中的最小值”(见图的下方)。在局中人的这种选择下,不(见图的下方)。在局中人的这种选择下,不管对方采用什么行
23、动,双方都获得了自己的一种极小的支付。管对方采用什么行动,双方都获得了自己的一种极小的支付。第24页,共49页,编辑于2022年,星期日 在双方的这种抉择下,双方的支付都是在双方的这种抉择下,双方的支付都是2 2,即列极小中的最大值等于列极大中的最小值,即列极小中的最大值等于列极大中的最小值,我们称它为对策的我们称它为对策的“平衡点平衡点”。由于对竞争双方而言。由于对竞争双方而言支付的绝对值相等,且符号相反,因此又称此类对策的解支付的绝对值相等,且符号相反,因此又称此类对策的解为为“零和对策零和对策”,平衡决策点又称为,平衡决策点又称为“鞍点鞍点”第25页,共49页,编辑于2022年,星期日v
24、从数学的观点上看,极大极小定理对于竞争双方的从数学的观点上看,极大极小定理对于竞争双方的零和对策,已经提供了唯一的数值解。但在现实中,零和对策,已经提供了唯一的数值解。但在现实中,对策的局中人可能不只是两个,或者局中人赢得的对策的局中人可能不只是两个,或者局中人赢得的支付又未必等于另一局中人输掉的支付支付又未必等于另一局中人输掉的支付v美国数学家纳什将极大极小定理推广到了有两个或美国数学家纳什将极大极小定理推广到了有两个或更多个局中人的非零和对策更多个局中人的非零和对策所谓的所谓的“非合作对非合作对策策”的情景。并得到了重要的结论的情景。并得到了重要的结论纳什定理:纳什定理:在任意一个在任意一
25、个n n个人参加的非合作对策(零和或非零和)个人参加的非合作对策(零和或非零和)中,如果每个局中人有有限个纯策略,那么,至少有中,如果每个局中人有有限个纯策略,那么,至少有一个策略平衡组一个策略平衡组 。v 纳什的工作于纳什的工作于19941994年获得了经济学诺贝尔奖,这年获得了经济学诺贝尔奖,这是在使诺贝尔奖建立是在使诺贝尔奖建立9393年之后,第一次授予了一年之后,第一次授予了一个纯数学理论研究成果。个纯数学理论研究成果。第26页,共49页,编辑于2022年,星期日8.7 8.7 隶属函数与模糊数学(隶属函数与模糊数学(19651965年美国的扎德)年美国的扎德)特征函数与隶属函数特征函
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