几何解题途径的探求.ppt
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1、 竞赛数学竞赛数学杨涤尘杨涤尘 竞赛数学竞赛数学概述概述概述概述 竞赛数学竞赛数学1.直接直接证证法法:推理的每一步推理的每一步,都是从都是从题设题设条件或已推得的条件或已推得的的的结论结论出出发发,根据已知的定根据已知的定义义、公理、定理等、公理、定理等,运用推理运用推理规规则则,推出新的推出新的结论结论,直到命直到命题题所需的所需的结论为结论为止止.按照在证明中对论题的取舍不同,论证方法可分为直接证按照在证明中对论题的取舍不同,论证方法可分为直接证法和间接证法两种。法和间接证法两种。竞赛数学竞赛数学直接证法。直接证法。直接从所给的论题下手,利用论据直接从所给的论题下手,利用论据证明论题的正
2、确性进行推理。几何中多数命题是证明论题的正确性进行推理。几何中多数命题是采用这种方法证明的。采用这种方法证明的。竞赛数学竞赛数学 例例1 已知已知P,Q,R依次是依次是 ABC的外接的外接圆圆的的的的中点中点,PR交交AB于于D,PQ交交AC于于E.求求证证:DE=BD+CE.QPRABCDEI证证 由于由于所以所以 BAP=CAP.连连接接AR,AQ,和和DI,则则 DRI=CAI=DAI,故故A,R D,I四点共四点共圆圆.因此因此 DRI+AQP=180o.竞赛数学竞赛数学同理可同理可证证A,Q,E,I四点共四点共圆圆,所以所以 AIE+AQP=180o.而而 ARP+AQP=180o.
3、故故 AID+AIE=180o.所以所以D,I,E三点共三点共线线.又又 ADI=ARC=ABC.所以所以DE/BC.因此因此 ECI=ICB=EIC,DBI=IBC=DIB.从而从而BD=DI,CE=IE.故故DE=BD+CE.QPRABCDEI 竞赛数学竞赛数学间接证法实际就是间接证法实际就是由证明反论题的谬误而达到证实由证明反论题的谬误而达到证实论题的正确性论题的正确性。如果在推理过程中反论题被否定,。如果在推理过程中反论题被否定,那么就可以断定原来的论题是正确的。初等几何中那么就可以断定原来的论题是正确的。初等几何中的间接证法主要有反证法、同一法两种。的间接证法主要有反证法、同一法两种
4、。2.间间接接证证法法:否定否定结论结论,即承即承认结论认结论的反面成立的反面成立,结结合合题设题设条件条件,进进行行逻辑逻辑推理推理,导导致与已知条件或与公理、定致与已知条件或与公理、定义义、定、定理相矛盾或前后矛盾的情形理相矛盾或前后矛盾的情形,从而从而间间接接证证明明结论结论成立成立.竞赛数学竞赛数学证:证:证:证:假设AD、BE被交点H互相平分则ABDE是平行四边形。AEBD,即ACBC这与AC、BC相交于C点矛盾,故假设AD、BE被交点H平分不能成立.所以AD与BE不能被点H互相平分。(1)反证法)反证法 竞赛数学竞赛数学 竞赛数学竞赛数学“原命题真确,它的逆命题不一定真确,反之亦然
5、原命题真确,它的逆命题不一定真确,反之亦然”.一般而言,如果一个命题的条件和结论都是唯一一般而言,如果一个命题的条件和结论都是唯一的,即它们所指的概念的对象都是唯一的,那么这的,即它们所指的概念的对象都是唯一的,那么这个命题和它的某一个逆命题等价。这个性质叫做同个命题和它的某一个逆命题等价。这个性质叫做同一法则。同一法则就是同一法的逻辑根据。一法则。同一法则就是同一法的逻辑根据。如果一个命题不易直接证明,而且它又符合同如果一个命题不易直接证明,而且它又符合同一法则,那么我们可以不去直接证明这个命题的正一法则,那么我们可以不去直接证明这个命题的正确性,而去证明它的逆命题的正确性,然后根据同确性,
6、而去证明它的逆命题的正确性,然后根据同一法则,肯定原命题的正确性。这种证题方法叫同一法则,肯定原命题的正确性。这种证题方法叫同一法。一法。(2)同一法)同一法 竞赛数学竞赛数学同一法一般用于初等几何证明图形具有的某种性同一法一般用于初等几何证明图形具有的某种性质,而且这个命题又符合同一法则。用同一法则质,而且这个命题又符合同一法则。用同一法则证明题目时它的步骤是:证明题目时它的步骤是:作图:作出具有某种性质的图形;作图:作出具有某种性质的图形;证明:证明所作图形符合已知条件;证明:证明所作图形符合已知条件;判断:根据图形的唯一性,判断所作图形与判断:根据图形的唯一性,判断所作图形与已知图形重合
7、;已知图形重合;结论:肯定命题的结论正确。结论:肯定命题的结论正确。同一法均可改用反证法。同一法均可改用反证法。竞赛数学竞赛数学例例3 已知四边形已知四边形ABCD中中,ABD=ADB=15o,CBD=45o,CDB=30o,求证求证 ABC是正三角形是正三角形.DABCE图图5.1.3 证证 如图如图5.1.3,在射线在射线BC上截取上截取E,使使BE=BA,连连AE,DE,则则 ABC=15o+45o=60o,ABE是正三角形是正三角形,故故 BAE=60o,AE=AB,又因为又因为 BAD=180o-(15o+15o)=150o,AD=AB,竞赛数学竞赛数学故故 EAD=150o-60o
8、=90o,AD=AE,即即 AED是等腰直角三角形是等腰直角三角形,EDA=45o.但由已知但由已知,CDA=30o+15o=45o,且且DC、DE在在DA的同侧的同侧因而射线因而射线DC与与DE重合重合,它们与它们与BC的交点的交点C和和E也重合也重合.而而 ABE是正三角形是正三角形,故故 ABC也是正三角形也是正三角形.竞赛数学竞赛数学v 问问问问题题题题总总总总是是是是在在在在转转转转化化化化中中中中完完完完成成成成的的的的。解解解解题题题题常常常常常常常常是是是是将将将将陌陌陌陌生的问题转化为熟悉的问题。生的问题转化为熟悉的问题。生的问题转化为熟悉的问题。生的问题转化为熟悉的问题。v
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