高考数学函数真题.pdf
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1、2011 年(北京卷第18题)X已知函数/(%)=(%-%)2 O(1)求/(X)的单调区间;(2)若对于任意的x e(0,+o o),都 有 求*的 取 值 范 围e标准答案:(1)尸(幻=!(/一K令:(0)=0,得x =K当k0 时,“X)与广(x)的情况如下x(-8,一 4)-k(k,k)k(N+o o)/(x)+00+f(x)/4k2 0/所以,/(x)的单调递减区间是(-%-左)和氏+8);单高层区间是(此,攵)当k0 时,因为一伏+l)=e*-,所以不会有V x e(0,+8)J(x)W .e e当k0 时,由(I )知/(x)在(0,+o o)上的最大值是/(一 公4kze.i
2、4k i所以/x (0,+co),/(x)一 等价于 f -(-k)=e e e解得-!女0.2故当Vx e(0,+8)J(x)0,判断函数/(x)的单调性;(2)若abO ,求/(x+l)x)时x 的取值范围。标准答案:(1)当。0/0 时,任意X ,%2 e R,玉 ,则/(玉)一/()=。(2*一 2*)+/3*-3)*/2 0=“(2*2*)0,3 0 n 6(3 一 3-)0,/(x1)-/(x2)0,函数/(x)在A上是增函数。当。0/0 时,同理,函数/(x)在R 上是减函数。(2)/(x+l)-/(x)=a-2+2/?-3 0当“0/0,函数/(x)=lnx-ax2,x0.(/
3、(x)的图像连续不断)求/(x)的单调区间;(2)当时,证明:存在XW(2,+8),使兀)=/(|);(3)若存在均属于区间 1,3 的a,夕,且夕-a N l,使/(a)=/(),证明In 3-In 2 In 2-a/q),即 g(2)0.3 4 1 _ 9/取 V=2,则g(x)=0.所以存在 与 e(2,x)g(X o)=O,3即存在 与 (2,+8),使/(x(,)=/(5).(说明:X 的取法不唯一,只要满足x 2,且g(x)0即可)(3)证明:由/(0)=/()及 的 结 论 知a 叵/(a)/(l)f ln 2-4 a,政 即 2)N 0 N 3).ln 2-4 aNln 3-9
4、a“k In 3 -In 2 /,In 2从 而-a.5 3(重庆卷第18题)设/(%)=d +废2 +1的 导 数 八 幻 满 足(1)=2凡尸(2)=-bt其 中常数a,h G R(1)求 曲 线y=/(x)在 点a )处 的 切 线 方 程;(2)设g(x)=/(x)e、,求 函 数g(x)的极值.标准答案:(I)因 f(x)=x3+a x2+8x +l,故 f(x)=3x2+2 a x+b.令x =l,彳哥,(l)=3 +2a+b,由已知/=2/因此3 +2a+b =2a,解得占=-3.又令 x =2,得f(2)=1 2+4a+瓦由已知/(2)=-b,3因此 1 2+4a+6=b,解得
5、 a=.23 5因此/(x)=x,3 x +l,从 而/=-3又因为广 =2x ()=3,故曲线y =/(x)在点(1 J(l)处的切线方程为y-(-1)=-3(x -1),即 6x +2y-l =0.(I I)由 g(x)=(3 x2-3x-3)ex,从而有 g(x)=(-3 x2+9x)ex.令 g(x)=0,得一 3 x2+9x =0,解得X|=0,超=3.当尤e (-8,0)时,g(x)0,故g(x)在(-8,0)上为减函数;当x e(0,3)时,g(x)0,故g(x)在(0,3)上为增函数;当x e (3,+o o)n t,g(x)0,故8(幻在(3,+0 0)上为减函数;从而函数g
6、(x)在再=0处取得极小值8(0)=-3,在 匕=3处取得极大值g(3)=1 5-3.(浙 江)(22)(本 题 满 分1 4分)设 函 数/(X)=(x-a)2 1 n x ,a e R(I )若x =e为y =/(x)的 极 值 点,求 实 数a;(I I)求 实 数。的 取 值 范 围,使 得 对 任 意 的xe(0,3 e ,恒 有/(x)W4e 2成立.注:e为 自 然 对 数 的 底 数。本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用,不等式等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论分析问题和解决问题的能力。满 分1 4分。(I)解:求 导 得/(x)=2(x-a)l n x+
7、(x a)=(十4)(20 x +_ 巴).X X因为x =e是/Xx)的极值点,所以/(e)=(e-a)(3-)=0,e解得。=6或。=3 6经检验,符合题意,所以=e或a=3 e.(I I)解:当0 元1时,对于任意的实数a,恒有/(%)W0 4/成立;当l x 4 3 e时,由题意,首先有/(3 e)=(3 e a)2 1 n(3 e)44/,解得3 e a 3e+,Jg)Jg)由 知/(x)=(x-X21 n x+1 3),x令 hx=21 n x +l-,则/?(1)=1-6/0,x“2e3 e H/;且/i(3 e)=2 l n(3 e)+l-2 l n(3 e)+1-曲 史13e
8、 3e=2(l n 3e /)0.J i n 3e又 (x)在(0,+8)内单调递增所以函数/(X)在(0,+0 0)内有唯一零点,记此零点为无o,贝亚/3 e,l x0 0;当 x e(x o,a)时,/(x)0.即/(幻在(0,玉)内单调递增,在(%,。)内单调递减,在(a,+8)内单调递增。所以要使/(x)4 4e 2对x e(l,3 e 恒成立,只要f/U o)=(-)2l n xo 4e2,(l)/(3 e)=(3 e -a)2 1 n(3 e)知%a =2x0 l n x0+x0,(3)将(3)代 入(1)得4x;I n?/1,注意到函数/h?工在 i,+8)内单调递增,故 1 V
9、 /e。再 山(3)以及函数2x l n x +x在(1,+8)内单调递增,可得由(2)解得,3 e-J=g 3 e+.g.J l n(3 e)J l n(3 e)所以3 e i 2,a 3e.J l n(3 e)综上,a的取值范围是3 e-T2L=a+b x,尸(x)和g 0,若/(X)和g(x)在区间-1,+8)上单调性一致,求实数b的取值范围;(2)设。0,即V x G -1,+o o),(3 x2+a)(2x+b)0,v a 0,V x e -1,+o o),2x+b 0,即:a 0,V x e -l,+o o),b -2 x,2;(2)当 匕 0,即 V x (4 a),(3 x?+
10、a)(2x+b)O,:b a 0,.,.X/xe(b,a),2 x+b 0,V x e (b,a),a -3x2,b a -3b2z=a -b,考虑点(b,a)的可行域,函数y =-3/的斜率为1的切线的切点设为(为,%)贝=1,XO=_:,%=-j,=o 12 12 o o当。0,b 0,/.V x e (a,b),2 x+b 0,.X fx e(a,b a -3 x2,71 1.a -3a-,.-.-3a 0,二 3-a)max=-;当a O Q,S P V x e (a,/?),(2x+b)(3 x2+a)0,v 6 0,W x=0 E hf,(3 x2+a)(2x+b)=ab 0,不符
11、合题意,当“0,V x e (a,0),3 x2+a 0,.,.3a2+a 0,1 八,1.二 a 0,b-c i 0,a#0.过例伍力)作L的两条切线/,切点分别为E(p”;p J),E (p 2 t p 2?),/与 轴分别交与尸.线段E f上异于两端点的点集记为X.证明:M(a,b)G X o|P|p21 o 叭a,b)=甲;(I I I)设。=(x,y)|y 4 x-l,y?;(x+l)2 -(.当点(p,q)取遍。时,求(p,q)的最小值(记为O min)和最大值(记为O ma x)【解析】(I )因为y =g x,所以过点A的切线方程为1 2 1 ,、y-Po=P0(-P0)即3,
12、=-W,从而8(0,-爪),又。34)在直线48上,故4 =皿-互,2 4 4 2 4其中 04|PKIPI2所以方程为f p x+誓-今-=0,解得玉=件,“P-半由于0 4|p 国%,且 0 。同号,所以|=吟|=呼|=|虫,所以o(p,q)=甲.(I I)过点M(a,b)且切点为E(p p;)的L的切线/,方程为2E F:y=x-2 42i因为朋(。力)小所以8=?。个 且 0|。|p j 因为E(p27P 2、),所以 kM E,=与,即;P (T a-f)=(p2 a)P2 2 4 2 422 2 2 2即 勺 勺=?a 今 即所 以 勺 年=(?+专 一 公(?一年)=0,所以“2
13、=2 Pi因为0|。|,且凡乌同号,所以|P21=|2 a-p|p2,由(I)可知,M(a,b)G X n (a 1)=粤,反之,逆推也成立,所以M(a,b)G X o(a,b)=d综上,M(a,b)e X o|py|p2 u p(a,b)=耳.(I ll)此题即求当点(p,q)取遍。时,方程x2-p x+q 0的绝对值较大的根的最大值与最小值,解方程得x=P P 一%,因为。=(x,y)|y (x+1)2-,2 4 4=(x+1)2,解得 x=0 或芯=2,所以 0 4 p 2,4 4p+Jp2 一 曲o(p,q)=%-因为(p,q)e ),所以匕 p+l)?-p-,于是(p+1)?-5 V
14、 4q M 4p-44 4所以(p-2)-W p-4q 4-2p+4,所以叭P,q)=写 近 ,空浮口设/(t)=+J 7+4 (0 p 2),令=J-2 +4,贝 ij p=-(0 W f K 2)则/(p)=g(f)=-j +:+l=:(I),+:,所以/(P)el,m4 2 4 4 43 5 5综上,当 p =2,g =l 或p =0,4 =-1 时,8 min=l;当 P =7,q =7 7 时,2 16 4(山东)2 1.(本小题满分12 分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为如立方米,且出 2
15、r.假设该容器的建造费用仅3与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c 3)千元.设该容器的建造费用为y 千元.(I )写出y 关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(I I)求该容器的建造费用最小时的厂.解析:(I)由题意可知4 2/+阳/=双亚/22r),即/=理 _ 3 厂 2 2 广,则3 3 3产 30 尸2.容器的建造费用为 y =2 兀 rl x3+4 r2 xc-r)+4/r r2c,3r 3即y=一 8万+4/c,定义域为 r|0 厂 W 2.(I I )y =6 一 6 +8TZTC,令)=0,得r =j20c 2 当 3
16、cW 4.5时,J 也、2,当0 r 2,y 4.5 时,号 2,当 0 后 y0,此时当用-时 y 有最小值。c-2(湖南)20.如图6,长方形物体E 在雨中沿面P (面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为v(v 0),雨速沿E 移动方向的分速度为c(c e R)。E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|xS成正比,比例系数为5;(2)其它面的淋雨量之和,其值为鼻,记y 为E 移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=1时。(I)写出y 的表达式(II)设 0vW 10,0cW 5,试根据c 的不同取值范围,
17、确定移动速度v,使总淋雨量y 最少。,3 1解析:(I)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为上W-c|+,20 2,100.3.1.5 1 八、故 c|+5)=;(3 1 c i+io)-(I I)由(I)知,当0uW c时,y=-(3c-3v4-l0)=5(3 c+l 0)-l5;V V当cvWlO 时,y=-(3v-3c+l0)=5(l-3 +l5.V V故y=,5(3c+l 0)/-.-l5,0 vcv亚5coV(1)当0 C 4 5 时,y 是关于V的减函数.故当丫=10时,)min=20,。(2)当T C4 5时,在(0,c 上,y 是关于v的减函数;在(c,10 上,y 是关于
18、v的增函数;故当u=c 时,ym in=(湖 北)1 7.(本 小 题 满 分12分)提 高 过 江 大 桥 的 车 辆 通 行 能 力 可 改 善 整 个 城 市 的 交 通 状 况。在 一 般 情 况 下,大 桥 上 的 车 流 速 度v(单位:千 米/小时)是 车 流 速 度x的 函 数。当桥上的的车流密 度 达 到200辆/千米 时,造 成 堵 塞,此 时 车 流 速 度 为0;当 车 流 密 度 不 超 过20辆/千 米 时,车 流 速 度 为60千 米/小 时,研 究 表 明;当204x4200时,车流速度v是 车 流 密 度x的一次函数.(I)当0 W 2 0 0时,求 函 数v
19、(x)的 表 达 式;(I I)当 车 流 密 度x为 多 大 时,车 流 量(单 位 时 间 内 通 过 桥 上 某 观 点 的 车 辆 数,单 位:辆/每 小 时)x)=x.v(x)可 以 达 到 最 大,并 求 最 大 值(精 确 到1辆/每小时)本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。(满分12分)解:(I)由题意:当0 4 x 4 20时,心)=60;当20 4工4 200时,设丫(=奴+匕再由已知得200a+b-0,20a+b=60,解得200b60,0 x 20,故函数v(x)的表达式为v(x)=1-(200-x),20 x20060 x,0
20、x 20,(ID依题意并由(I)可得=h-x(200-x),20 x200当0 Wx W20时,/(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60X20=1200;当 20 W x W 200 时,/(x)=1x(200-.r)0,知a x2-la x+1 0在R上恒成立,因此A =4a 2 -4。=4a(a l)0,知0 a W l.16.(江 西)(本 小 题 满 分12分)设/(x)=-$3+;x2 +2 a x.2(1)若/(X)在(3,+0 0)上 存 在 单 调 递 增 区 间,求。的 取 值 范 围;(2)当0a2时,/(x)在1,4上 的 最 小 值 为-弓,求/(x)在该区间上
21、的最大值.解:(1)已 知/(x)=+(/+2数,f x)=-x2+x+la ,函 数/(x)在+8)上 存 在 单 调 递 增 区 间,即 导 函 数 在 g,+O o)上存在函数值大于零的部分,(2)已知0 a 2,x)在 1,4上取到最小值g ,而/(x)=/+x +2 a的图像开口向下,且对称轴X-,2/=-1+1 +2 a =2 a0,/=-16 +4+2 a =2 a 12 0,3 2 6,-./(4)=-lx6 4+-xl6 +8 -+8 a 。=1此时,由/(%)=K +x0 +2 =0 n x 0 =2或-1(舍去),所以函数/(R a x=/(2)=(陕西)2 1.(本小题
22、满分14分)设函数/(x)定义在(0,+8)上,1)=0,导函数_ r(x)=L g(x)=/(x)+/(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与g d)的大小关系;X(3)是否存在的0 ,使得|g(x)-g(X o)|0成立?若存在,求出与x的取值范围;若不存在,请说明理由.【分析】(1)先求出原函数/(X),再求得g(x),然后利用导数判断函数的单调性(单调区间),并求出最小值;(2)作差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调性,并由单调性判断函数的正负;(3)存在性问题通常采用假设存在,然后进行求解;注意利用前两问的结论.【解】(1)=./(x h l n
23、 x +c (c为常数),又./=0,所以xln l+c =0,即c =0,f(x)=I n x;g(x)=n x+,xv-1 Y-1,g(x)=一厂,令g%)=0,即一厂二,解得元=1,X X当(0,1)时,g(x)0,g(x)是增函数,故区间在(L+o o)是函数g(x)的增区间;所以x=l是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以g(x)的最小值是g(l)=l.(2)g()=-l n x+x,设/(x)=g(x)-g p)=+LX X X贝西(乃=一任二匕X当 x=l 时,/?=0,即 g(x)=g d),x当xe(0,l)U(L+8)时,h(x)0,力(1)=0,因此函
24、数人(x)在(0,+o o)内单调递减,当0 x h(Y)=0,二 g(x)gd);x当x l 时,/i(x)/i(l)=0,/.g(x)g(-).x(3)满足条件的/不存在.证明如下:证法一 假设存在飞0,使|g(x)-g(x()|0成立,x2即对任意x0 有l n xg(x()时,有l n X =g(X o),这与左边的不等式矛盾,因此不存在 0,使|g(x)-g(X o)|0成立.x证法二 假设存在的0,使|g(x)-g(X o)|0成立,X由(1)知,g(x)的最小值是g =1,又 g(x)=l n x+,in x,而x l 时,In x 的值域为(0,+o o),x.当x 1时,g(
25、x)的值域为口,+00),从而可以取一个值为 1,使g(%i)g(x()+l,即g(X|)-g(X o)1,,1g(X l)-g(X o)l 1 L 这与假设矛盾玉,不存在%0,使|g(x)-g(X o)|0成立.x(辽宁)2 1.(本小题满分12分)已知函数/(x)=l n x /+(2-a)x.(I)讨 论 的 单 调 性;(II)设”0,证明:当 0 x /(-x);a a a(III)若函数y =.f(x)的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为 xo,证明:ff(x0)0,所以/(x)在(0,+o o)单调增加.(ii)若a 0,则由/(x)=0得x=La且当 X (0,3
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