高中数学直线与圆、圆与圆之间的关系的高考考点解析及例题辅导.pdf
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1、直线和圆的方程一直线与圆、圆与圆的位置关系高考要求:1 .掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识,能够从代数特征(解或讨论方程组)或几何性质去考虑,2 .会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量.知识点归纳:1.研究圆与直线的位置关系最常用的方法:判别式法;考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。直 线A x+B y +C =O与 圆(x a)2+(y 份2 =/的 位 置 关 系 有 三 种,若Aa+B Z?+C l 一d 二,贝 i j d r 相 禺=八+弓 o外 离o 4条 公切线d=八+厂2 o外 切 3条 公切线卜 1-|2=1 2 +w,:O P 1 O Q,.
2、处+为”=。而 内=3-2 y”2=3 2 2,X X 2=9-6 (y i+力)+4)”=-1 5+4.,“*=3,此 时/0,圆心坐标为(一1,3),半径r=9,2 2点评:(1)在解答中,我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧,但必须注意这样的交点是否存在,这可由判别式大于零帮助考虑.体会垂直条件是怎样转化的,以及韦达定理的作用:处理九丫 2 与 AM的对称式,在解析几何中经常运用韦达定理来简化计算例 2 求经过两圆(x +3 +y 2=i 3 和x 2+(y +3=37的交点,且圆心在直线x y-4=0 上的圆的方程.1(x+3)2 +v2=13 得圆上两点,由圆心在直线Xy
3、x2+(y+3)2=37-4=0上,三个独立条件,用待定系数法求出圆的方程;也可根据已知,设所求圆的方程为(x+3)2+y2_i3+4W+G,+3)2 _37)=0,再由圆心在直线x-y-4=0上,定出参数4,得圆方程,解:因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y2=i3和/+(y+3)2=37的交点,所以设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+2(/+(y+3)2-37)=0.9(1+公)(1+4展开、配方、整 理 得(+6八。+备)2=管+3 32圆心为(-,-),代入方程xy4=0,得4=-71 +2 1 +2故所求圆的方程为(X+,2+(y+g)2=B.点评:圆 G:?+/+1x+1j+
4、Fl=0,圆 C2:xz+y2+D2x+E2y+F2=0,若圆 G、C?相交,那么过两圆公共点的圆系方程为(f+y2+Dix+Eiy+Q)+(x2+y2+D2X+E2y+F2)=0(4GR且,去一1).它表示除圆C2以外的所有经过两圆Ci、C2公共点的圆.例 3 已知圆 C:(X I)2+(y 2)2=25,直线/:(2m+l)x+(zn+1)yIm 4=0 GnS R).(1)证明:不论,“取什么实数,直线/与圆恒交于两点;(2)求直线被圆C截得的弦长最小时/的方程.分析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得.(1)证明:/的 方 程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,VmeR,.1
5、2、+=。得x+y-4=0 x=3b-1即/恒过定点A(3,1).圆心 C(l,2),I AC I =石 2=25截得的弦长为8,求此弦所在直线方程.解:(1)当斜率k不存在时,过 点P的直线方程为x =-3,代入 x2+y2=2 5,得 =4,%=-4.弦长为国一力|=8,符合题意,3 当斜率k存在时,设所求方程为y +不=k (x +3),3即 kx-y+3 k-=0.3_ k-0-0+3 k-由已知,弦心距|=7 52-42=3 ,卜2=3,3解得 k=L43 3所以此直线方程为 y +5 =;(x +3),即3 x +4 y +1 5 =0.所以所求直线方程为x +3 =0或3 x +
6、4 y +1 5 =0.点评:关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解,也可用代数法的弦长公式求解,本题还要注意,斜率不存在时直线x +3 =0符合题意.例5自 点A 3,3)发出的光线/射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆f+y 2 -4),+7 =0相切,求光线I所在的直线方程.解:由 已 知 可 得 圆C:(x-2)?+(y-2=1关 于x轴 对 称 的 圆C ,的方程为(x-2)2+(y +2)2=l,其圆心C (2,-2),贝心与圆C,相切,3 4整理得 1 2 k?+2 5 k+1 2=0,解得 k=一一或=-一,4 33 4所以所求直线方
7、程为y-3=-(x+3)或y-3=-(x+3),4 3即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0.点评:关于求切线问题,利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件,是求圆的切线方程的常用方法,若本题由“=()”求切线方程也可,但过程要复杂些.例6如果实数满足(x+2+V=3,求上 的最大值、2x-y的最小值.x解:(1)问 题 可 转 化 为 求 圆(X+2 +y 2=3上一点到原点连线的斜率值,由图形性质可知,由原点向圆(x+2)2+/=3作切线,其中切线斜率的最大值即为工的最大值.X设过原点的直线为y=kx,即kx-y=O,由|:k 0|_ 百,解得k=6或卜=-V 3.芈=5(2).x,
8、y满足(尤 +2(+V =3,x=-2 +V3 COS 0y=6 sin 6k=上的 最 大x2x-y=-4 +2 也 c os 6 sin 6=-4 +V15 sin(。+砂)另法:应用线性规划的思路,如图,2 x-y的最小值或最大值就在直线2x-y=b与圆(x +2)2 +/=3的切点处达到。由 上 二 1 =百,解 得 b=-4-后 或 b=-4+小V5,2 X-W m i n-而点评:圆的有关几何性质的应用往往可以简化问题,由圆的参数方程设圆上一点的坐标在解题中应用也非常广泛.例 7 一个圆和已知圆/+y 2-2 x =0外切,并与直线/:X+也 y =0相 切 于 点 M(3,-7
9、3 ),求该圆的方程.解:已知圆方程化为:(X 1 y +2 =1,其圆心p (1,0),半径为L设所求圆的圆心为C (a,b),则半径为“a 3)2+(b+g ,因为两圆外切,|PC|=1+,(“-3)2+e+可,从而 1)2 +/=1+3)2 +(6 +0)2 (1)又所求圆与直线/:x +0 y =0相切于M(3,0),二.直线CM l,kC Mk,=V3 a-3即 b=4 G(2)将(2)代 入(1)化简,得 a2-4a=0,a=0 或 a=4当 a=0 时/=4 6,所求圆方程为Y +(y +4 G=3 6当 a=4时,b=0,所求圆方程为(x-4)2+y24.小结:1.有关直线和圆
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