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1、专题8 一元二次方程的根与系数的关系【知识点1 一元二次方程的根与系数的关系】h c如果一元二次方程a*2+bx+c=0(a。0)的两个实数根是否,x2,那 么 不+/二,=.a a注意它的使用条件为aWO,20.也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【题 型 1利用根与系数的关系求代数式的值】【例 1】(2 0 2 0 秋普宁市期末)若一元二次方程/-x -2=0的两根为x i,%2,则(1+为)+初(1 -x i)=.【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.【解答】解:由题意可知:
2、xi+x2=1 xX2=2,原式=l+x i+x 2 -x i x 2=l +l -(-2)=4,故答案为:4【点评】本题考查根与系数的关系,解题的关键是熟练运用根与系数的关系,本题属于基础题型.【变 式 1-1 (2 0 2 1 龙马潭区模拟)设 X”X2 是方程/+3 x-3=0的两个实数根,则 独+卫 的值为.Xi x2【分析】欲求起+2 的值,先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式,代入数值计算即可.X1%2【解答】解:.加,X2 是方程7+3 x-3=0 的两个实数根,.X1+工 2=-3,X*X2=-3,,.一x2+x1 =-x-?-+-%-2-=-(X-1-+-X-2-)-2
3、-2-X-1-X-2=-(-3:-)-2-2-X:(-3)=-5.x2 Xyx2 Xyx2-3故答案为-5.【点评】此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.【变 式 1-2 (2 0 2 0 秋解放区校级月考)一元二次方程7+4X+1=0 的两个根是x i,l 2,则红 一 卫 的值Xi x2为.(其中及)【分析】利用根与系数的关系得到X1+X2=-4,X1 X2=1,再通过通分和完全平方公式变形得到这-=Xi x2(工 1+4 2”(%2+4 1)2 4久 X1X2然后利用整体代入的方法计算.【解答】解:根据题意得X|+X2=-4,X|X
4、2=1,所 以 这 一 卫=这 二x2 xtx2=(Xl+X2)(k2-Xl)X/2;0 1+犯)32+巧)2-4 空 2 X/2 -_ -4 x J(-4)2-4 x l=1=-8 V3.故答案为-8 V3【点评】本题考查了根与系数的关系:若 x i,也是一元二次方程/+f e v+c=0(a W0)的两根时,x i+x 2=-1CX1 X2=【变 式 1-3 (2 0 2 0 秋淇滨区校级月考)已知a、b是方程2?+5 x+l=0 的两实数根,则 式 子+的值为.【分析】利用根与系数的关系可得出“+=一支a-b=进而可得出a 0,。0,再将a+g一 擀,a-h=b=T 9+炼+2命中即可求
5、出结论.【解答】解::a、8是方程廿+5 +1=0 的两实数根,:.a+b=-|,a-h=,:.a0,b a b /a JbT abT ab_ -(a+b)2+2 a b _故答案为:-萃.【点评】本题考查了根与系数的关系以及实数的运算,牢 记“两根之和等于小两根之积等于丁是解题的关键.【题型2 利用根与系数的关系求系数字母的值】【例 2】(2 0 2 1 成都模拟)已知关于x的一元二次方程/-(2 A+1)x+必+2 A=0 有两个实数根为x i,双,使得X IX 2 -XI2-X22=-1 6 成立,则k的值.【分析】根据判别式的意义得到=(2 k+l)2-4 (F+2&)20,然后解不等
6、式求得A的取值范围,然后根据根与系数的关系得到Xl+X2=2 k+1,XlI2=F+2 k,再把用X2-婷-1 6 变形为-(XI+%2)2+3XI 2=-1 6,所 以-(2A+1)2+3(F+2k)=-1 6,然后解方程后即可确定满足条件的A的值.【解答】解:.关于x 的一元二次方程x2-(2k+l)x+必+2%=0有两个实数根,;.=(2)1+1)2-4 (必+2R)0,解得k则 m=.【分析】根据根与系数的关系求得XI+X2=2,xx2=,且 x-2jq+?=0,然后将其代入已知等式列出关于?的新方程,通过解新方程来求m 的值.【解答】解:关于x 的一元二次方程7-2 x+,w=0的二
7、根为x i、X2,.X+X2=2,X*X2=m,且 x j-2xi+zn=0,.*.xi2-xi=-m+xVJII2-+X2=3X1X2,/.-ni+x+x2=3xx2f即-?+2=3/,解得:m=5,1故答案为:【点评】本题考查了根与系数的关系.解题时.,借用了“一元二次方程的解的定义”这一知识点.【变式2-2(2020春文登区期中)已知关于x 的一元二次方程/+(2k+l)x+2-2=0 的两根总和且 XI2-1x+lx2XX2,则 k 的值是.【分析】先由XI2-1X+2X2=X X 2,得出x-2=0 或 XI-JC2=0,再分两种情况进行讨论:如果x-2=0,将 x=2 代 入)+(
8、2R1)x+必-2=0,得 4+2(2k+l)+F-2=0,解方程求出人=-2;如果加-X 2=0,那么=(),解方程即可求解.【解答】解:,|2-2xi+Zr2=xiX2,X 2X|+ZY2-X1X2=O,xi(xi-2)-X2(xi-2)=0,(x-2)(xi-X2)=0,.x-2=0 或 用-X2=0.如果X 2=0,那么X=2,将 x=2 代入/+(2 H I)x+k2-2=0,得 4+2(2&+1)+F-2=0,整理,得 F+4Z+4=0,解得=-2;如果xi-X2=0,则4=(2R1)2-4 (正-2)=0.解得:k=-1.所以”的值为-2 或/故答案为:-2 或5.【点评】本题考
9、查了一元二次方程的根与系数的关系,根的判别式,注意在利用根与系数的关系时,需用判别式进行检验.【变 式 2-3(2020秋武侯区校级月考)已知二次方程?+(2/+1)x+m2-2m+|=0 的两个实数根为a和 0,若网+4|=4,求机的值_ _ _ _.【分析】先由根与系数的关系得到2,+1=-(a邛),a*P=m2-2/n+|=Cm-1)2+1 0,那么a 和0 同号,再由|a|+|0|=4,分 a+0=-4 或 a+0=4 进行讨论即可.【解答】解:二次方程+(2?+1)x+m2-2?+|=0 的两个实数根为a 和 0,03Aa+p=-(2团+1),a*p=Aw2-工26+1=-(a+p)
10、,a0=加 之-2w4-|-=(w-1)2+g X),/.a e P 0,即 a 和 0 同号,,由|a|+|0|=4 得:a+0=-4 或 a+0=4.当 a+0=-4 时,2/77+1=4,解得根=9;当 a+0=4 时,2?+1=-4,解得济=一5./=(2m+l)2-4 (w2-2m+|)=4/n-+4m+l-4m+8/-6=12m-50,.、5 必 章.=,不合题意,舍去,则 m=【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系,利用两根关系得出的结果必须满足()的条件.【题型3利用根与系数的关系及代根法综合求值】【例 3】(2021九龙坡区校级期末)如果方程/-x-2=0 的
11、两个根为a,仇 那么a2+p-2ap的值为()A.7 B.6 C.-2 D.0【分析】根 据 方 程 x-2=0 的两个根为a,p,得到J a+B=l,邓=-2,cra+2,将 c+B -2aB 变形为a+p+2-2aB 后代入即可求值.【解答】解:方程/-x-2=0 的两个根为a,p,.,.a+B=L ap=-2,cra+2,.,.d+0-2a0=a+2+B -2aB=1+2-2 X(-2)1,故选:A.【点评】此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.【变式3-1】(20 20秋抚州期末)一元二次方程/-3x+l=0的两个根为X”孙 则
12、短+3刈+Q 2+1的值为()A.10 B.9 C.8 D.7【分析】根据根与系数的关系找出X I+X2=3、x i,X 2=l,将XJ+3X2+X IX2+1变形为3(x i+刈)+xix2,代入数据即可得出结论.【解答】解:一元二次方程,-3x+l=0的两个根为x i,X 2,.Xi2-3x i+l =0,X I+X2=3,XI*X2=I,.短=3兑-1,则 X+3X2+X IA2+1=3x i -1+3;C2+X IX2+1=3(x i+x 2)+X IX2=3X 3+1=10,故选:A.【点评】本题考查了根与系数的关系,根据根与系数的关系找出M+X 2=3、XX 2=1是解题的关键.【
13、变式3-2(20 20秋宜宾期末)已知a、0是方程7-x-1=0的两个实数根,则?+30的 值 是()A.4 B.4V2 C.5 D.5立【分析】根据方程根的定义得到a2=a+,即可得到a4=a2+2a+l,然后根据根与系数的关系即可求得a4+3p的值.【解答】解::a、0是方程W-x-1=0的两个实数根,.,.a2-a -1 =0,a+p=1,.a =6 z+l,a4=a2+2a+l,贝ij a4+3p=a2+2a+1+3p=a2-a -l+3a+30+2=3X 1+2=5.故选:C.【点评】本题主要考查了根与系数的关系,解题的关键是利用整体法代值计算,此题难度一般.【变式3-3(20 20
14、秋雅安期末)设 加、W是方程7-虱+1=0的两个根,则用3+4m 2+川-1的值为.【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.【解答】解:由题意可知:X l+X 2=4,X 1X 2=1,x f =4x i -1,,婢=4x f x i,原式=4好 X I+4%2-1=4(好+石)-1=4 (x i+x 2)2-8J C I X2 -1=4 X 1 6-8 -1=5 5,故答案为:5 5【点评】本题考查根与系数的关系,解题的关键是熟练运用根与系数的关系,本题属于基础题型.【题型4构造一元二次方程求代数式的值】【例 4】(2 0 2 1 春柯桥区月考)如果“、“是两个不相等的实数,且满足根2-根=
15、3,2 一 =3,那么代数式-mn+2m+202l=.【分析】由题意可知?,是,-x-3=0 的两个不相等的实数根.则根据根与系数的关系可知:,+=I,m n=-3 又 2=+3,利用它们可以化简 2,-切“+2/+2 0 2 1=2 (w+3)-mn+2m+2021=2n+6 -mn+2m+202=2(m+n)-mn+2021,然后就可以求出所求的代数式的值.【解答】解:由题意可知:,”是两个不相等的实数,且满足加2-/=3,”2-”=3,所以根,是/-X-3=0的两个不相等的实数根,则根据根与系数的关系可知:,+=1,m n=-3,又 2=+3,贝 U 2 2 -,+2?+2 0 2 1=
16、2 (n+3)-/n+2/n+2 0 2 1=2+6 -皿+2 m+2 0 2 1=2。刀+)-7 +2 0 2 7=2 X 1 -(-3)+2 0 2 7=2+3+2 0 2 7=2 0 3 2.故答案为:2 0 3 2.【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系,解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数,然后利用根与系数的关系式求值.【变式4-1 (2 0 2 1 春崇川区月考)实数x,y分别满足9 9 x 2+2 0 2 1 x=-1./+2 0 2 1 y-9 9,且 孙#1.则x y+1 0 x+l-y11 1【分析】把/+2 0 2 1 y=-9 9 变形为9 9 (一)
17、2+2 0 2 1 -4-1 =0,力 口 上 9 9 7+2 0 2 L r+l =0,则实数X、一可看y y y作方程99p+2021f+l=0,利用根与系数的关系得到x+:=-符,再把原式变形为x+10y 99 y 99X 1-+-然后利用整体代入的方法计算.y y【解答】解:.j2+2021y=-99,1 1.*.99(-)2+2021一+1=0,y yV99?+2021x=-1,即 99?+2021x+l=0,二实数x、二可看作方程99尸+2021/+1=0的两实数解,y.,1 2021 1 1.X4-=-on-,x一 =一,y 99 y 99x 1,原式=x+10 +-y y202
18、1,1=而-+10 x 的2011=99故答案为一2y.【点评】本题考查了根与系数的关系:若 X|,X2是一元二次方程a+bx+cMOCaWO)的两根时,X|+X2=【变式4-2(2021 郸都区校级模拟)已知/-2 a-1=0,y+2匕-1=0,且 帅#1,则?b蓝 十,的值为.b【分析】先变形标+2 6-1=0得至IJ (7)2-2 4-1=0-则。和二可看作方程?-2 x-1=0 的两根,然后b b b根据根与系数的关系求解.【解答】解:.庐+26-1=0,.MWO,11方程两边同时除以庐,再乘-1变 形 为(;)2-2;-1=0,b b,7 斤 1,:.a和工可看作方程?-1 =0 的
19、两根,ba+3=2,ab+b+1 1=a+1+匚=2+1=3.b b故答案为:3.【点评】本题考查了一元二次方程以Z+cu O (4W 0)的根与系数的关系:若方程的两根为内,垃,则b c制+工2=&,X *X2=【变式4-3 (2 0 2 0秋新春县期中)已知实数a邛 满 足t?+3 a-1=0,p2-3 p-1=0,且 砰W 1,则3 7+3 0的值为.【分析】原 方 程 变 为 啖)-3$-1=0,得 到?0是 方 程 的 两 根,根 据 根 与 系 数 的关系得到关系式,代入求出即可.【解答】解:.实数 a,0 满足 c?+3 a-1=0,p2-3 p-1=0,且 a 0 W l,1,
20、0是方程7-3 x-1=0的两根,1 p 1 3,一+0 =3,-=1,-=1 4-a a ao 1I.原式=1 +3+3 0=1+3 (-4-P)=1+3 X 3 =1 0,故答案为1 0.【点评】本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握,能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键.【题 型5根与系数的关系与三角形综合】【例5】(2 0 2 0秋西工区期中)已知关于x的方程7-8X-F+4A+12=0.(1)求证:无论人取何值,这个方程总有两个实数根;(2)若 A BC的两边A B,A C的长是这个方程的两个实数根,第三边B C的长为5,当 A 8 C是等腰三角形时,求人的值.【分析】
21、(1)先计算出=4(无-2)2,然后根据判别式的意义即可得到结论;(2)先利用因式分解法求出方程的解为x i=-k+6,x 2=k+2,然后分类讨论:当A 8=A C或A 8=B C或4 c=B C时 A BC为等腰三角形,然后求出k的值.【解答】(1)证明:=(-8)2-4 (-F+4 Z+12)=4 (A-2)2 2 0,无论k取何值,这个方程总有两个实数根;(2)解:/-8 x-F+4 k H 2=0,(x+k-6)(x-&-2)=0,解得:x=-k+6 r X2=k+2,当 A B=4 C 时,-k+6=k+2,则 Z=2;当 A 8=8 C 时,-k+6=5,则 k=l;当A C=3
22、 C时,则-2=5,解得左=3,综合上述,Z的值为2或1或3.【点评】本题考查了一元二次方程以2+b x+c=0(a#0)的根的判别式=启-4时:当 (),方程有两个不相等的实数根;当=(),方程有两个相等的实数根:当 0,/.方程总有两个不相等的实数根;(2)(AM-1)x2-2mx+m+=0,(/?7 -1 )X (胆+1)(X -1 )=0,川=m+1m 1X 2=l,,此方程的两个根都是正整数,.m+1m-1 0,当?+1 0,1 0 时,解得加 1,当 m+l V O,1V 0时,解 得 加 (),方程有两个不相等的实数根;当=(),方程有两个相等的实数根;当 0,此方程总有两个不相
23、等的实数根.(2)Xt2+x22 4AI%2(X I+X2)2-6x1x2,:xi+x2=-(2;+4)=2,+4,xiX2=m2+4m,(XI+JQ)2-6XIX2(2m+4)2-6(nr+4m)=-2nr-8/“+16=-2(w+2)2+24,当m=-2时x/+x22-4XI%2的最大值为24.把x=6代入原方程可得m2-8/n+12=0,解得1=2或m=6,当?=2时,原方程化简为/-8x+12=0,解得x=2或x=6,三角形三边长为6,6,2时三角形周长为14,三角形边长为2,2,6时不存在.当m=6时,原方程化简为/-16 x+6 0,解得x=6或x=10.三角形三边长为6,6,10
24、时三角形周长为2 2,三角形三边长为10,10,6时,三角形周长为2 6.,等腰三角形周长为14或2 2或2 6.【点评】本题考查一元二次方程综合应用,解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式与根与系数的关系.【变式5-3 (2 02 1永州模拟)已知关于x的方程/-2血 生 +2=o,其中机、是等腰三角形的腰和底边长.(1)说明这个方程有两个不相等的实数根.(2)若方程的两实数根的差的绝对值是8,且等腰三角形的面积是16,求?,”的值.【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式,可得出=4?2-”2 0,进而可证出方程有两个不相等的实数根;(2)由根与系数的关系求出Jz n 2 一 1n2 =
25、%根据三角形的面积可求出“,的值,则可求出答案.【解答】解:(1)是等腰三角形的腰和底边长,2/7 7 7 7,又:=庐-4 o c=(-2加)2-4 X l x|-n2=4 m 2 n2,*.4加2R.,.0,.方程有两个不相等的实数根.(2)由题意得网-刈=8,:.(X -X 2)2 =6 4,(x i+%2)2 -4 x i X 2=6 4,1由韦达定理得:X l+X 2 =2 7,用 了2=彳4/,(2m)2-4x-jn2=6 4,即 m2 T H2=4,.等腰三角形的面积是16,如图,过点A 作 AOJ_8C于点。,n:.BD=CD吟.AD=y/AB2 BD2 Im2 n2,=8,彳
26、 弋 入 Jm2 n2=4,解得m=4 a,*m=4V2,=8.【点评】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及根与系数的关系,解题的关键是:(1)牢记“当 0 时,方程有两个不相等的实数根”;(2)利用根与系数的关系,得出?,的关系式.【题型6根与系数关系中的新定义问题】【例 6】(2020秋武侯区校级期中)如果关于x 的一元二次方程 2+公+c=()有两个实数根xi,m,且满足数轴上加,X2所表示的点到2 所表示的点的距离相等,则称这样的方程为“关于2 的等距方程”以下“关于2 的等距方程”的说法,正 确 的 有.(填序号)方程W-4 x=0 是关于2 的等距方程;当 5?=-时,关于x
27、 的 方 程(x+1)(mx+n)=0 一定是关于2 的等距方程;若方程a?+公+。=0 是关于2 的等距方程,贝 IJ必有b=-4 a (a#0);当两根满足xi=3及,关于x 的方程P -x+l=0 是关于2 的等距方程.【分析】解得方程的解后即可利用关于2 的等距方程的定义进行判断;解得方程的解后即可利用关于2 的等距方程的定义进行判断;根 据 方 程/+云+。=0是关于2的等距方程,且方=-4 a (“W 0)得至IJ X 1=X 2或X 1+X 2=4,当X I=X 2时,用=2=-/,不能判断。与之间的关系,当加+工2=4时,即-=4,得到人=-4 a,据此即可判断;根据韦达定理和
28、x i=3 x 2,得出3 x 2?=|(3 X 2+X 2)=3X2,解 得 电=1或 也=0(舍 去),然后利用关于2的等距方程的定义进行判断.【解答】解:/-4 x=0,A x (x -4)=0,尤1=0,X 2=4,则 仅2 -2 =仅2 -2 ,正确;当 时,(x+1)(mx+)=0,则 加=-1,2=H t X2=5,A ki-2|=扭2 -2 1,满足2的等距方程;当;=()时,原方程x+l=O不是一元二次方程,故错误;对于方程a +b+c:。(a W O),由韦达定理得:X|+X 2=1 方程是2的等距方程,*|x i _ 2|x 2 -2|,贝i j x i-2=X2-2 或
29、 x i-2=2 -必*.X I =X2 或切+%2=4,当制=也时.,用=工2=/不能判断与。之间的关系,当 X I+%2=4 时,即一,=4,:b=-4小故a x2+6 x+c=0(a W O)是2的等距方程时,b不一定等于-4”,故错误;对于方程pj c2-x+1=0有两根满足制=3 X 2,由韦达定理得:XX2=X+X2=3 1 3.xx2=4 x-=4(X +X 2),3X?2=7 (3 x 2+X 2)=3 x 2,x 2=1或彳2 =0(舍去),x=3 x 2=3,-2|=|X2-2|,即p2-x+1=0是关于2的等距方程,故正确,故正确的有,故答案为.【点评】本题考查了一元二次
30、方程的解,根与系数的关系,正确的理解“关 于2的等距方程”的定义是解题的关键.【变式6-1(2 02 1春崇川区校级月考)处,也是一元二次方程加+公+。=0(“W 0)的两个实数根,若满足 田-双=1,则此类方程称为“差根方程”.根 据“差根方程”的定义,解决下列问题:(1)通过计算,判断下列方程是否是“差根方程”:;r2-4x-5=0;2?-2 V 3 x+l=0;(2)已知关于x的方程/+2以=0是“差根方程”,求的值;(3)若关于x的 方 程/+法+1=0(a,6是常数,a 0)是“差根方程”,请探索a与b之间的数量关系式.【分析】(I)据“差根方程”定义判断即可;(2)根据/+2以=0
31、是 差根方程,且 制=0,通=-2”得至lj 2 a=l,从而得到a=;(3)设X”刈是一元二次方程a?+法+=0(小/,是常数,0)的两个实数根,根据根与系数的关系得到整理即可得到户=次+4公【解答】解:(1)设x i,M是一元二次方程/-4 x-5=0的两个实数根,AJCI+X2=4 X I*%2=-5,|x i -X2=+%2)2 4%I%2=J 4 2 _ 4 x (-5)=6,方程?-4 x-5=0不是差根方程;设x i,X 2是一元二次方程2?-2恁+1=0的两个实数根,.*.X1+X2=A/3,X leX2=29|x i -%2 l=J C q +冷产-4 rl&=J(V 3)2
32、-4 x i=1,/方程2A2-2 V 3 x+l=0是差根方程;(2)/+2 a x=0,因式分解得:x(x+2式=0,解得:x i=0,X2=-2a,关于工的方程+2办=0是“差根方程”,A2a=,即 a=;2(3)设 R,尤2是一元二次方程O?+乐+1=0(,。是常数,4 0)的两个实数根,b 1.Xl+%2=X*X2=;关 于x的 方 程 苏+&+1=0(a,b 是常数,0)是“差根方程”,.|x i -X 2|=L/.|x i -X2=J 01+小)2 -4/2 =1 ,即 J(一 5)2 -4 .;=1 ,b2=a1+4a.【点评】本题考查 一元二次方程的解,根与系数的关系,根的判
33、别式,一次函数图像上点的坐标特征,正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键.【变式6-2 (2 02 0秋石狮市期中)如果关于x的一元二次方程办2+云+0=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,研究发现了此类方程的一般性结论,设其中一根为f,则另一根为2 t,因此/+法+。=4 (x-r)(x-2 r)CD?-3atx+2ra,所以有/-,c=0;我们记“K=层一会c ,即K=0H寸,方程以2+6 x+c=0为倍根方程:下面我们根据所获信息来解决问题:(1)以 下 为 倍 根 方 程 的 是;(写出序号)方 程/-X-2=0;/-6 x+8=0;(2)若关
34、于的x方程山力+(n-2 m)%-2=0是倍根方程,求4川+5加的值;(3)若A (力n)在一次函数y=3x-8的图象上,且关于x的一元二次方程x2A/帚%+|=0是倍根方程,求此倍根方程.【分析】(1)据倍根方程定义判断即可;(2)根 据(%-2)(nvc+n)=0是倍根方程,且xi=2,工2=得到,=-或?=;,从而得到,=0,4m+n0,进而得至U 4 /+5”?+2=0;(3)设其中一根为f,则另一个根为2 f,据此知o+b x+c=(x-f)(x-2 r)=4 t v2-3a/x+2/2a.从而得倍根方程满足/-|*=0,据此求解可得.【解答】解:/-X-2=0,(x+1)(x-2)
35、=0,X l =-1,1 2 =2,.方程/-X -2=0不是倍根方程;x2-6 x+8=0,(x-2)(%-4)=0,xi=2,X 2=4,方程/-6X+8=0是倍根方程;故答案为;(2)nv?+(n-2/n)x-2=0,因式分解得:G-2)(ni r+n)=0,解得:xi =2,X2=-方程(n-2m)无-2=0是倍根方程,;.2=-网 或 4=一 3m m即 m=-或 m=q/n+n=0 或 4/+=0;V 4m2+5 mn+n2=(4 m+)(M+)=0;(3)设其中一根为f,则另一个根为2 b则 ajr+bx+c=a(x-t)(x-2 r)=aj?-3atx+2rafb-2c=0,+
36、1n=0是倍根方程,*(-2 x2x 可 =0,整理,得:m=3,VA(加,n)在一次函数y=3x-8 的图象上,.=3?-8,n 1,f.此倍根方程为7-JW x+彳=0.【点评】本题考查了一元二次方程的解,根与系数的关系,根的判别式,一次函数图像上点的坐标特征,正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键.【变式6-3(2020秋台儿庄区期中)阅读理解:材料一:若三个非零实数x,z 满足:只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实教x,y,z 构 成“和谐三数组”.材料二:若关于x 的一元二次方程o+bx+cuOlaWO)的两根分别为x i,x2,则有匕+x2=-,/,型=,问
37、题解决:(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数;(2)若 x i,&是关于x 的方程以2+法+。=0(a,b,c 均不为0)的两根,乃是关于x 的方程fer+c=O Ch,c 均不为0)的解.求证:x i,也,X3可以构成“和谐三数组”.【分析】(1)根 据“和谐三数组”写成一组即可得出结论;11 b 1 b(2)先根据材料2,得出一+=-,再求出一元一次方程的解,进而得出一=一一,即可得出结Xi X2 c x3 c论.【解答】解:(I).二+=$,2 3 62,3 是“和谐三数组”;故答案为:2,3(答案不唯一);(2)证明:川,X2是关于x 的方程+bx+c=O(小/?,。均不为0)的两根,.b c%1 +2=-2 =京b.1,1%1+工 2 -2 b 十=c-=,%X2 XVX2-C:总是关于尢的方程bx+c=O,c均不为0)的解,F=一 万,1 b:=一 一,%3 C*1 十 1 一_1 ,Xi x2 x3.X I,XI,X3可以构成“和谐三数组”.【点评】此题主要考查了新定义的理解和运用,一元二次方程根与系数的关系,一元一次方程的解,正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键.
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