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1、2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)一、选择题:本大题共1 2小题,每小题5分,共6 0分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5 分)已知集合 A=x|xV 2,B=x|3-2 x 0 ,则()A.AAB=X|X 2 B.AAB=0 C.AUB=X|X 3 D.AUB=R2 22.(5分)为评估一种农作物的种植效果,选了 n块地作试验田,这n块地的亩产 量(单位:kg)分别是Xi,X 2,,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.Xl,X2,Xn 的平均数 B.Xl,X2,.Xn 的标准差C.XI,X2,Xn的最大值D.XI,
2、X2,Xn的中位数3.(5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2 B.i2 3(1-i)C.(1+i)2 D.i(1+i)25.(5分)已知F是双曲线C:x 2-2 _=l的右焦点,P是C上一点,且PF与x3轴垂直,点A的坐标是(1,3).则4 A P F的面积为()A.1 B.1 C.2 D.33 2 3 26.(5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面M NQ不平行的是()4.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.
3、在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.L B.2 L c.1.D.4 8 2 4x+3y437.(5 分)设x,y 满足约束条件1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入()A.人1000 和 11=(1+1 B.人1000和 世 2C.AW1000 和 n=n+l D.AW1000 和 n=n+211.(5分)A B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=/2 贝I C=()A.B.C.D.12 6 4 32 212.(5分)设A,B是椭圆C:岂_+-=l长轴的两个端点,若C上存在点M满3 ID
4、足NAMB=12 0。,则m的取值范围是()A.(0,1 U 9,+8)B.(0,立 U 9,+8)C.(0,1 U 4,+)D.(0,通 U 4,+8)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共2 0分.13.(5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m=.14.(5分)曲线y=x2+L在 点(1,2)处 的 切 线 方 程 为.X15.(5 分)已知 aS (0,ta n a=2,则 cos(a-)=.2 416.(5分)已知三棱锥S-A B C的所有顶点都在球。的球面上,SC是球。的直径,若平面SCA_L平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的
5、体积为9,则球。的 表 面 积 为.三、解答题:共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.(一)必考题17.(12分)记Sn为等比数列 an的前n项和.已知Sz=2,S3=-6.(1)求 an的通项公式;(2)求S n,并判断Sml,Sn,Sn,2是否能成等差数列.18.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB CD,且NBAP=NCDP=9 0.(1)证明:平面PAB_L平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,NAPD=9 0。,且四棱锥P-ABCD的 体 积 为 求 该 四 棱3镀的侧面积.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔3 0m
6、in从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽 取 次 序12345678零件尺寸抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸经计 算 得-喉1 16 廉F 产16 与)叫n 空16木 2_许 2噂 16产&5产 乏16(Xi-Wi为抽取的第i 个零件的尺寸,i=l,2,.,16.(1)求(为,i)(i=l,2,1 6)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若卜|0),则()A.A nB=x|x2 B.ACB=0 C.A U B=x|x 0=x|x l),2/
7、.AAB=X|X 2 ,故 A 正 确,B 错误;2AUB=x|x .X n 的最大值 D.Xi,X2,.,X n 的中位数【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解.【解答】解:在A中,平均数是表示一组数据集中趋势的量数,它是反映数据集中趋势的一项指标,故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度;在B中,标准差能反映一个数据集的离散程度,故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度;在 C 中,最大值是一组数据最大的量,故 C 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度;在 D 中,中位数将数据分成前半部分和后半部分,用来代表一组数据的“中等水平”,故 D 不可以用来评估这种农作
8、物亩产量稳定程度.故选:B.3.(5 分)(2017新课标I)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2 B.i2(1-i)C.(1+i)2 D.i(1+i)【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论.【解答】解:A.i(1+i)2=i2 i=-2,是实数.B.i2(1-i)=-1+i,不是纯虚数.C.(1+i)2=2i为纯虚数.D.i(1+i)=i-1 不是纯虚数.故选:C.4.(5 分)(2017新课标I)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()
9、A.1.8.C.1.D.4 8 2 4【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积,结合几何概型的概率公式进行求解即可.【解答】解:根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2,则黑色部分的面积s=2L,271则对应概率P=-2 _=2 L,4 8故选:B25.(5 分)(2017新课标I)已知F 是双曲线C:X?-?_=1 的右焦点,P 是C 上3一点,且 PF与 x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3).则4A PF的面积为()A.1 B.1 C.2 D.工3 2 3 2【分析】由题意求得双曲线的右焦点F (2,0),由PF与x轴垂直,代入即可求得P点坐标,根据
10、三角形的面积公式,即可求得4APF的面积.2【解答】解:由双曲线C:x2-二=1的右焦点F(2,0),3PF与x轴垂直,设(2,y),y 0,则y=3,则 P (2,3),A A P lP F,贝W AP I=1,I PF I=3,.APF 的面积 S=Lx I AP I X|PF I=W,2 2故选D.6.(5分)(2017新课标I)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意,从而可得答案.【解答】解:对于选项B,由于ABM Q,结合线面平行判定定理可知B不满足题
11、意;对于选项C,由于ABM Q,结合线面平行判定定理可知C不满足题意;对于选项D,由于ABN Q,结合线面平行判定定理可知D不满足题意;所以选项A满足题意,故选:A.x+3y437.(5 分)(2017新课 标 I)设 x,y 满足约束条件.,则 z=x+y的最大y0值 为()A.0 B.1 C.2 D.3【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可.x+3y43【解答】解:x,y 满 足 约 束 条 件 卜 的 可 行 域 如 图:y0,则 2=*+丫经过可行域的A 时,目标函数取得最大值,由1 尸 解得 A(3,0),(x+3y=3所 以 z=x+y的最大值为
12、:3.故选:D.8.(5 分)(2017新课 标 I)函数y=s in 2 x 的部分图象大致为()1-cosx【分析】化简函数的解析式,然后判断函数的奇偶性排除选项,利用特殊值判断即可.2cos万cosx 解答解:函数y=sin2x=a,-e g sin 1可知函数是奇函数,排除选项B,返当X=2L时,f(三)排除A,3 3-2x=n 时,f(n)=0,排除 D.故选:C.9.(5 分)(2017新课标 I)已知函数 f(x)=lnx+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=l对称D.y=f(x)的图象关于点(1
13、,0)对称【分析】由已知中函数f(x)=lnx+ln(2-x),可得f(x)=f(2-x),进而可得函数图象的对称性.【解答】解:函数f(x)=lnx+ln(2-x),.*.f(2-x)=ln(2-x)+lnx,即 f(x)=f(2-x),即y=f(x)的图象关于直线x=l对称,故选:C.10.(5 分)(2017新课标工)如图程序框图是为了求出满足3“-2n1000的最小偶数n,那么在和I-1 两个空白框中,可以分别填入()A.人1000 和 11=1+1 B.人1000和 11=2C.AW1000 和 n=n+l D.人近1000和 115+2【分析】通过要求A1000时输出且框图中在 否
14、 时输出确定 内不能输入A 1000,进而通过偶数的特征确定n=n+2.【解答】解:因为要求A1000时输出,且框图中在 否 时输出,所以”内不能输入A1000”,又要求n 为偶数,且 n 的初始值为0,所以-1中n 依次加2 可保证其为偶数,所以D 选项满足要求,故选:D.11.(5 分)(2017新课标工)A B C的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=我,则 C=()A.2L B.2L c._L D.2L12 6 4 3【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可【解答】解:sinB=sin(A+C)=si
15、nAcosC+cosAsinC,V sinB+sinA(sinC-cosC)=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,cosAsinC+sinAsinC=0,VsinCO,/.cosA=-sinA,/.tanA=-1,V 0 A c,6故 选:B.2 21 2.(5分)(2017新课标I )设A,B是椭圆C:工_+2 _=1长轴的两个端点,3 m若C上存在点M满足/AM B=120。,则m的取值范围是()A.(0,1 U 9,+8)B.(0,%U 9,+8)C.(0,1 U 4,+00)D.(0,迎 U 4,+8)【分析】分类讨论,由要使椭圆C上存在点M
16、满足NAMB=120。,NAM B2120。,N A M O 260。,当假设椭圆的焦点在x轴上,tanNAMC)q 2 ta n 6 0。,当即可求得椭圆的焦点在y轴上时,m 3,tanNAM O=22tan6(T=、/,即可求得m的V3取值范围.【解答】解:假设椭圆的焦点在x轴上,则0 V m V 3时,假设M位于短轴的端点时,Z A M B取最大值,要使椭圆C上存在点M满足/AMB=120,NAM B2120,NAM O 260,ta n N A M O=2 ta n 6 0=b,解得:O V m W l;当椭圆的焦点在y轴上时,m 3,假设M位于短轴的端点时,N A M B取最大值,要
17、使椭圆C上存在点M满足NAMB=120,NAM B2120,NAM O 260,ta n N A M O=2 ta n 6 0=,解得:m 2 9,V3,m的取值范围是(0,1 U 9,+8)故选A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共2 0分.13.(5分)(2017新课标I )已知向量W=(-1,2),b=(m,1),若向量W+E与a垂直,则m=7.【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出Z+E,再由向量W+E与W 垂直,利用向量垂直的条件能求出m的值.【解答】解::向 量a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(-1+m,3),向量a+b与a垂直,(a+b)a=(-1+m)X(-1)
18、+3 X 2=0,解得m=7.故答案为:7.14.(5分)(2017新课标I)曲线y=x2+L在 点(1,2)处的切线方程为X-xy+l=0.【分析】求出函数的导数,求出切线的斜率,利用点斜式求解切线方程即可.【解答】解:曲线y=x2+二 可得=2 x-1 _,x x2切线的斜率为:k=2-1=1.切线方程为:y-2=x-1,即:x-y+l=0.故答案为:x-y+l=0.15.(5 分)(2017新课标 I)已知 aW(0,),ta n a=2,则 cos(a-2 L)=_243VTO10 一,【分析】根据同角的三角函数的关系求出s in a=2/c o s a=Y 再根据两角差5 5的余弦公
19、式即可求出.【解答】解:(0,),tana=2,2.*.sina=2cosa,Vsin2a+cos2a=l,解得 s in a=,cosa=2A,5 5 _ _/.cos(a-2 L)=cosacos+sinasinXX.=y1.,4 4 4 5 2 5 2 10故答案为:色 叵1016.(5分)(2017新课标工)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的球面上,SC是球。的直径,若平面SCAJ_平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球。的表面积为36n.【分析】判断三棱锥的形状,利用几何体的体积,求解球的半径,然后求解球的表面积.【解答】解:三棱锥s-A B C的
20、所有顶点都在球0的球面上,SC是球。的直径,若平面SCA,平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形,设球的半径为r,可得X 2r X r Xr=9,解得 r=3 O 4球0的表面积为:4nr2=3 6n.故答案为:3 67 T.三、解答题:共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.(一)必考题17.(1 2分)(2 017新课标工)记Sn为等比数列数n的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求 an的通项公式;(2)求S n,并判断Sn+l,Sn,Sn.2是否能成等差数列.【分析】(1)由题意可知 a3=S3
21、 -S?=-6-2=-8,a尸金3=二&,a2=由Q2 Q2 q qai+a2=2,列方程即可求得q及a i,根据等比数列通项公式,即可求得 a j的通项公式;(2)由(1)可知.利用等比数列前n项和公式,即可求得Sn,分别求得Sml,S n-2,显然 Sn+l+S=2 Sn,则 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列.【解答】解:(1)设等比数列 an首项为a i,公比为q,贝U a3=S3 -Sz=-6-2=-8,贝U ai=3 2=,q2 q2 q q由 ai+a2=2,二+R=2,整理得:q2+4q+4=0,解 得:q=-2,q2。则 ai=-2,an=(-2)(-2)n 1=(-2)n
22、,J a j的通项公式an=(-2)n;(2)由(1)可知:Sn=a(1 q)=N*2 n =_ l(2+(-2)n*i),1-q l-(-2)3则 Sn+1=-(2+(-2)n 2),Sn+2=(2+(-2)n 3),3 3由 Sn+i+Sn+2=-(2+(-2)n 2)-(2+(-2)n 3)=-4+(-2)X(-2)3 3 3n+1+(-2)2义+(-2)也 ,=-4+2 (-2)n l=2X -L(2+(-2)0 I),3 3=2Sn,即 Sn+l+Sn+2=2Sn,.Srrl,Sn,Sn+2 成等差数列.18.(1 2分)(2017新课标I )如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC D
23、,且NBAP二ZCDP=90.(1)证明:平面P A B,平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,ZA P D=90,且四棱锥P-ABCD的体积为&,求该四棱3锥的侧面积.【分析】(1)推导出ABJ_PA,C D 1 P D,从而A B L P D,进而ABJ_平面P A D,由此能证明平面P A B,平面PAD.(2)设 PA=PD=AB=DC=a,取 AD 中点 O,连结 P 0,则 P 0,底面 ABCD,且 A D=&a,P 0=la,由四棱锥P-AB C D的体积为反,求出a=2,由此能求出该四棱锥的侧2 3 3面积.【解答】证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,ZBAP=ZCDP
24、=90,,AB_LPA,CDPD,又 ABCD,/.ABPD,V P A nP D=P,,AB,平面 PAD,.ABu 平面 P A B,,平面 P A B,平面 PAD.解:(2)设 PA=PD=AB=DC=a,取 AD 中点 0,连结 P。,PA=PD=AB=DC,NAPD=90,平面 PAB_L平面 PAD,,P0J_底面 AB C D,且 A D=Ja2+a2=&a,P 0=a,四棱锥P-ABCD的体积为3,VP A B C D QX S四边物皿XPO=-X AB XAD XP 0=-Xax V aXa=-a3=8o o 乙 o解得 a=2,;.PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=
25、2&,P0=血,PB=PC=J 4+4=2*历该四棱锥的侧面积:S ffliJ=SAPAD+SAPAB+SAPDC+SAPBC=yXPAX PD+y XPAX AB+y XPDX DC+y X BC X=VX2X2+VX2X2+VX2X2+VX2V2 0恒成立,A f(x)在R上单调递增,当 a0 时,2ex+a 0,令 f(x)=0,解得 x=lna,当xVIna时,f (x)lna时,f (x)0,函数f(x)单调递增,当 a 0,令 f(x)=0,解得 x=ln(-且),2当xln(-)时,fz(x)ln(-A)时,f (x)0,函数f(x)单调递增,2综上所述,当a=0时,f(x)在R
26、上单调递增,当a 0时,f(x)在(-8,|n a)上单调递减,在(Ina,+)上单调递增,当a 0恒成立,当 a0 时,由(1)可得 f(x)min=f(Ina)=a2lna0,InaWO,/.0 a l,当 a0 时,由(1)可得 f(x)min=f(In(-2)=2 s_-a2ln(-2)20,2 4 2Ain(-A)W”2 43_:.-2eT a l【分析】(1)当 a=l 时,f(x)=-x2+x+4,g(x)=|x+l|+|x-11 =2,-2x,x 1、xG -1,1、xW(-8,-1)三类讨论,结合 g(x)与 f(x)的单调性质即可求得f(x)2g(x)的解集为-1,四 曰;
27、2(2)依题意得:-x2+ax+422 在-1,1 恒成立ox?-ax-2W0 在-1,1 恒成立,只需1 J-a T-2 4 ,解之即可得a 的取值范围.,(-1)2-a(-l)-2 4 0【解答】解:(1)当a=l时,f(x)=-x2+x+4,是开口向下,对称轴为x=L的二2次函数,2x,x lg(x)=|x+11+1 x-11 =2,-2x,x T当 x(1,+8)时,令-X2+X+4=2X,解得 x二 7 I?T ,g(x)在(1,+)上单2调递增,f(x)在(1,+8)上单调递减,此时f(x)2g(x)的解集为(1,2当 X。-1,1 时,g(x)=2,f(x)2 f(-1)=2.当x W(-8,-1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(-l)=f (-1)=2.综上所述,f(x)2g(x)的解集为-1,叵3 ;2(2)依题意得:-x2+ax+422 在-1,1 恒成立,即 x2-ax-2W 0 在-1,1恒成立,则只需 1 2-a-2 4 ,解得-lW aW l,(-1)a (-1)-2 4 0故 a 的取值范围是-1,1.参与本试卷答题和审题的老师有:豫汝王世崇;zlzhan;沂蒙松;maths;铭激2016;cst;qiss;whgcn;zhczcb;双曲线;于东;wfy814(排名不分先后)菁优网2017年 6 月 11日
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