2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练--《特殊平行四边形》全章复习与巩固(知识讲解).pdf
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1、专题1.26 特殊平行四边形 全章复习与巩固(知识讲解)【学习目标】1.掌握矩形、菱形、正方形的概念,了解它们之间的关系.2.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法,并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3.掌握三角形中位线定理.【要点梳理】要点一、矩形1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2 .性质:(1)具有平行四边形的所有性质;(2)四个角都是直角;(3)对角线互相平分且相等;(4)中心对称图形,轴对称图形.3 .面积:S矩 形=长、宽4.判定:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.特别说明:
2、由矩形得直角三角形的性质:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(2)直角三角形中,3 0度角所对应的直角边等于斜边的一半.要点二、菱形1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2 .性质:(1)具有平行四边形的一切性质;(2)四条边相等;(3)两条对角线互相平分且垂直,并且每一条对角线平分一组对角;(4)中心对称图形,轴对称图形.3.面积:S菱 形=底、高=.对角线x 对角线24 .判定:(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(3)四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1.定义:四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.2 .性质:(1
3、)对边平行;(2)四个角都是直角;(3)四条边都相等:(4)对角线互相垂直平分且相等,对角线平分对角;(5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;(6)中心对称图形,轴对称图形.3 .面积:S正 方 形=边长X边长=;X对角线X对角线4.判定:(1)有一个角是直角的菱形是正方形;(2)一组邻边相等的矩形是正方形;(3)对角线相等的菱形是正方形;(4)对角线互相垂直的矩形是正方形;(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;(6)四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、菱形如图,在QABC。中,点E,尸分别为A。,8 c 的中点,连 接 版,CE.求证:M
4、BF/CDE;(2)当A=2C,/。=60。时,四边形AFCE是什么特殊四边形?请说明理由.【答案】(1)证明见分析;(2)四边形4ECE是菱形,理由见分析【分析】(1)根据平行四边形的性质得出A8=CD,ZB=ZD,进而利用平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定解答即可.(2)先证明四边形AEC尸是平行四边形,再证明ADCE是等边三角形,得 4E=EC,从而可得结论.解:(1)证明:四边形A8C。是平行四边形,:.AB=CD,NB=ND,AD/BC,又,点,F 分别为AO,BC的中点,AE=CF,AE/CF,四边形AFCE是平行四边形,ZAFC=ZAEC,:.NAFB=NCED,在 48
5、尸与4 COE中,NAFB=NCEDNB=ZDAB=CD:.ABFXCDE(A4S).(2)解:四边形AFCE是菱形.四边形ABC。为平行四边形,:.AD=BC,ADHBC,.AE=DE=-AD.BF=CF=-B C,2 2 .AE/CF,A E =CF,,四边形AFCE是平行四边形,A D =2DC,:.D E =DC,:ZD=60,,AOCE是等边三角形,:.D E =E C ,:.A E=E C ,四边形AFCE是菱形.【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定和菱形的判定,解题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判断方法.【变 式1】如图,在菱形ABC。中,E,尸是对角线AC上的两点,且AE
6、=C F.请判断四边形8EDF的形状,并说明理由.【答案】四边形5EQF是菱形,理由见分析【分析】根据菱形的性质及AE=B,得 到 四 边 形 是 平 行 四 边 形,结合3Z)_LEP即可确定.解:四 边 形 尸 是 菱 形.理由如下:连接B。,交AC于。,如图所示:四边形48CD是菱形,:.BDAC,AO=CO,BO=DO,.AE=CF,:.EO=FO,四边形BEDF是平行四边形,又;BDLEF.二平行四边形BED尸是菱形.【点拨】本题考查菱形的性质与判定,涉及到平行四边形的判定,熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定是解决问题的关键.【变式2】如图所示,在平行四边形ABC。中,邻
7、边ARC。上的高相等,即3E=B厂.(1)求证:四边形A B 8是菱形;(2)若OB=10,A8=13,求平行四边形ABCD的面积.【分析】(1)先证 ABE丝CBF(4 A S),即有A B=C 8,则有平行四边形ABC。是菱形;(2)连接AC交BQ于点。,根据菱形的性质有ACLBD,3 0=3 8 0=5,在R s AB0中,由勾股定理得:=1 2,则菱形的面积可求.解:(1)证明:四边形ABC。是平行四边形,ZA=ZC,.邻边AO,CD上的高相等,:.BE1AD,BFCD,:.N A E B=N C F B=90。,在 ABElA C8F 中,NA=NC 2.图,四边形A8c。为矩形,A
8、C为对角线,过点。作。E L AC于点E.(1)尺规作图:过点2作AC的垂线8 F,垂足为F点.(保留作图痕迹不写作法)(2)在(1)的条件下,已知4F=4,C/=2,求 的 长.【答案】(1)见分析;(2)2亚【分析】(1)根据垂线的作法即可过点B 作 AC的垂线B F,垂足为尸点;(2)先证明AAEDgACFB,得至l4E=CF,再求出。8 与 OF的长,最后由勾股定理求得 BF的长.解:(I)如图,BF即为所求;:四 边 形 48C。是矩形,:.AC=BD,OA=OC,OB=OD,AD=BC,AD/BC,:.OA=OC=OB=OD,NDAE=NBCF,V D E I AC,BF1AC,:
9、.ZAED=ZCFB=90.:.AEDWACFB,:.AE=CF,;AF=4,CF=2,:.AE=2,OE=OF=1,AC=6,;.0B=0C=3,BF=JOB2-O F2=-F=2 0 -【点拨】本题考查了作图-复杂作图,矩形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理,解决本题的关键是掌握矩形的性质.【变 式 1】如图所示,在矩形A8CD中,E,F 分别是边A8,8 上的点,AE=CF,连接EF,BF,E户与对角线AC交于点。,且BE=BF.求证:OE=OF;(2)若 A E:E B=1:2,且 8 c =G,求 EF 的长.D F C【答案】见分析(2)2【分析】(1)四边形4BC。是矩形,
10、得 A8C。,由平行线的性质得N E 4 O N 尸 C。,ZO EA=ZO FC,又因为A E=C F,所以由AAS判定定理即可得结论;(2)过点/作 G,先由 4E=CF,AE:EB=1:2,BE=BF,求得 BF=2CF,在尸中,由勾股定理,求得C F=1,所以BE=BF=2,再证四边形8CFG是矩形,得FG=BC=+,BG=CF=1,在RdEG F中,由勾股定理求解即可.解:(1)证明:四边形A8c。是矩形,:.AB/CD,:.ZEAO=ZFCO,OEA=ZOFC,:AE=CF,:./O A E O C F(AAS),OE=OF;(2)解:如图,过点尸作FG JM 8于 G,:.CF:
11、EB=:2,;BE=BF,:.CF:BF=:2,B P BF=2CF9 ,四边形 C。是矩形,J ZBCF=ZABC=90,在放ZiBC尸中,由勾股定理,得3产=8C2+C产,/.(2CF)2=(73)2+C产,:.CF=,:.BF=2CF=2t:.BE=BF=2f*:FG L AB f:.NBG尸=90,四边形8 b G是矩形,:.FG=BC=y/3,BG=CF=f1EG=BE-BG=l,在RsEGF中,由勾股定理,得EF=4EG+FG1=J1+(可=2答:尸的长为2.【点拨】本题考查矩形的性质与判定,全等三角形的判定与性质,勾股定理,熟练掌握矩形的性质与判定是解题的关键.【变式2】如图,将
12、矩形纸片A8CD的四个角向内折叠,EH,EF,FG,GH别为折痕,其中点A,B落在点J处,点C,D落在点K处,且点H,J,K,F在同一直线上.(1)四边形EFG”的形状为.Af-J 4(2)若=,JK=y/2,则 AB=U r i 4【答案】矩形;476.【分析】(1)由题意,由折叠的性质得到N 田=1zB E/,则得至ljZWF=90,同理可求NEFG=NFG=90。,即可得到结论成立;(2)设A”=3x,D H=4x,则求出x=0,得到A4和。,的长度,然后证明EFJ=GHK,从而求出4 F的长度,过点作4U B C于点/,贝lj BI=AH,求出F/的长度,再利用勾股定理,即可求出答案.
13、解:(I)根据题意,由折叠的性质,ZHEJ=-NAEJ,NFEJ=-NBEJ,2 2Z.ZHEJ+ZFEJ=-ZAEJ+-ZBEJ=-x(ZAEJ+ZBEJ)=1 x 180=90,2 2 2 2即 NHF=90。,同理可求:ZEFG=9O。,ZFGH=90,.四边形EFGH是矩形;故答案为:矩形;*一,DH 4设 A/7=3x,DH=4x,由折叠的性质,则HD=HK,;JK=HK-HJ=HD-AH=0,4x-3x=V2 解得:x=/2,:.AH=3 0 ,DH=4y/2;由(1)可知,四边形EFGH是矩形,:.EF=HG,EF/HG,:.NEFJ=NGHK,NEJF=NGKH=9G0,:.2
14、EFJW2GHK,:.FJHK,:HD=HK,FB=FJ,:.HD=HK=FB=FJ=4/2;*HF=HK+FJ-JK=4y/2+4-f2=ly/2,如图,过点”作H/LBC于点/,则/=A8,BI=AH,FI=BF-BI=442-342=42在宜角A/W中,由勾股定理则HI=q FH。-F=J(7&)2(扬2=4 8.*-AB=46:故答案为;4瓜【点拨】本题考查了折叠的性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,解题的的关键是熟练掌握所学的知识,正确的分析题意.类型三、正方形.如 图,正方形ABCD中,M是其内一点,ZCMB=9 0 ,将8M绕点8顺时针旋转90。至8 N,连
15、接4 0、CN、A N,延 长 交4V与点E,交 与 点G.(1)在图中找到与A 相等的线段,并证明.(2)求证:E是线段AN的中点.AB【答案】(1)AM=C N,证明见分析(2)证明见分析【分析】(1)根据旋转的性质得出3M/MBN=90。,再根据同角的余角相等可得/A B M C B N,进而得出八钻加也CBN,AM=CN.(2)作辅助线,过 A 作 APJLBG,证明 ABMC和4 g 8 E N,可得E 为AN中点.解:(1)4 W=C N,理由如下:证明::BM绕B 顺时针旋转90得 BN:.BM=BN,NMBN=90。正方形ABC。:.AB=BC,ZABC=90=ZABM+Z M
16、BC丁 ZMBN=90=ZMBC+Z CBN:,NABM:NCBN:.在/ABM 冬 M B N 中AB=BC :妾C 8 F;(2)由正方形性质及勾股定理可求得8 D=A C=8,0 0=8 0=4.再证明四边形B E D尸为菱形,因为A E=C F=2,所以可得0 E=2,在心力。E中用勾股定理求得O E的长,进而四边形BEDF的周长为4 D E,即可求得答案.解:(I)证明:由正方形对角线平分每一组对角可知:ZD A E=ZB C F=45,在A4OE和ACB尸中,A D =B CA B2+A D2=4亚+(4 卧=8,由正方形对角线相等且互相垂宜平分可得:A C=B D=S,D O=B
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