概率论和数理统计_复旦大学_课后题答案.pdf
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1、1概率论与数理统计习题及答案习 题 一I.略.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1)A发生,B,C都不发生;(2)A与 8 发生,C不发生;(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C至少有一个发生;(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C不都发生;(7)A,B,C至多有2 个发生;(8)A,B,C至少有2 个发生.【解】(1)A BC(2)A B C(3)AB C(4)A U BU C=A B C U A BC UA B C A B C U A B C U A B C U A B C=A B C(5)A8C=AUBUC(6)A B C(7
2、)A BCU A BCU A BC U A BCU A B C U A BC U A BCA BC=A U fi U C(8)A B U 8C U C A=A B C UABCU A B C U A B C3 .略.见教材习题参考答案4设 A,B为随机事件,且 P =0.7,P(A-B)=0.3,求 尸(A B ).【解】P (A 5 )=l-P(4 B)=1-P(4)-P(A-B)=1-0.7-0.3 =0.65 .设 A,B 是两事件,且 P (A)=0.6,P(B)=0.7,求:(1)在什么条件下P(4 B)取到最大值?(2)在什么条件下P C A B)取到最小值?【解】(1)当A 8=
3、A 时,P C A B)取到最大值为0.6.(2)当AUB=Q时,P G 4 B)取到最小值为0.3.6.设 A,B,C 为三事件,且 P (力)=P (B)=1/4,P(C)=1/3 且 P (A B)=P(B C)=0,P(A C)=1/1 2,求 4,B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(A U B U C)=P(A)+P(8)+P(C)-/W)-P(8C)-P(A C)+P(A 8C)-4+4+3-12-47.从 5 2 张扑克牌中任意取出1 3 张,问有5 张黑桃,3 张红心,3 张方块,2张梅花的概率是多少?【解】p=C;3 c3 c:3 黑/图8.对一个五人学习小组考虑生日问题
4、:(1)求五个人的生H 都在星期日的概率;(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设4尸 五个人的生日都在星期日,基本事件总数为7、,有利事件仅1 个,故P(4。=4=(-)5(亦可用独立性求解,下同)75 7(2)设A?=五个人生日都不在星期日,有利事件数为65,故,、65 6 5P(4)=-y=(-)575 7(3)设小=五个人的生日不都在星期日P(4 3)=1-尸(4)=1-(;)59 .略.见教材习题参考答案.1 0.一批产品共N件,其 中M件正品.从中随机地取出n件(30.如图阴影部分所示.602 422.从(0,1)中随机地取两个
5、数,求:(1)两个数之和小于g 的概率;5(2)两个数之积小于1 的概率.4【解】设两数为和,贝 iJOyyvl.6(1)x+y.j_44p=1-2之5=!Z=o 681 1 2 51 xy=0.9即为(0.8)n 3,(n-1)!1 ,3!(一 2)!Pi=-=-;P2=-;,心3n n n3 8 .将线段0,任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分 别 为 则 基 本 事 件 集 为 由0 xa,0ya fia-x-y a-x-yx+(a-x-y)yy+(a-x-y)x构成的图形,即0y 2ay al_2如图阴影部分所示,故所求概率为p=L .43 9 .某人有n把
6、钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开k 次(k=l,2,箱)才能把门打开的概率与k 无关.【证】=p得i=上1,4=1,2,.,4 0 .把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出一个,试求它有i 面涂有颜色的概率尸(4,)(/=0,1,2,3).【解】设4=小立方体有i 面涂有颜色,/=0,1,2,3.在 1 千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的,这样的小立方体共有1 2 X 8=9 6 个.同理,原立方体的六
7、个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的,共 有 8*8 X 6=3 8 4 个.其余1 0 0 0-(8+9 6+3 8 4)=5 1 2 个内部的小立方体是无色的,故所求概率为c 19 3X4p(A)=0.512,P(A)=0.384,十 1000 1 1000p(4)=网-=0.096,尸(AJ=-=0.008.1000 4 10004 1 .对任意的随机事件A,B,C,试证P(A B)+P(A C)-P(B C)PA(BUC)=P(ABJAC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC)P(AB)+P(AC)-P(BC)4 2.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3
8、的概率.【解】设4=杯中球的最大个数为/,/=1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有4,种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故P(4)C:3!_ 3 4-8而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故C1P(4)=消=1163 1 9因此 P(4)=l P(4)P(A)=l 7 7 =;7o io lo或 次 儿)=上CC半2C1 =29“43 1643.将一枚均匀硬币掷2”次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2次硬币,可能出现:4=正面次数多于反面次数,8=正面次数少于反面次数,C=正面次数等于反面次数,4,B,C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬
9、币是均匀的,故 产(A)=P(B).所以p =4 0由2重贝努里试验中正面出现n次的概率为p(c)=q,(m44.掷次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设4=出现正面次数多于反面次数,8=出现反面次数多于正面次数,由对称性知P(A)=尸(B)(1)当为奇数时,正、反面次数不会相等.由P(A)+P(B)=1得尸(A)=P(B)=0.5(2)当“为偶数时,由上题知1 2 Jp(A)=-i-c (-r 45.设甲掷均匀硬币”+1次,乙掷次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲片甲掷出的正面次数,甲 反=甲掷出的反面次数.乙片乙掷出的正面次数,乙 反=乙掷出的反面次数.
10、显然有(甲I命)=(甲 正 W乙正)=(+1-甲 反 乙 反)=(甲反2 1+乙反)=(甲反 乙 反)由对称性知P(甲正 乙正)=p(甲反乙 反)因此P(甲正乙正)=24 6.证 明“确定的原则”(Sure-thing):若 P(AIC)P(BC),P(AC)P(BC),则 尸(A)2 P.【证】由P(AIC)2P(8Q,得P(AC)P(BC)尸(C)-P 即有 P(AC)P(BC)同理由 P(AC)P(BC),得 P(AC)P(BC),故 P(A)=P(AC)+P(AC)P(BC)+P(BC)=P(B)47.一列火车共有n节车厢,有k(k2)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有
11、一个旅客的概率.【解】设A尸 第i节车厢是空的,(日,),则P(4)=(l%n np(4 A)=(i-与M 1P(A&其中八/2,i“-i是1,2,,中的任T个.显然节车厢全空的概率是零,于是5=尸(4)=(1%=C(1与,=1 一=Z P(A 4)y(i-2 y1/jo.试证明:不 论e 0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则4迟早会出现的概率为1.【证】在前n次试验中,A至少出现一次的概率为1一(1一)”-1(-8)49.袋中装有机只正品硬币,只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少?【解】设4=投掷硬币
12、次都得到国徽8=这只硬币为正品由题知 P(B)=-,P(8)=一m+n m+n1 -P(AB)=,P(AB)=l则由贝叶斯公式知P(m A)-P(A B)P 尸(A I B)P(A)P(6)P(A I 6)+P(6)P G 4 I 8)i n 1_ m+九 2 _?m 1 i m+2-7 n-1m +n 2r m +n50.巴拿赫(Banach)火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r根的概率又有多少?【解】以5、%记火柴取自不同两盒的事件
13、,则有P 3)=P(82)=g.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r根,说明已取了 2-r次,设 次取自囱盒(己空),”-r次取自4盒,第2 -r+l次拿起以,发现已空。把取2-r次火柴视作2-重贝努里试验,则所求概率为A =2=C:_,式中2反 映 与 历 盒 的 对 称 性(即 也 可 以 是 盒 先 取 空).(2)前2”-r-l次取火柴,有”-1次 取 自 盒,”-r次取自生 盒,第2”-r次取自以盒,故概率为2=2弟一(1-广,;=C M一夕t51.求重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由(q +P)”=C W+C:p/i +C:p 2 广 2 +.
14、+c:p%。=1(q-4 =C%q +C;p q T +C:p 2 广 2 一.+(_ i)“c:p”。以上两式相减得所求概率为P i=C;p q T+C:p 3/-3+=;u-(g-p)=1 l-(l-2 p)n若要求在 重贝努里试验中A出现偶数次的概率,则只要将两式相加,即得p2=l l +(l-2 p)n.5 2 .设A,B是任意两个随机事件,求 P (耳+8)C A+B)C A +B)(A+B)的值.【解】因 为(A U B)n (AUB)=A B A B(A U/?)A (A U B )=AB U A B所求(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)=0故所求值为0.5 3 .设两两相
15、互独立的三事件,力,8和 C 满足条件:A B C=,P(A)=P(B)=P(C)1/2,且 P(X U B U C)=9/1 6,求 P(4).【解】由 P(4 U 3 U C)=P(4)+P(B)+P -P(AB)-P(AC)-P(B C)+P(AB C),9=3 P(A)-3 P(A)2=l o1 3 1 1故P(A)=1或彳,按题设P(A)0,P(*8)=1,试比较P(A U B)与尸(力)的大小.(2 006 研考)解:因为 P(A U B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)=P(B)-PAB)=P(B)所以 P(A U B)=P(A)+P(8)P(8)=尸(A).习题二1.
16、一袋中有5 只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3 只,以X表示取出的3 只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.【解】X=3,4,5c3一cclc=0.1=0.3=0.6故所求分布律为X345p0.10.30.62.设在1 5 只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1 只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求:(1)X的分布律;(2)X的分布函数并作图;(3)1 3 3PX-,PlX,PiX,PlX 2.【解】X =0,1,2c3 2 2P(X=0)=二=丝C:5 3 5p(x=l)=CC2 =1 2.C:5 3 5C1 1p(x =2)=号 J.O1 3 5故
17、 X的分布律为X 01 2P 2 23 51 2 13 5 3 5(2)当 x 0 时,F(x)=P(X Wx)=02 2当 OWx cl 时,F(x)=P(X Wx)=P(X=O)=3 53 4当 l Wx 2 时,F(x)=P(X Wx)=P(X=O)+P(X=1)=3 5当 时,F(x)=P (XS x)=1故 X的分布函数0,x 02 23 53 43 50 x l1 x 2P(X ;)=;)=2 2353 3 34 34P(1X )=F()-F(l)=02 2 35 3533 12F(1 X )=P(X=1)+P(1X W )=2 2 3534 1P(1X 2)=F(2)-F(l)P
18、(X=2)=1 35 35=0.3 .射手向目标独立地进行了 3次射击,每次击中率为0.8,求 3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设 X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.P(X=0)=(0.2)3=0.008P(X=l)=C;0.8(0.2)2 =0.096P(X=2)=C;(0.8)2().2 =0.384p(X=3)=(0.8)3=0.512故 X的分布律为X0123p0.0080.09 60.3 8 40.5 1 2分布函数0,x 00.008,0 x lF(x)=0.104,1 x 20.488,2 x 3P(X 2)=P(X=
19、2)+P(X=3)=0.8964 .(1)设随机变量X的分布律为才P X=k =a ,其中k=0,1,2,,1 0 为常数,试确定常数a.(2)设随机变量X的分布律为P X=k =a/N,k=,2,,N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知1 =P(X=k)=k=0 k=0IT=a故a=e(2)由分布律的性质知N可T =P(X=k)工F =ak=y it=i N即0=1.5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3 次,求:(1)两人投中次数相等的概率;(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、丫表示甲、乙投中次数,则Xb(3,0.6),丫 6(307)(1)p(x
20、=y)=p(x =o,y=O)+P(X=i,y =I)+P(X=2,y=2)+p(x=3 7=3)=(0.4)3(03)3+C;0.6(0.4)2C;0.7(0.3)2+C;(0.6 o 4 c;(0.7)2 Q 3+(O.6)3(O.7)3=0.32076(2)p(x y)=p(x =i,y =O)+P(X=2,y=O)+P(X=3,y=o)+p(x =2,y=I)+P(X=3,y=I)+P(X=3,y=2)=C;0.6(0.4)2(0.3)3+C(0.6)20.4(0.3)3+(0.6)3(0.3)3+C;(0.6)2.4 C;0.7(0.3)2+(0.6)3C;0.7(0.3)2+(0.
21、6)3C(0.7)20.3=0.24 36.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?【解】设 X 为某一时刻需立即降落的飞机数,则 Xb(200,0.02),设机场需配备N 条跑道,则有P(X N)0.01200即X Goo(0.02)A(O.98)2oo-i,0.01k=N+l利用泊松近似A=np=2 00 x 0.02 =4.H 6 T 4 P(X N N)Z 1)=1-P(X =0 l-e-211.设
22、 P X=k =C:p l-p)2*,k=0,l,2P Y=t n =C f p (l p)4 m,?=0,1,2,3,4分别为随机变量x,y 的概率分布,如果已知P X 2 1 =2,试求9【解】因为P(X N 1)=故 P(X4-9XI/=而p(x 1)=1 -P(y=0)=1-(1-/?)4=0.80 2 4 78112 .某教科书出版了 2 0 0 0 册,因装订等原因造成错误的概率为0.0 0 1,试求在这2 0 0 0 册书中恰有5 册错误的概率.【解】令 X为 2 0 0 0 册书中错误的册数,则 X M(2 0 0 0,0.0 0 1).利用泊松近似计算,%=叩=2 0 0 0
23、 x 0.0 0 1 =2得e-225P(X=5)B-=0.0 0 185!3 113 .进行某种试验,成功的概率为一,失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的次4 4数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.【解】X =1,2,人 1 T.P(X =&)=(:)累P(X=2+HX=4+计 P(X =2%)+言+513 44 1-(1)24之+己 产、4 4 4_514.有 2 50 0 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.0 0 2,每个参加保险的人在1 月 1 日须交12 元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2 0 0 0 元赔偿金
24、.求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于10 0 0 0 元、2 0 0 0 0 元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1)在 1 月 1 日,保险公司总收入为2 5 0 0 X 1 2=3 0 0 0 0 元.设 1 年中死亡人数为X,则 X 6(2 5 0 0,0.0 0 2),则所求概率为P C 2 0 0 0 X 3 0 0 0 0)=P(X 1 5)=1-P(X 15),1-Z4=0 x 0.000069(2)P(保险公司获利不少于10000)=P(30000-2 000X 10000)=P(X 2 0000)=P(X 5)5 e V-0.615961总k!即保
25、险公司获利不少于2 0000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为fix)=AeM,-r+,求(1)A 值(2)POX1;(3)F(x).【解】(D由 /(x)dx=l得1 =A exdx=2 Ae-dx=2A故A=.2(2)p(0X l)=g f心 位=;(1 一e)当 x0 时,F(x)=1 e-lvldx=edx+j|e-xdx故尸(x)=lev2,x 016.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为於)=.p,X2 100,0,x100.求(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率;(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率;(3)F(x).【解】(4
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