“负负得正”的乘法法则可以证明吗?.doc
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1、“负负得正负负得正”的乘法法则可以证明吗的乘法法则可以证明吗关于“负负得正”的乘法法则,是否可以通过证明来确认这条法则呢?这个问题历来被老师们关注,有关专家对此也有各种看法,现将一篇文章转摘如下,供老师们参考(田载今,中学数学教学参考,2005 年第 3 期)。有理数的乘法法则中包括“负负得正”一条, “两个负有理数相乘,结果(积)是一个正有理数,其绝对值等于相乘两数的绝对值的乘积.”例如,(2)(3)=6。这条法则对刚学它的人来说,不是很容易理解,多数人是把它硬记下来的.记得水稻专家袁隆平院士说过他学正负数时想不清这个法则的道理,就去向老师请教,老师说:“你记住就行了.”编写教材时,大家为说
2、明这条法则的道理想了很多办法,有的教材以实际问题为背景来说明,有的教材从运算律的角度进行说明,有的教材利用相反数的意义解释教学中,许多老师都反映这条法则的道理不是很好讲.也有人考虑:是否可以通过证明来确认这条法则呢?教科书中哪种说法可以算是对它的证明呢?一种意见认为, “负负得正”有着丰富的实际背景,实践是检验真理的标准,这些实际背景对这一 法则的证明.例如,考虑这样的问题:如果水位一 直以每小时 2 厘米的速度下降,现在水位在水文标尺刻度的 A 处,3 小时前水位在水文标尺的刻度在何处?为区分水位变化方向,我们规定水位上升为正,下降为负;显然 3 小时前水位在水文标尺刻度的 A 处上方 6c
3、m 处,这可以表示为(2)(3)=6.在许多情况下,都能找到类似这样的“负负得正”的原型,因此, “负负得正”可以认为是通过客观实践检验证明的.上面的意见中,以“实际事物的原型”替代“数学的证明”的做法是不妥的.数学中的证明不是个例的验证,数学不是物理、化学、生物那样的实验科学,它的命题具有一般性,不能依靠检验个别案例完成对一般结论的证明,而需要依据已有的结论(定义、公理和定理等)经合乎逻辑的推导来证明.这些客观事物中的原型,只有在人为地规定问题中有关量的正负意义之后,即经过数学化、抽象化之后,才具有了“负负得正”的意义,它们只能说明“负负得正”有 实际背景,或作为应用“负负得正”法则的例子,
4、而不能作为逻辑地推导这个法则的根据.另一种意见认为,可以通过运算律来证明“负负得正”这一法则,具体推导过程如下:有了有理数的加法法则以及“正正得正” , “正负得正”的乘法法则之后,由分配律,有(1)(1)=(1)(12)=(1)1(1)2=1(2)=12=1 . 进而由交换律和结合律可以推出任何两个负数相乘的结果,例如,(2)(3)=(1)2(1)3=(1)(1)23 =(1)(1) (23)=16=6.于是,得出“负负得正”这一法则.笔者认为,上面的意见中在应用分配律时,用到了(1)(12)=(1)1-(1)2. (1)当确立了有理数的加法法则以及“正正得正”,“正负得负”的乘法法则,而尚
5、未确立“负负得正”这一法则时,这样做是缺乏根据的.在这时,我们可以确信(1)(21)=(1)2(1)1.这是因为的左边为 (1)(21)=(1)1=1.的右边为 (1)2(1)1= -2-(-1)=-2+1=-1.所以(2)的左边等于右边,即(2)成立.但是,我们不能用类似的方法推出成立,因为的左边为 (1)(12)=(1)(1) ,而(1)(1)的法则此时尚未成立,所以无法确定的左边是否等于右边,即此时分配律等于(1)(12)是否适用尚且存疑。先确定运算法则,后才能确定那些运算律成立,是合乎逻辑顺序的做法.这就是说,只有当(1)(1)的结果确定后,才能明确(1)成立.因此,像上面那样用分配律
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