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1、会计学1求导公式求导公式 方法方法17 四月 20232一、反函数的导数定理例1解 函数y=ax的反函数为x=logay,又3.3 求导公式与求导方法即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.第1页/共25页17 四月 20233例2解同理可得第2页/共25页17 四月 20234二、基本导数公式 第3页/共25页17 四月 20235三、复合函数求导 定理(链式法则)若函数u=g(x)在x=x0可导,y=f(u)在u0=g(x0)可导,则复合函数y=fg(x)在x=x0可导,且即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)第4页/共25页17 四月 2
2、0236 当所针对的函数由三个以上的函数复合而成时也有类似结果,例如对三个函数y=f(u)、u=g(v)、v=h(x)复合而成的函数y=fgh(x),有 应用时,首先把函数进行“分解”,由外到里写成几个基本初等函数复合而成的形式(注意一定要“分解”得彻底,保证最后写出的函数都是基本初等函数),然后按照链式法则逐个求导。注意最后要把u、v换回x第5页/共25页17 四月 20237例1 求函数y=sinex在x=x0处的导数。解 函数y=sinex由基本函数y=sinu和u=ex复合而成,又因此有例2解练习答案第6页/共25页17 四月 20238例3解例4解第7页/共25页17 四月 2023
3、9例5解 题中函数由y=eu、u=sinv、v=1/x复合而成,又练习答案则熟练以后,可以不写出中间变量,直接求导。第8页/共25页17 四月 202310例 设f(u)可导,求y=f(ex)ef(x)的导数。解练习 设f(u)可导,求y=fff(x)的导数。答案注意先求导后代入先代入后求导第9页/共25页17 四月 202311求 导 数 第10页/共25页17 四月 2023123.4高阶导数与隐函数求导一、高阶导数 我们知道,速度v是位移函数s(t)的导数:v=s(t)。设初始时刻t0的速度为v0,末时刻t的速度为v,则从t0到t的(平均)加速度为 这是对位移函数s(t)的导数v=s(t
4、)再求导数,我们称之为二阶导数。一般地,我们可以定义n阶导数。若要求在t0时刻的瞬时加速度,则需令t t0对此式求极限:第11页/共25页17 四月 202313定义为f(x)在x0处的二阶导数,记为上的函数,称为二阶导函数,简称二阶导数。的三阶导数,称为f(x)的四阶导数,第12页/共25页17 四月 202314定义 设函数f(x)的n-1阶导数存在且可导,则称其导数f(x)的n阶导数,记为 二阶和二阶以上的导数称为高阶导数,若f(x)的n阶导数存在,则称f(x)n阶可导。由定义可以看出,求n阶导数就是进行n次求导运算,有时需要化简、归纳。例答案第13页/共25页17 四月 202315练
5、习答案例定理(Leibniz公式)计算过程对两个函数乘积的n阶导数的计算,可以利用Leibniz公式。第14页/共25页17 四月 202316二、隐函数求导 用导数讨论变量的变化率时,有时变量间的关系很难甚至不能用y=f(x)的形式表示,这时应尽量用其他形式揭示变量的关系。其中一种是用方程确定。定义 设(x,y)=0为含有两个未知数的方程,若有函数y=f(x)使(x,f(x)0,xDf,则称y=f(x)为由(x,y)=0确定的隐函数。y=f(x)形式的函数称为显函数。将隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化。注 一个二元方程可能确定一个或多个隐函数;并非每一个隐函数都可以显化。事实上,大部分
6、隐函数都不能显化,这时,一般考虑用导数讨论其性质。第15页/共25页17 四月 202317 y=f(x)是由方程(x,y)=0确定的隐函数。即有(x,f(x)=0两边对x求导得到x、f(x)和f(x)的等式,从其中解出f(x)(用x、f(x)表示)。实际计算时,一般把f(x)和f(x)写成y和y。如 对方程y=x+ex+y确定的隐函数y=f(x),对 f(x)=x+ex+f(x)两边对x求导得 f(x)=1+ex+f(x)1+f(x)从中可求得隐函数求导方法:第16页/共25页17 四月 202318例1 求由2y-x=(x-y)ln(x-y)所确定的隐函数y=f(x)的导数。答案 对2y-
7、x=(x-y)ln(x-y)两边关于x求导得:整理得计算时,一定要注意y是x的函数,遇到y就会出现y 。例2第17页/共25页17 四月 202319练习答案计算时,一定要注意y是x的函数,遇到y就会出现y 。解解得第18页/共25页17 四月 202320练习二阶导数。对隐函数求高阶导数时,即对上面求得的导数再求导数。由于隐函数的导数的表达式中一般同时含有自变量x和因变量y,因此再次(关于x)求导时也会遇到y,这时仍要把y看作x的函数。也就是说求二阶导数时,右边会出现y,然后把一阶导数的表达式代入。计算过程第19页/共25页17 四月 202321三、对数求导法 定义 形如f(x)g(x)的函数称为幂指函数。对幂指函数的求导,一般有两种方法,一种是先化简:y=f(x)g(x)=eg(x)lnf(x),再利用四则运算法则和复合函数求导法计算;另一种方法是用所谓的对数求导法。定义 先对函数表达式两边求对数,再两边求导以求函数的导数的方法,称为对数求导法。对数求导法主要利用对数的性质,一般适用于以下情形下的求导:求幂指函数的导数;求多个函数积或商的导数。例 求函数y=xsinx的导数。计算过程第20页/共25页17 四月 202322练习 求函数y=(tanx)sinx的导数。答案 例答案练习答案第21页/共25页
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