大学物理 第二章 气体动理论2.ppt
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1、2.4 麦克斯韦速率和速度分布规律麦克斯韦速率和速度分布规律 一分子速率分布函数一分子速率分布函数 二麦克斯韦速率分布律二麦克斯韦速率分布律2.5 麦克斯韦速率分布实验验证麦克斯韦速率分布实验验证 一麦克斯韦速率分布实验验证一麦克斯韦速率分布实验验证 二麦克斯韦速度分布律二麦克斯韦速度分布律2.6 玻尔兹曼分布定律玻尔兹曼分布定律1 气体分子热运动是杂乱无章的,由于其他分子的气体分子热运动是杂乱无章的,由于其他分子的不断碰撞,单个分子的运动速度的方向和大小是不可不断碰撞,单个分子的运动速度的方向和大小是不可预知,但是大量分子的整体却会出现一些统计规律:预知,但是大量分子的整体却会出现一些统计规
2、律:分子数按位置分布平均说来是均匀的。分子数按位置分布平均说来是均匀的。分子数按速度方向分布平均说来是均匀的。分子数按速度方向分布平均说来是均匀的。在容器内任何一处,不论怎样取体积在容器内任何一处,不论怎样取体积 V,只要,只要 V 中中包含有大量的分子包含有大量的分子N,则,则V21.无论在容器中的什么地方,只要无论在容器中的什么地方,只要V 大小相同,大小相同,V 包含的分子数占总分子数的包含的分子数占总分子数的比率就相等;比率就相等;分子数按空间位置分布是等概率的分子数按空间位置分布是等概率的 分子数按位置分布平均说来是均匀的。分子数按位置分布平均说来是均匀的。分子数按速度方向分布平均说
3、来是均匀的。分子数按速度方向分布平均说来是均匀的。2.同理,无论任何时刻沿任一方向运动的分子数占同理,无论任何时刻沿任一方向运动的分子数占 总分子数的比率都相等;总分子数的比率都相等;分子数按速度方向分布是等概率的分子数按速度方向分布是等概率的3理论和实验发现:理论和实验发现:当气体处于平衡态时,分子数按速率的分布也遵循当气体处于平衡态时,分子数按速率的分布也遵循着一个完全稳定的统计规律着一个完全稳定的统计规律 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律问题:问题:分子数按速度的大小的分布有什么规律呢?分子数按速度的大小的分布有什么规律呢?1859年,理论上年,理论上也就是说,在总数为也就是说,在总
4、数为N 的分子中,具有各种速率的分子中,具有各种速率 的分子各有多少?的分子各有多少?或这些分子在运动过程中,出现在各个速率范围或这些分子在运动过程中,出现在各个速率范围 内的概率是多少?内的概率是多少?42.5 麦克斯韦速率分布律和速度分布律麦克斯韦速率分布律和速度分布律 一分子速率分布函数一分子速率分布函数为了说明这个规律,为了说明这个规律,下面首先介绍下面首先介绍分子速率分布函数分子速率分布函数的概念的概念1.分子的速率在原则上可以连续地取值,从分子的速率在原则上可以连续地取值,从0 到到;2.在各个速率范围中分子数在各个速率范围中分子数 是不连续的;是不连续的;3.如何来研究分子数按速
5、率的分布?如何来研究分子数按速率的分布?将速率分成一些小的区间,按这些区间来计算分子数将速率分成一些小的区间,按这些区间来计算分子数设气体分子总数为设气体分子总数为N,速率处在,速率处在 v 到到 v+dv 之间的分之间的分子数为子数为 dN,5特点:特点:1.不同不同v 附近的速率区间附近的速率区间dv 内内分子数分子数dN 是不同是不同 的,这一比率是速率的,这一比率是速率v 的函数;的函数;2.在区间在区间 dv 足够小的情况下,这一比率还应和区足够小的情况下,这一比率还应和区间的大小间的大小dv 成成正比。正比。设定:设定:气体分子总数为气体分子总数为N,速率处在,速率处在 v 到到
6、v+dv 之间之间 的分子数为的分子数为dN:速率在速率在v 到到 v+dv 之间的分子数占总分子数比率为之间的分子数占总分子数比率为6式中式中写成等式写成等式分子速率分布函数分子速率分布函数物理意义:物理意义:由等式右边可以看出由等式右边可以看出 分子速率分布函数分子速率分布函数表示速率在表示速率在v 附近,附近,单位速单位速率区间率区间内的分子数占总分子数的比率。内的分子数占总分子数的比率。7分子速率分布函数分子速率分布函数讨论讨论1.就大量分子而言,表示速率在就大量分子而言,表示速率在v 到到 v+dv 区间内区间内 分子数占总分子数的比率分子数占总分子数的比率 2.对单个分子而言,由于
7、分子的速率在不断的改对单个分子而言,由于分子的速率在不断的改 变,它的速率有时处在变,它的速率有时处在v 到到 v+dv 区间内,有时区间内,有时 也可能处在这个区间外,因此也可能处在这个区间外,因此 f(v)dv表示单个分子表示单个分子 处于处于v 到到 v+dv 区间内一种预计或者估计,区间内一种预计或者估计,也就是前面提到的概率也就是前面提到的概率81.它的大小反映单个分子处于它的大小反映单个分子处于v 到到 v+dv 区间的区间的 可能性的大小;可能性的大小;1.2.任何时刻分子具有什么样的速率无法确定,任何时刻分子具有什么样的速率无法确定,但但2.是具有某一速率的可能性大小是可以预计
8、的。是具有某一速率的可能性大小是可以预计的。因此因此 表示单个分子处于表示单个分子处于v 到到 v+dv 区间内区间内一种预计或者估计,也就是前面提到的一种预计或者估计,也就是前面提到的概率概率f(v)dv对于单个分子的意义对于单个分子的意义说明:说明:9分子速率分布函数分子速率分布函数讨论讨论速率处在速率处在v1 到到v2 这个有限速率区间中的分子数这个有限速率区间中的分子数可用下列积分计算可用下列积分计算表示速率处在表示速率处在v 到到 v+dv 区间内的分子数;区间内的分子数;速率处在速率处在0 到到 整个区域中的分子数整个区域中的分子数3.函数变式:函数变式:Nf(v)v=dN10意味
9、着:意味着:1.对大量分子来说,任意分子的速率必然落在对大量分子来说,任意分子的速率必然落在0 到到 整个区域中的;整个区域中的;1.2.对单个分子来说表示按速率分布单个分子处对单个分子来说表示按速率分布单个分子处于于0 2.到到 整个区域中的概率等于整个区域中的概率等于1。4.分子速率分布函数的归一化分子速率分布函数的归一化11二麦克斯韦速率分布律二麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律就是给出了一定条件下的麦克斯韦速率分布律就是给出了一定条件下的速率分布函数的具体形式速率分布函数的具体形式1.麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数在平衡态下,气体分子速率
10、在在平衡态下,气体分子速率在v 到到 v+dv 区间内区间内的分子数占总分子数的比率为的分子数占总分子数的比率为其中其中12麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数T 是是 气体的热力学温度,气体的热力学温度,m 是一个分子的质量,是一个分子的质量,k 是玻尔兹曼常数是玻尔兹曼常数对于给定气体(对于给定气体(m 一定),一定),只与温度有关。只与温度有关。132.麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线以速率以速率v 为横轴,以为横轴,以 为纵轴,画出的图线为纵轴,画出的图线就是就是麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线,它能形象地表示出气体按速率分布的情况它能形象地表示出气体按速率分布的情
11、况o14则曲线下所围整个面积等于则曲线下所围整个面积等于 1v 曲线所围面积及物理意义曲线所围面积及物理意义o在曲线下在曲线下v 附近取一附近取一宽度为宽度为dv 的小窄条的小窄条小窄条面积就等于小窄条面积就等于物理意义:物理意义:就等于在该区间内的分子数占总分子数的比率就等于在该区间内的分子数占总分子数的比率思考?思考?图示阴影部分的面积的意义图示阴影部分的面积的意义15v 曲线特征曲线特征1.从曲线形状可以看出,从曲线形状可以看出,2.速率很小和速率很大速率很小和速率很大 的的3.分子数都分子数都很少很少,或者说分或者说分4.子取速率很大或很小的概率都很小;子取速率很大或很小的概率都很小;
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