大学物理课后习题集规范标准答案(北邮第三版)下.pdf
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1、大学物理习题及解答习题八8-1电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解:如题8T图示(1)以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:/为负电荷o1 72 o n o 1 qq2-5 co s 3 0 =-4 7 1%a 4兀4 分量,1 Adx d24兀 +d;次+#E 一麻一空匕。一 产上 一4无2 2(/+#”AI271-0 J/2+4d;以 =5.0 x10 c-cm”,I=15 cm,d2=5 cm代入得EQ=Eg=1
2、 4.9 6X1 02N.C-I;方向沿y轴正向8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为彳,求环心处。点的场强.解:如8-7图在圆上取d l=Rd(pdq=Adi=RAd(p 它在。点产生场强大小为,ZRd(paE=-1V4兀()方向沿半径向外dv=AEsin(p-sin(pd(p则 吟 氏E,积分-Ad=dfcos(乃一夕)=-cos 喝夕4 兀-Sin 6X 169=-0 4 兀 4R 2 兀 jR产 A号=。诉3喝。=2 兀式,方向沿x 轴正向.8-8均匀带电的细线弯成正方形,边长为人 总 电 量 为(1)求这正方形轴线上离中心为广处的场强E;(2)证明:在 r I处,它相当于
3、点电荷4 产生的场强E._解:如 8-8图示,正方形一条边上电荷7 在 P点产生物强d后 尸方向如图,大小为dE p 在垂直于平面上的分量d“L =d Ep co s/7由于对称性,P点场强沿 P 方向,大小为Ep=4x d E1=4初8-9 (1)点电荷4 位于一边长为a 的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量;(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示,在点电荷9的电场中取半径为R的圆平面.“在Ra=ar ctan 一该平面轴线上的A点处,求:通过圆平面的电通量.()悝 函=里解:(1)由高斯定理
4、 与立方体六个面,当4 在立方体中心时,每个面上电通量相等,各面电通量”看.(2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长2 a 的立方体,使4 处于边长2。的立方体中心,则”看边长2 a 的正方形上电通量 6%,=q对于边长。的正方形,如果它不包含“所在的顶点,则2 4%,(3).通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为JR,+V的球冠面的电通量,球冠面积*S=2 兀(R 2+X2)1 _-,”7/?2+x2二义-1一_ 1 _ _ X.471(/?2+x2)2%JR2 +*关于球冠面积的计算:见题8-9 (c)图S=2兀 si n a r d aJo=2 2 j s in a d a=2 兀/(
5、l-co sa)8-1 0 均匀带电球壳内半径6cm,外半径1 0 cm,电荷体密度为2 X 1 0 5 c m 求距球心5 cm,8cm ,1 2 cm 各点的场强.E471r2解:高斯定理%,当 r =5 c m时,=。,E =0 q2。_ 4 7 1厂=8 c m时,q P 3(八 d)若()4兀4广 3.48X104 N-C-,方向沿半径向外.4兀r =1 2 cm 时,Z /3(成-脸八44兀。厂 4.1 0 xl 04N-C-1沿半径向外.则对(2)(3)8-1 1 半径为K 和 R?(&A)的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量几和-%,试求:re8;(2)R r 此 处
6、各点的场强.,后.df =2i解:高斯定理%取同轴圆柱形高斯面,侧面积S=2 兀 E-dS Elnrlr&q =O,E=。R r R2 1=0E=Q立=二一-(7 1 。2)方2%_ 1 、一E-(T)+b 2)2%一 1E=-(巧 +。2)力2名题 8-1 2 图8-1 2 两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为2 和0 2,试求空间各处场强.解:如题8T2图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为0 与0 2,两面间,巧 面外,巴 面外,:垂直于两平面由 面指为归 面.8-1 3 半径为火的均匀带电球体内的电荷体密度为0,若在球内挖去一块半径为r R的小球体,如题8-1 3 图
7、所示.试求:两球心。与 点的场强,并证明小球空腔内的电场是均匀的.解:将此带电体看作带正电。的均匀球与带电一。的均匀小球的组合,见题8T3图(a).(1)+夕 球在。点产生电场片。=,43 T i r oE2 0=-o d 一。球在。点产生电场 4 7 i d。点电场 3od.-_+在。产生电场 例 J d一。球在,产生电场后2 0 =0(3)设空腔任一点P相对,的位矢为尸,相对点位矢为f(如题8-1 3 (b)图)则Pr3%,pr3 分&=E p。+=萨(/一=券 =碧.腔内场强是均匀的.8-1 4 电偶极子由4 =1.0X 1 0%偶极子放在1.0X 1 05N C1解:电偶极子P在外场E
8、中受力矩M =p x E3=0.2 c m,把这电ma x=P E=q IE 代入数字M=1.0 x l 0-6x 2 x l 0-3x l.0 x l 05=2.0 x l 0-4 N mIlk lXA V AAA8-1 5 两点电荷1=L 5 X 1 0 C,0=3.0 X 1 0%相距八=4 2 c m,要把它们之间的距离变为 2=2 5 01),需作多少功?A=户 =,)解:Jr2 47r邑 厂 如?4 r2=-6.55x10、外力需作的功A,=-A=-6.55xl0-6 J8-162 R,功.解:如题8 T 6 图所示,在 A,8 两点处放有电量分别为+4,-4 的点电荷,A 8 间
9、距离为现将另一正试验点电荷。从。点经过半圆弧移到0 点,求移动过程中电场力作的如题816图不=0U0 4兀%(获 一 万)6兀。火A=q()(Uo-0c)=qq6rt QR8-17如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为X 的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心。点处的场强和电势.解:(1)由于电荷均匀分布与对称性,4 8 和。段电荷在。点产生的场强互相抵消,取d/=Rd。则dq=R d 夕产生。点d后如图,由于对称性,。点场强沿y 轴负方向44兀0H 4.,冗、.71sin(-)-sin 2 22710/?(2)A B 电荷在0 点产生电势,以0 8=5_ JA
10、2dxA-ln2,04兀(/JR 4K0X 4兀 ,上4兀 与)ln2同理c o 产生4TIRA,2半圆环产生乐分/?4 分uo ul+u2+u22 7 c%l n 2 +4 。8-1 8一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2 X 1 0%s 的匀速率作圆周运动.求带电直线上的线电荷密度.(电子质量机。=9.I X 1 0 kg,电子电量e=1.6 0X I 0九)解:设均匀带电直线电荷密度为,在电子轨道处场强2 7 1 r电子受力大小 2 兀eX v2-二m 2 7 i 0r r得A=27r=125xl0.1 3e Cm-18-1 9 空气可以承受的场强的最大值为E=3 0 k V-c m 超过
11、这个数值时空气要发生火花放电.今有一高压平行板电容器,极板间距离为d=0.5 c m,求此电容器可承受的最高电压.解:平行板电容器内部近似为均匀电场t/=E d =1.5 x l O4 V8-2 0 根据场强巨与电势 的关系E =,求下列电场的场强:(1)点电荷。的电场;(2)总电量为“,半径为R的均匀带电圆环轴上一点;*(3)偶 极 子 =4/的/处(见题8-20 图).尸)U=-q解:(D 点电荷 彳 兀 -T-0-一题 8-20图“电 _ _ q _E=-rQ=-Y 4 -G r 4 兀。为 方向单位矢量.(2)总电量4 ,半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势u=qE=-idx471O+X
12、2_ qx4 兀 ()(R2 +X2)312(3)偶极子 =/在 /处的一点电势u=4 兀%i qlcosd(r c os。)(1 +c os。)2 2Er dU _ pcosffdr 2nar3IdU _ psin00 7d0 4nor38-21证明:对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说,(1)相向的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反;(2)相背的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相同.证:如题8-21图所示,设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为?,e r?.题 8-21图(1)则取与平面垂直且底面分别在A、8内部的闭合柱面为高斯面时,有 E-d
13、S =(c r2+c r3)A S =O c r2+c r3=0说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反;(2)在 A内部任取一点尸,则其场强为零,并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的,即C T J2(r3 5二。2 4 2 4 2SQ 2SQ乂 7,+。3=0b =c r4说明相背两面上电荷面密度总是大小相等,符号相同.8-2 2 三个平行金属板A ,B和 C的面积都是200c m2,A和 B相距4.0mm,A与 C相距2.0mm.B,C都接地,如题8-22图所示.如果使A板带正电3.0X 1()7(;,略去边缘效应,问8板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零,则 A板的电
14、势是多少?解:如题8-22图示,令 A板左侧面电荷面密度为5,右侧面电荷面密度为02ACAC=ABAB巧 _ EAC _ dB _ 2/.%EA B AA C=幺且+(T2 sa=丝 (J=2g A得2 3s,i 3s2_4 c =f S =_ 加=-2x l()7而 3 cqB=-a2S=-1x 10 7 CU A=%c d AC=d c =2.3x 103e0v8-23 两个半径分别为4和 氏2 (与氏2)的同心薄金属球壳,现给内球壳带电+,试计算:(1)外球壳上的电荷分布及电势大小;(2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球壳的电荷分布及电势;*(3)再使内球壳接地,此时内球
15、壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量.解:(1)内球带电+4;球壳内表面带电则为一“,外表面带电为+4,且均匀分布,其电势U =后.d用当=-加 J 2 4 7ieor 4兀 ()?(2)外壳接地时,外表面电荷+4入地,外表面不带电,内表面电荷仍为一令.所以球壳电势由内球+4与内表面一 4产生:U =2-2 =04兀4%4兀 设 此 时 内 球 壳 带 电 量 为/;则外壳内表面带电量为一/,外壳外表面带电量为-4+0(电荷守恒),此时内球壳电势为零,且心=-g +一“+=04兀(内 4兀4 g 4兀 ()%得外球壳上电势U B -q 4,一-1-=-47 1%6 4 兀%4兀47?2 4 兀
16、8-2 4半径为R的金属球离地面很远,并用导线与地相联,在与球心相距为 d =3R处有一点电荷+4,试求:金属球上的感应电荷的电量.解:如题8-2 4图所示,设金属球感应电荷为小,则球接地时电势。=d=3R +/8-24 图由电势叠加原理有:-+=0Uo-4ns0R 4its03Rq得 q=-38-25有三个大小相同的金属小球,小 球 1,2 带有等量同号电荷,相距甚远,其间的库仑力为 线.试 求:(1)用带绝缘柄的不带电小球3 先后分别接触1,2 后移去,小 球 1,2 之间的库仑力;(2)小球3 依次交替接触小球1,2 很多次后移去,小 球 1,2 之间的库仑力.解:由题意知 4its0r
17、2 小 球 3 接触小球1后,小球3 和小球1均带电小球3 再与小球2 接触后,小球2 与小球3 均带电 3q=-Q4/.此时小球1与小球2 间相互作用力3 26=一上=为。4n0r 4 兀 82(2)小球3 依次交替接触小球1、2 很多次后,每个小球带电量均为3.2 2,小球1、2 间 的 作 用 力 4兀 尸9*8-26如题8-26图所示,一平行板电容器两极板面积都是S,相距为d,分别维持电势UA=U,08=0不变.现把一块带有电量勺的导体薄片平行地放在两极板正中间,片的面积也是S,片的厚度略去不计.求导体薄片的电势.解:依次设A,0,B从上到下的6 个表面的面电荷密度分别为0 ,04,%
18、,外如图所示.由静电平衡条件,电 荷 守 恒 定 律 及 维 持 可 得 以 下 6 个方程题 8-26图8-2 7 在半径为A的金属球之外包有一层外半径为&的均匀电介质球壳,介质相对介电常3+%=弋=(0。=蜉3 3 dqT3+CF4=-J qB()U%+/-TS cl(72+c r3=0%+%=071=%+%+。5 +。6%=0 6 =4解得2 S_ 0U q2 3 d 2 s%=_%=辿+&d ISE 一 生所以C 8间电场%d 2%SUC=UC B=E 2 4 =;(U +$)2 2 2%3r rU r r U注意:因为c片带电,U c*U =所以 2,若 C 片不带电,显然 2数为,
19、金属球带电2.试求:(1)电介质内、外的场强;(2)电介质层内、外的电势;(3)金属球的电势.解:利 用 有 介 质 时 的 高 斯 定 理=Zq介质内(叫 厂此)场强口=0 E =4/内Q r4兀 (),厂 .介质外(&)场强E -Q?4 nr 外 4兀 ()3(2)介质外(此)电势U=:岛介质内(为&)电势。=蜃5+后 外 向4兀4%r 凡 4冗 出=q(L)4兀r R2(3)金属球的电势r兄 28 一。=)内心+岸外 五_ 产 Qdr+Qdrk 4兀 三%?JR?4兀4/=q(Lp4 兀 4%R R28-2 8 如题8-2 8 图所示,在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为J 的电
20、介质.试求:在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值.解:如 题 8-2 8 图所示,分别为见 与历由 仲.d S =汇夕。得充满电介质部分场强为后2,真空部分场强为E,自由电荷面密度而R=巧,D2=%D2=osrE2L U石 1=石?=不02 _ 2 _ 题 8-28 图-题 8-29 图8-2 9 两个同轴的圆柱面,长度均为乙 半径分别为凡和&(%凡),且/为-8,两柱面之间充有介电常数 的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷。和-Q时,求:(1)在半径r 处(&=,厚度为d r,长为/的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量;(2)电介质中的总电场能量;(
21、3)圆柱形电容器的电容.解:取半径为厂 的同轴圆柱面(S)D dS lnrlDJ则当(与 r&)时,q =QD=D2 Q2w-=-(1)电场能量密度 2 8兀202/2dW=wdu=-g2T L rdrZ=薄壳中 也 夕-广 4JI srl(2)电介质中总电场能量w Q2 电 容:;2ccQ2 2nd.2W ln(/?2/?!)*8-3 0 金属球壳A和 8的中心相距为,A和 8原来都不带电.现在A的中心放一点电荷%,在 8的中心放一点电荷外,如题8-3 0 图所示.试求:(1)%对 用 作用的库仑力,%有无加速度;(2)去掉金属壳8,求名作用在弦上的库仑力,此时私有无加速度.解:(1)1 作
22、用在%的库仑力仍满足库仑定律,即F=14兀4 r但%处于金属球壳中心,它受合力为零,没有加速度.F=1(2)去掉金属壳8,1作用在上的库仑力仍是 4 兀%产,但此 时%受合力不为零,有加速度.A题 8-3 0 图8-3 1 如题 8-3 1 图所示,G=0.25*F,C2=UAB.解:电容G 上电量e.=GG电容C2与C3并联。23 =+G其上电荷Q#=2u,=Q 23 _ Ci _c21 1A.B0-1|-C_ I I _C3题 8-3 1 图0.1 5F,C3=0.20 F .G 上电压为 50 V.求:25x5035力 8=I+5=5 0(1+至)=8 6 v8-3 2 G 和 0 2
23、两电容器分别标明“20 0 p F、50 0 V”和3 0 0 p F、9 0 0 V”,把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1 0 0 0 V?解:(1)G 与 G 串联后电容c,zc,c2 20 0 x 3 0 0 1 2 0-G+。2-20 0+3 0。-p F串联后电压比幺=6 u2 c,-2;而 q+(/2=1 0 0 0.a =600v,。2=4 0 0 丫即电容G 电压超过耐压值会击穿,然 后 也 击 穿.8-3 3 将两个电容器G 和 G 充电到相等的电压U 以后切断电源,再将每-电容器的正极板与另一电容器的负极板相联.试求:(1)每个电容器的最终电荷;(2)电场能量的
24、损失.解:如题8-3 3 图所示,设联接后两电容器带电分别为%,%cd%T 题 8-3 3 图则%+%=Go-%o=CU-C2U5=力G(G -G)u q =-G)u解 得 4 1 =C+。2 G+(2)电场能量损失 卬=叱 W2+%。2)一 怎 +豆)2 2 2G 2c2_ 2C,C,2-C,+C28-3 4 半径为=2.0 cm的导体球,外套有一同心的导体球壳,壳的内、外半径分别为“2=4.0 cm 和 4=5.0 cm,当内球带电荷 Q =3.0 X 1 0 SC(1)整个电场储存的能量;(2)如果将导体壳接地,计算储存的能量;(3)此电容器的电容值.解:如图,内球带电0,外球壳内表面带
25、电一Q,外表面带电Q题8-3 4图 在 与 和&区域巨=0Ex=-在 与 /?2时 4兀(/-QrE i =-时2 4 ,.在K 夫2区域Wt=rL o(-)247t r2dr加2 o 4兀5产_&Q2dr 一 Q2 i iJ叫 8兀(/2 8兀4&R?在厂 区域W,=P-o()247t r2dr =-J%2 4兀 分 产 87i o&W =W +w,=-(-+).总能量-8兀&R2&=1.82x 10(2)导体壳接地时,只有 与 时 47t r W2=0n2 1w=w=-)=1.01x 10-4,8 f&R2 J(3)电容器电容 2 W ,1 1、C =4-7tQ/(-)Q2&=4.49 x
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