新高考数学一轮复习讲义:计数原理、概率与随机变量及其分布.pdf
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1、新高考数学一轮复习讲义:计数原理、概率与随机变量及其分布 1 0.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理【考试要求】1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用两个计数原理解决一些简单的实际问题.【知识梳理】基本形式一般形式区别分类加法计数原理完 成 一 件 事 有 两 类 不同方案,在 第1类方案中有加种不同的方法,在 第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有小=用 工 种不同的方法完成一件事有类不同方案,在第1类 方 案 中 有0种不同的方法,在 第2类方案中有股种不同的方法,在第类方案中有园种不同的方法,那么完成这件事 共 有N=用+方+%种不同的方法分类加法计数原理与分步乘
2、法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方 法 种 数.它 们 的 区 别在 于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任何一种方法都可以完成 这 件 事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成分步乘法计数原理完 成 一 件 事 需 要 两 个步骤,做 第1步有必种不同的方法,做 第2步有种不同的方法,那么 完 成 这 件 事 共 有N=而X/?种不同的方法完成一件事需要个步骤,做第1步有面种不同的方法,做 第2步有物种不同的方法,做第“步有质,种不同的方法,那么完成这件事共有 N=mXabX 义 而“种不同的方法【思考】1.在解题过程中
3、如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理?提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事,应该用分类加法计数原理;如果每类办法中的每一种方法只能完成这件事的一部分,就用分步乘法计数原理.2.两种原理解题策略有哪些?提示 明白要完成的事情是什么;分清完成该事情是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立,“步”间互相联系;有无特殊条件的限制;检验是否有重复或遗漏.【基 础 自 测】题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(X)(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.(V)(3
4、)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(V)(4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(X)题 组 二 教材改编2 .已知集合=1,-2,3 ,A=-4,5,6,一7 ,从 M N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标,纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()A.1 2 B.8 C.6 D.4答 案 C解 析 分 两 步:第一步先确定横坐标,有 3种情况,第二步再确定纵坐标,有 2种情况,因此第一、第二象限内不同点的个数是3 X 2=6,故选C.3.已知某公园有4个门,从一个门进,另
5、一个门出,则不同的走法的种数为()A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.1 0答 案 C解析 将 4个门编号为1,2,3,4,从 1号门进入后,有 3种出门的方式,共 3种走法,从2,3,4 号门进入,同样各有3种走法,共有不同走法3 X 4=1 2(种).4.书架的第1 层放有4 本不同的计算机书,第 2 层放有3本不同的文艺书,第 3 层放有2本不同的体育书.从书架中任取1 本书,则 不 同 的 取 法 种 数 为.答 案 9解析 分三类:第一类,从 第 1 层取一本书有4 种取法,第二类,从第2 层取一本书有3 种取法,第三类,从第3 层取一本书有2种取法.共有4+3 +2=9(种)取
6、法.题组三易错自纠5 .从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()A.2 4 B.1 8 C.1 2 D.6答 案 B解析 分两类情况讨论:第 1 类,奇偶奇,个位有3 种选择,十位有2种选择,百位有2 种选择,共 有 3 X 2 X 2=1 2(个)奇数;第 2类,偶奇奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有1 种选择,共 有 3 X 2 X 1=6(个)奇数.根据分类加法计数原理知,共 有 1 2+6 =1 8(个)奇数.6.某人有3 个电子邮箱,他要发5 封不同的电子邮件,则不同的发送方法有 种.答 案 2 43解析 因为每个邮件
7、选择发的方式有3 种不同的情况.所以要发5 个电子邮件,发送的方法有3 X 3 X 3 X 3 X 3=3 =2 4 3(种).题 型 一 分类加法计数原理1 .满 足 a,代 一 1,0,1,2,且关于x的方程/+2x+6=0 有实数解的有序数对(a,的个数为()A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.1 0答 案 B解析 方 程 a*2+2 x+b=0 有实数解的情况应分类讨论.当 a=0时,方程为一元一次方程 2 x+6=0,不 论 6取何值,方程一定有解.此时6的取值有4 个,故此时有4 个有序数对.当 aWO时,需 要 z l=4-4 a 0,即 劭 W 1.显然有3个有序数对不满足
8、题意,分别为(1,2),(2,1),(2,2).a#0 时,(a,共有3 X 4=1 2(个)实数对,故 a W O 时满足条件的实数对有1 2 3=9(个).所以满足题意的有序数对共有4+9=1 3 (个).2 .集合P=x,1,0=%1,2,其中x,y e 1,2,3,,9 ,且 代 Q 把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是()A.9 B.1 4 C.1 5 D.2 1答 案 B解析 当 x=2 时,x W y,点的个数为1 X 7 =7.当 x W 2 时,由 比。,:.x=y.X 可从3,4,5,6,7,8,9中取,有 7 种方法.因此满足条件的
9、点共有7+7 =1 4(个).3.如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有 个.答 案 1 2解析 当组成的数字有三个1,三个2,三 个 3,三个4 时共有4 种 情 况.当有三个1 时:2 1 1 1,3 1 1 1,41 1 1,1 2 1 1,1 3 1 1,1 41 1,1 1 2 1,1 1 3 1,1 1 41 ,有 9 种,当有三个 2,3,4 时:2 2 2 1,3 3 3 1,4441,有 3种,根据分类加法计数原理可知,共 有 1 2 种结果.思维升华分类标准是运用分类加法计数原理的难
10、点所在,应抓住题目中的关键词,关键元素,关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复.(3)分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏.题型二分步乘法计数原理例 1 (1)如图,小明从街道的处出发,先到厂处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()匚 二I 0 口 晶 品 1 1 ri 匚加息 一II I 口 包A.24 B.18 C.12 D.9答 案 B解析 从 点到厂点的最短路径有6 条,从 b点到G 点的最短路径有3
11、条,所以从后点到G点的最短路径有6*3=18(条),故选B.(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有一种不同的报名方法.答 案 120解析每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6 种选法,第二个项目有5 种选法,第三个项目有4 种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有6 X 5 X 4=120(种).【引申探究】1.本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改 为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法?解 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3 种不同的报名方法,根据分步乘法计
12、数原理,可得不同的报名方法共有3,=729(种).2.本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改 为“每项限报一人,但每人参加的项目不限”,则有多少种不同的报名方法?解 每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有=216(种).思 维 升 华(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.(2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步之间确保连续,逐步完成.跟踪训练1
13、(1)从集合 0,1,2,3,4,5,6 中任取两个互不相等的数a,。组成复数a+历,其中 虚 数 的 个 数 是()A.30 B.42 C.36 D.35答 案 C解析 因为a+历为虚数,所 以 6 W 0,即 6 有 6 种取法,a 有 6 种取法,由分步乘法计数原理知可以组成6 X 6=3 6 个虚数.(2)己知a C 1,2,3,4,5,6,7,则方程(x-a)z+(V-6)2=4可表示不同的圆的个数为()A.7 B.9 C.12 D.16答 案 C解析 得到圆的方程分两步:第一步:确定a 有 3 种选法;第二步:确 定 8 有 4 种选法,由分步乘法计数原理知,共有3X 4=12(个
14、).题型三两个计数原理的综合应用例 2(1)现有5 种不同颜色的染料,要对如图所示的四个不同区域进行涂色,要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色,则不同的涂色方法的种数是()A.120 B.140 C.240 D.260答 案 D解析 由题意,先涂A处共有5 种涂法,再涂6 处有4 种涂法,然后涂。处,若。处与A处所涂颜色相同,则 C 处共有1 种涂法,处有4 种涂法;若。处与4 处所涂颜色不同,到。处 有 3 种涂法,处 有 3 种涂法,由此可得不同的涂色方法有5 X 4 X(1 X 4 +3X 3)=260(种).故 选 D.(2)如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“
15、平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A.6 0 B.4 8 C.3 6 D.2 4答 案 B解 析 一个长方体的面可以和它相对的面上的4 条棱和两条对角线组成6 个“平行线面组”,一共有6 个面,共有6 义6=3 6(个).长方体的每个对角面有2个“平行线面组”,共有6个对角面,一共有6 X 2 =1 2(个).根据分类加法计数原理知:共有3 6 +1 2=4 8(个).(3)用 0,1,2,3,4,5,6 这 7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数.(用数字作答)答 案 4 2 0解析 要完成的“一件事”为“组成无重复数字的
16、四位偶数”,所以千位数字不能为0,个位数字必须是偶数,且组成的四位数中四个数字不重复,因此应先分类,再分步.第 1 类,当千位数字为奇数,即取1,3,5中的任意一个时,个位数字可取0,2,4,6中的任意一个,百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步乘法计数原理,有 3 X 4 X 5 X 4=2 4 0(种)取法.第 2类,当千位数字为偶数,即取2,4,6中的任意一个时,个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字,百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步乘法计数原理,有 3 义3 X 5 X 4=1 8 0
17、(种)取法.根据分类加法计数原理,共可以组成2 4 0+1 8 0=4 2 0(个)无重复数字的四位偶数.思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.跟踪训练2 (1)将数字“1 2 4 4 6 7”重新排列后得到不同的偶数的个数为()A.7 2 B.1 2 0 C.1 9 2 D.2 4 0答 案 D解析 将 数 字“1 2 4 4 6 7”重新排列后所得数字为偶数,则末位数应为偶数.(1)若末位数字为 2,因为含有2个 4,所以有5 X 4 X;X 2
18、X 1=6 0(种)情 况;(2)若末位数字为6,同理有6 0 种情况;(3)若末位数字为4,因为有两个相同数字4,所以共有5 X 4 X 3 X 2 X 1=1 2 0(种)情 况.综 上,共 有 6 0+6 0+1 2 0=2 4 0(种)情况.(2)九章算术中,称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设1 4 是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以4 4 为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.8 B.1 2 C.1 6 D.1 8答 案 C解析根据正六边形的性质,则夕一4 4 即,加洱满足题意,而 G,E,C,D,和。一样,有 2 X 4=8(个)
19、,当A M 为底面矩形时,有 4个满足题意,当4 AE E、为底面矩形时,有 4 个满足题意,故共有8+4+4=1 6(个).课时精练【基础保分练】1.从集合 1,2,3,,1 0 中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为()A.3 B.4 C.6 D.8答 案 D解析 以 1 为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;以 2为首项的等比数列为2,4,8;以 4为首项的等比数列为4,6,9;把这4个数列的顺序颠倒,又得到另外的4个数列,所求的数列共有2 X (2 +1 +1)=8(个).2.将 3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务,不同的分配方案有()
20、A.1 2 种 B.9 种 C.8 种 D.6 种答 案 c解析 每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法,根据分步计数原理可知,不同的分配方案总数为2;=8(种).3.三个人踢毯子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,健子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有()A.4 种 B.6 种 C.1 0 种 D.1 6 种答 案 B解析 分两类:甲第一次踢给乙时,满足条件的有3 种传递方式(如图),丙f乙一甲/甲f乙 乙f甲/甲丙 一 甲同理,甲先传给丙时,满足条件的也有3 种传递方式.由分类加法计数原理可知,共有3+3=6(种)传递方式.4.中国有十二生肖,又叫十二属相,每
21、一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学都选取到喜欢的礼物,则不同的选法有()A.3 0 种 B.5 0 种 C.6 0 种 D.9 0 种答 案 B解析 甲同学选择牛,乙有2 种选择,丙 有 1 0 种选择,选法有1 X 2 X 1 0 =2 0(种);甲同学选择马,乙有3 种选择,丙 有 1 0 种选择,选法有1 X 3 X 1 0 =3 0(种),所以总共有2 0+3 0=5 0(种)选法.5.如图为我国
22、数学家赵爽(约 3世纪初)在 为 周髀算经作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5 种颜色给其中5 个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案共有()A.1 2 0 种 B.2 6 0 种 C.3 4 0 种 D.4 2 0 种答 案 D解 析 由 题 意 可 知 上 下 两 块 区 域 可 以 相 同,也可以不同,则 共 有 5 X 4 X 3 X 1 X 3 +5 X 4 X 3 X 2 X 2 =1 8 0+2 4 0=4 2 0(种).6.若 a l,2,3,4 ,6c 1,2,3,4 ,则尸自x 表示不同直线的条数为()aA.8 B.1 1 C.1 4
23、 D.1 6答 案 B解析 若使也表示不同的实数,则当a1时,b,2,3,4;当a2时,6=1,3;当 a=3 时,ab1,2,4;当 a=4 时,6=1,3.故 y=2 x 表示的不同直线的条数共有4+2+3+2 =1 1.a7 .李明自主创业种植有机蔬菜,并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务,甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次.已知5月 1日李明分别去了这四家超市配送,那么整个5月他不用去配送的天数是()A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 5答 案 B解析 将 5月份的3 0 天依次编号为1,2,3,,3 0,因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每
24、隔2天、3天、5天、6天去配送一次,且 5月 1日李明分别去了这四家超市配送,所以李明去甲超市的天数编号为:1,4,7,1 0,1 3,1 6,1 9,2 2,2 5,2 8,共 1 0 天;李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为:5,9,1 7,2 1,2 9,共 5 天;李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在,共 0天;李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为:8,1 5,共 2天.所以李明需要配送的天数为1 0+5+0+2=1 7,所以整个5月李明不用去配送的天数是3 0-1 7 =1 3.8 .(多选)己知集合4=-1,2,3,4 ,例n G A,则对于方程5+/=1的说法正确
25、的是()A.可表示3 个不同的圆 B.可表示6个不同的椭圆C.可表示3 个不同的双曲线 D.表示焦点位于x 轴上的椭圆有3个答 案 A B D2 2解析 当m=n0时,方程*+匕=1 表示圆,故有3个,选项A正确;当加#力且i n,n0时,m n2 2方程工+匕=1 表示椭圆,焦点在x,y轴上的椭圆分别有3个,故 有 3 X 2=6(个),选项Bm n正确;若椭圆的焦点在x 轴上,则为 0,当加=4时,=2,3;当勿=3时,n=2,即所求2 2的椭圆共有2+1=3(个),选项D 正确;当山水0 时,方程:+=1 表示双曲线,故有3 义1+1 X 3=6 个,选项C错误.9.如图所示,使电路接通
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