2023届高考数学一轮讲义-函数与初等基本函数第6节对数与对数函数.pdf
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1、第6节对数与对数函数考 试 要 求 1.理解对数的概念及运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数2 通过实例,了解对数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点3 了解指数函数=优 与对数函数y=log x(a 0,且aWl)互为反函数.知识诊断基础夯实知识梳理1 .对数的概念如果ax=N(a0,且 a#l),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x=logJV,其中。叫做对数的底数,N 叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质:。%小=log,,=b(a 0,且 a#l).对数的运算性质如果。0 且aWl,
2、M0,N 0,那么 log“(M 7V)=logaM+logJV;log 噂=log“Mlog“N;ogaM=noaM(n G R).ciorh(3)换底公式:1(用 近=:(。0,且 aWl,bQ,c 0,且 cWl).log心3.对数函数及其性质(1)概念:函数y=logax(a0,且aWl)叫做对数函数,其中x 是自变量,定义域是(0,+).(2)对数函数的图象与性质a0a 时,y0;当 0 4 V l 时,yl 时,y 0;当 0%0在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数指数函数y=aa0,且a*1)与对数函数y=l o g(a 0,且a W l)互为反函数,它们的图象关于直
3、线正工对称.它们的定义域和值域正好互换.常用结论1.换底公式的两个重要结论(l)l o gM=j(a0,且 a W l;力 0,且 S W 1).f l(2)l o gynZ n=_l o gf t(a 0,且 a W l;bQ;m,R,且 m W O).2.对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的横坐 标为相应的底数.;尸故 0 VcVdV 1 al 时,若 1 0 ga X 1 0 gf eX,则。0,且a W l)为对数函数,故(2)错误.(4)若 0 8 l 1 时,1 0 ga X 1 0 gC,故(4)错误.2.1 o g29 X l o g3
4、4+2 1 o g51 0+l o g5 0.2 5=()A.O B.2 C.4 D.6答 案D解析 原式=2 1 0 g2 3 X (2 1 o g32)+l o g5(l O2 X 0.2 5)=4+l o g52 5=4+2=6.3.(2 0 2 0全国 I 卷)设 a l o g3 4=2,则 4 7=()A1 6 B-9 C-8 D6答 案B解析 法一 因为H o g3 4=2,所以l o g3 4=2,则4 =3?=9,所以4 =*=上.2法二 因为 alo g34=2,所以。=正 疏=21 o g4 3=lo g4 32=lo g4 9,所以 4-。=4一 地4 9-1 1=4l
5、o g49=9一|=a4 .(20 21新高考H卷)已知a=lo gs 2,b=lo gs 3,c =g,则下列判断正确的是()A.cba B.hacC.acb D.ahc答 案C解析 a=lo g52 lo g5小=g=k)g826 lo g83=Z?,即 ac0,且aW l)的 图 象 恒 过 的 定 点 是.答 案(2,2)解 析 当x=2时,函数y=lo g“(xl)+2(a0,且aW l)的值为2,所以图象恒过定点(2,2).6.(易错题)已知函数火x)=lo g“(2x-a)在区间|,上恒有1x)0,则实数。的取值范围是.答 案&1)al,解 析 由题意得 22义1 tz 1,0
6、a l,或 30 2 X -a l解得3 a 1,因为r+;=|,所以 t=2,则=.又 ab=ba,2所 以 网=或,即2。=,又 abl,解得=2,4=4.4.(多选)(20 22北京石景山区调研)在通信技术领域中,香农公式C=W lo g20 +2计算:lo g64 =-答 案1解 析 原式=1 21 o g63+(lo g63)2+lo g61-lo g6(6X 3)lo g641 21 o g63+(lo g63)2+1 一(lo g63)2lo g642(1 lo g63)lo g66 lo g63 lo g62b=.是被广泛公认的通信理论基础和研究依据,它表示:在受高斯白噪声干扰
7、的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中方叫作信噪比.根据香农公式,以下说法正确的是(参考数据:1g 5心0.699 0)()qA.若 不 改 变 信 噪 比,而 将 信 道 带 宽W增加一倍,则C增加一倍B.若不改变信道带宽卬和信道内所传信号的平均功率S,而将信道内部的高斯噪声功率N降低为原来的一半,则C增加一倍C.若不改变信道带宽W,而将信噪比卡从255提 升 至1 0 2 3,则。增加了 25%qD.若不改变信道带宽W,而将信噪比另从999提 升 至4 9 9 9,则C大约增加了23.3%答 案ACD解 析A正确;对于
8、B,因为Wlog2(l+葡WWlogl+帚+(=2Wlog2(l+,所以 B 错误;对于C,若 将 信 噪 比 瓢255提升至1 0 2 3,则甯 黑黑 T=鬻 等 T/V W10g2(1 十 253)10g2Z=1=;,所 以C增加了 25%,所 以C正确;O 4对于D,若 将 信 噪 喘 从999提升至4 9 9 9,则需节翳一匚器畿一1=胃 畿 一 1=*1=野 心0 2 3 3,所以D正确感 悟 提 升1.在对数运算中,先利用赛的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幕的形式,使赛的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算
9、法则,转化为同底对数真数的积、商、赛再运算.3.a=N=8=log“N(a0,且aW 1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.考点二 对数函数的图象及应用_例 1 (1)(多选)(2021重庆一模)a,h,cW R,且 b 0,若 e=lnb=:,则小 b,c的大小关系可以是()A.abcB.bcaC.cabD.acb答 案 ACD解析 设 e=ln b=m,如图,在同一坐标系中画出函数y=e y=lnx,y=:的图象,当直线y=m 与三者都相交时,交点的横坐标即为a,b,c 的值,由图知,当机从大到小时,依次出现caV b、ac0,(2)已知函数段)=1时,直线y=尤+a
10、 与y=/(x)只有一个交 1t点.(3)已知函数式x)=|log2x|,实数a,b 满足O V aV b,且/(4)=/(份,若兀r)在 4,句上的最大值为2,则:+8=.答 案 4解析 Vy(X)=|log2X|,二段)的图象如图所示,又 Xa)=Ab)且 OVaV仇/.0 a 且 必=1,:.a2 a,由图知,/(X)m a x =大屋)=|l o g 2 a r=-2 1 0 g 2 a =2,.a=,:.b=2,.-+b=4.2 a感 悟 提 升 1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型
11、方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.训 练 1 (1)图中曲线是对数函数y=l o g d 的图象,已 知 a 取 小,y5,而四个值,则对应于G,C2,C 3,C 4 的。值 依 次 为()A.S,I,志二 3 1c3,W,5,7 5B、行 4 JL 33 1 0 5n4 r-L 3口3 Y 1 0 5答 案 A解析 作直线y=1,由l o g“x=1 得 x=a,r-4 3 1则对应C,Q,C3,C 4 的 a值依次为小,3,5,记.(2)当x W(l,2)时,不等式。-1)2 1 0 8 小恒成立,则。的 取 值 范 围 是()A.(0,1)B.(L 2)C.
12、(l,2 D.(0,习答 案 C解 析 设/(X)=(X -1 y,及(X)=l o g”,要使当w(l,2)时,不等式(x l)2 bc B.bcaC.acb D.cba答 案A解析 =l+l o g43,Z?=l+l o g53,c=l+l o g63,Io g43 l o g53 l o g63,.abc.(2)(2021 天津卷)设 Q=l o g2 0.3,=l o g 0.4,c=0.40 3,则 m b,c 的大小关系为2()A.abc B.cabC.bca D.acb答 案D解析 Io g20.3 l o g21=0,/.6Z l o g22=1,.,./?1.2,.,0 0.
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