离散数学题库及复习资料.docx
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1、离散数学题库与答案离散数学题库与答案一、选择或填空一、选择或填空(数理逻辑部分)(数理逻辑部分)1、下列哪些公式为永真蕴含式?(A)PQ)=(PPQ=PQ(3)P=PQ(4)Q=QP(2)(1)答:在第三章里面有公式(1)是附加律,(4)可以由第二章的蕴含等值式求出(注意与吸收律区别)2、下列公式中哪些是永真式?()Q)PR)(2)P(QQ)(3)(PQ)(Q(1)(PQ)(4)P(P答:(2),(3),(4)可用蕴含等值式证明3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?()QQ=PQ=P(3)PQ(2)P(1)P=PPQ)=(PP(PQ)=P(6)(PQ)=Q(5)(4)P答:(2)是第三章的
2、化简律,(3)类似附加律,(4)是假言推理,(3),(5),(6)都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式x(A(x)B(y,x)z C(y,z)D(x)中,自由变元是(),约束变元是()。答:x,y,x,z(考察定义在公式x A 和x A 中,称x 为指导变元,A为量词的辖域。在x A 和x A 的辖域中,x 的所有出现都称为约束出现,即称 x 为约束变元,A 中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是 A(x)、B(y,x)和z C(y,z)中 y 为自由变元,x 和 z 为约束变元,在 D(x)中 x 为自由变元)5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。()(1)北京是
3、中华人民共和国的首都。(2)陕西师大是一座工厂。(3)你喜欢唱歌吗?(4)若 7+818,则三角形有 4 条边。(5)前进!(6)给我一杯水吧!答:(1)是,T(2)是,F(3)不是(4)是,T(5)不是(6)不是(命题必须满足是陈述句,不能是疑问句或者祈使句。)6、命题“存在一些人是大学生”的否定是(),而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。答:所有人都不是大学生,有些人不会死(命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在,换成”,然后将命题的结论否定,“且变或 或变且”)7、设 P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为()。(1)只有在生病时,我才不去学校(2)若我生病,则我不去学
4、校(3)当且仅当我生病时,我才不去学校(4)若我不生病,则我一定去学校(注意“只有才”和“除非就”两者PQ 答:(1)QP(4)QP(3)QP都是一个形式的)(2)8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是()。(1)xy(x+y=0)(2)yx(x+y=0)答:(1)对任一整数 x 存在整数 y 满足 x+y=0(2)存在整数 y 对任一整数 x 满足 x+y=09 9、设全体域 D 是正整数集合,确定下列命题的真值:(1)xy(xy=y)()(2)xy(x+y=y)()(3)xy(x+y=x)()(4)xy(y=2x)()答:(1)F(反证法:假若存在,则(x-1)*y=0 对所有的 x 都
5、成立,显然这个与前提条件相矛盾)(2)F(同理)(3)F(同理)(4)T(对任一整数 x 存在整数 y 满足条件 y=2x 很明显是正确的)10、设谓词 P(x):x 是奇数,Q(x):x 是偶数,谓词公式x(P(x)Q(x)在哪个个体域中为真?()(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)-(3)均成立答:(1)(在某个体域中满足不是奇数就是偶数,在整数域中才满足条件,而自然数子整数的子集,当然满足条件了)11、命题“2 是偶数或-3 是负数”的否定是()。答:2 不是偶数且-3 不是负数。12、永真式的否定是()(1)永真式(2)永假式(3)可满足式(4)(1)-(3)均有可能答:(2)
6、(这个记住就行了)EMBED Equation.3Q)化简为(),公式P(Q)P13、公式(Q)可化简为()。(P(PQP(考查分配率和蕴含等值式知识的掌握)P,Q答:Q(x)中 量 词 x 的 辖 域 是14、谓 词 公 式 x(P(x)yR(y)()。答:P(x)yR(y)(一对括号就是一个辖域)15、令 R(x):x 是实数,Q(x):x 是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为()。Q(x)x(R(x)答:(集合论部分)(集合论部分)16、设 A=a,a,下列命题错误的是()。P(A)(4)P(A)(3)aP(A)(2)a(1)aP(A)a答:(2)(a是 P(A)的一
7、个元素)之间写上正确的符号。17、在 0()(4)(3)(1)=(2)答:(4)(空集没有任何元素,且是任何集合的子集)18、若集合 S 的基数|S|=5,则 S 的幂集的基数|P(S)|=()。答:32(2 的 5 次方 考查幂集的定义,即幂集是集合 S 的全体子集构成的集合)+16 且2xR,Q=x|5EMBED Equation.34 且 x219、设 P=x|(x+1)R,则下列命题哪个正确()xQ(4)P=QP(3)PP(2)Q(1)Q答:(3)(Q 是集合 R,P 只是 R 中的一部分,所以 P 是 Q 的真子集)20、下列各集合中,哪几个分别相等()。(1)A1=a,b(2)A2
8、=b,a(3)A3=a,b,a(4)A4=a,b,c(5)A5=x|(x-a)(x-b)(x-c)=0(6)A6=x|x2-(a+b)x+ab=0答:A1=A2=A3=A6,A4=A5(集合具有无序性、确定性和互异性)21、若 A-B=,则下列哪个结论不可能正确?()AB(4)B(1)A=(2)B=(3)A答:(4)(差集的定义)22、判断下列命题哪个为真?()(1)A-B=B-A=A=B(2)空集是任何集合的真子集(3)空集只是非空集合的子集(4)若 A 的一个元素属于 B,则 A=B答:(1)(考查空集和差集的相关知识)23、判断下列命题哪几个为正确?(),(3)(1),(2)(5)a,b
9、a,b,a,b(4)答:(2),(4)24、判断下列命题哪几个正确?()A(4)若 A 为非空集,则 A(1)所有空集都不相等(2)成立。答:(2)C,则 B()C。AB=AAB=AC,25、设答:=(等于)26、判断下列命题哪几个正确?()(1)若 ABAC,则 BC(2)a,b=b,aP(A)P(B)(P(S)表示 S 的幂集)(3)P(AB)AA 成立。(4)若 A 为非空集,则 A答:(2)27、,是三个集合,则下列哪几个推理正确:C=AB(3)AB,B,BC(2)AC=AB,B(1)ABC=AC答:(1)(3)的反例 C 为0,1,0 B 为0,1,A 为 1 很明显结论不对)(二元
10、关系部分)(二元关系部分)28、设1,2,3,4,5,6,B=1,2,3,从到 B 的关系 x,y|x=y2求(1)R(2)R-1=,(考查二元关系的定1答:(1)R=,(2)R=|R)1为 R 的逆关系,即 R1义,R29、举出集合 A 上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。()答:A 上的恒等关系30、集合 A 上的等价关系的三个性质是什么?()答:自反性、对称性和传递性31、集合 A 上的偏序关系的三个性质是什么?()答:自反性、反对称性和传递性(题 29,30,31 全是考查定义)32、设 S=,,上的关系 1,2,2,1,2,3,3,4 R(2)R-1。求(1)RGR=1,1,1,
11、3,2,2,2,4 (考 查 F 答:R=|t(FG))R-1=2,1,1,2,3,2,4,3 33、设1,2,3,4,5,6,是 A 上的整除关系,求 R=()R=,34、设1,2,3,4,5,6,B=1,2,3,从到 B 的关系 x,y|x=2y,求(1)R(2)R-1。=,(361答:(1)R=,(2)R35、设1,2,3,4,5,6,B=1,2,3,从到 B 的关系 x,y|x=y2,求 R 和 R-1的关系矩阵。000000010000000001的关系矩阵=1R000000001000000001答:R 的关系矩阵=A,则 R36、集合 A=1,2,10上的关系 R=|x+y=10
12、,x,y的性质为()。(1)自反的(2)对称的(3)传递的,对称的(4)传递的答:(2)(考查自反 对称 传递的定义)(代数系统部分)(代数系统部分)37、设 A=2,4,6,A 上的二元运算*定义为:a*b=maxa,b,则在独异点中,单位元是(),零元是()。答:2,6(单位元和零元的定义,单位元:e。x=x零元:。x=)38、设 A=3,6,9,A 上的二元运算*定义为:a*b=mina,b,则在独异点中,单位元是(),零元是();答:9,3(半群与群部分)(半群与群部分)39、设G,*是一个群,则x=b,则 x=();(1)若 a,b,xG,ab,则 x=()。x=a(2)若 a,b,
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