胡寿松版完整答案自动控制原理第五版课后习题答案.docx
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1、2-1 设质量-弹簧-摩擦系统如图 2-1 所示,途中f为黏性摩擦系数,k为弹簧系数,系统的输入量为力()p t,系统的输出量为质量m的位移()x t。试列出系统的输入输出微分方程。解:显然,系统的摩擦力为dttdxf)(,弹簧力为)(tkx,根据牛顿第二运动定律有22)()()()(dttxdmtkxdttdxftp移项整理,得系统的微分方程为)()()()(22tptkxdttdxfdttxdm2-2 试列写图 2-2 所示机械系统的运动微分方程。解:由牛顿第二运动定律,不计重力时,得2112211112()()d ydyky ty tMk yfFdtdt整理得图 2-1 习题 2-1 质
2、量弹簧摩图 2-2 习题 2-2 机械2111121222()()()d ydyMfkky tFk y tdtdt2-3 求下列函数的拉氏变换。(1))sin1(3)(ttf(2)attetf)((3))43cos()(ttf解:(1)()3(1 sin)L f tLt2223(1sin)113()13(1)(1)LLtsssss s(2)attetf)(21 L ts21()()atL f tL tesa(3)2()cos(3)sin(3)cos(3)42f tttt2()sin(3)cos(3)2L f ttt2222(sin(3)cos(3)223()2992329LtLtsssss2-
3、4 求下列函数的拉氏反变换(1))5)(2(1)(ssssF(2))3(6)(2ssssF(3))1(152)(22sssssF解:(1)112()(2)(5)25sF sssss1112()25LF sLss1125122252ttLLssee (2)226211()(3)3sF ssssss112211()3LF sLsss111231112 321tLLLssste(3)22225115()(1)1sssF ss sss11215()1sLF sLss11215 11 cos5sinsLLsstt 2-5 试分别列写图 2-3 中各无源网络的微分方程(设电容C上的电压为)(tuc,电容1
4、C上的电压为)(1tuc,以此类推)。EMBEDVisio.Drawing.11图 2-3 习题 2-5 无源网络示意图解:(a)设电容C上电压为)(tuc,由基尔霍夫定律可写出回路方程为21)()()()()()(RtuRtudttduCtututuoccoic整理得输入输出关系的微分方程为121)()()()11()(RtudttduCtuRRdttduCiioo(b)设电容1C、2C上电压为)(),(21tutucc,由基尔霍夫定律可写出回路方程为dttduRCtutudttduCRtutuRtututututuccoccocioic)()()()()()()()()()()(11222
5、221整理得输入输出关系的微分方程为RtudttduCdttudCRCRtudttduCCdttudCRCiiiooo)()(2)()()()2()(12221212221(c)设电阻2R上电压为2()Rut,两电容上电压为)(),(21tutucc,由基尔霍夫定律可写出回路方程为)()()(21tututuRic(1))()()(22tututuRoc(2)2221)()()(RtudttduCdttduCRcc(3)dttduCRtutucoi)()()(21(4)(2)代入(4)并整理得CRtutudttdudttduoioR12)()()()((5)(1)、(2)代入(3)并整理得22
6、2)()(2)()(RtudttduCdttduCdttduCRRoi两端取微分,并将(5)代入,整理得输入输出关系的微分方程为CRtudttduCRdttudCRCRtudttduCRdttudCRiiiooo1122211222)()(1)()()()11()(2-6 求图 2-4 中各无源网络的传递函数。图 2-4 习题 2-6 示意图解:(a)由图得21)()()(RsURsUsCsUoCC(1))()()(sUsUsUoiC(2)(2)代入(1),整理得传递函数为2121221211111)()(RRCsRRRCsRRRRCsRCssUsUio(b)由图得)()()(1sUsUsUo
7、iC(1))()()()()(2222ssUCRsUsURsUsUCCoCi(2))()()(211sUsUssURCCoC整理得传递函数为1)2(122121)()(2122121221222121CCRssCCRsRCsCCRsRCsRCsRCsRCsRCsUsUio(c)由图得)()()(21sUsUsURiC(1))()()(22sUsUsURoC(2)2221)()()(RsUsCsUsCsURCC(3))()()(21sCsURsUsUCoi(4)整理得传递函数为1)2(1121)()(2122211222121212CsRRsCRRCsRsCRRCsRRRRCsRCssUsUio
8、2-7 求图 2-5 中无源网络的传递函数。解:由图得12212()()1()()U sUsCsUsRRLs整理得2122111212121()11()()UsRRLsU sRCLsR R CL sRRCsRRLs图 2-5 习题 2-7 无源2-8 试简化图 2-6 中所示系统结构图,并求传递函数)(/)(sRsC和)(/)(sNsC。解:(a)求传递函数)(/)(sRsC,按下列步骤简化结构图:1令0)(sN,利用反馈运算简化如图 2-8a 所示串联等效如图 2-8b 所示根据反馈运算可得传递函数3212211213222111222111)1)(1(11111)()(HGGHGHGGGH
9、HGGHGGHGGHGGsRsC32122112211211HGGHGHGHGHGGG求传递函数)(/)(sNsC,按下列步骤简化结构图:令0)(sR,重画系统结构图如图 2-8c 所示2将3H输出端的端子前移,并将反馈运算合并如图 2-8d 所示图 2-6 习题 2-8 系统结构图示意图 2-8a图 2-8b图 2-8c1G和1H串联合并,并将单位比较点前移如图 2-8e 所示串并联合并如图 2-8f 所示根据反馈和串联运算,得传递函数13221212212111111)11()()(HHHGHGGHGHGGHGsNsC32122121111111HGGHGHGGHGHG3212212121
10、HGGHGHGGG(b)求传递函数)(/)(sRsC,按下列步骤简化结构图:将2H的引出端前移如图 2-8g 所示合并反馈、串联如图 2-8h 所示3将1H的引出端前移如图 2-8i 所示4合并反馈及串联如图 2-8j 所示根据反馈运算得传递函数图 2-9d图 2-8e图 2-8f图 2-8g图 2-8h图 2-8i图 2-8j13233332232133223211111)()(HGGHGHGHGGGGHGHGGGGsRsC3311332213211HGHGHGHGHGGGG2-9 试简化图 2-7 中所示系统结构图,并求传递函数)(/)(sRsC。解:求传递函数)(/)(sRsC,按下列步
11、骤简化结构图:1将1H的引出端前移如图 2-9a 所示2合并反馈及串联如图 2-9b 所示3合并反馈、串联如图 2-9c 所示根据反馈运算,得传递函数3432124313243213243132432124313243211111)()(HGGGGHGGHGGGGGGHHGGHGGGGGGHGGHGGGGGGsRsC2-10 根据图 2-6 给出的系统结构图,画出该系统的信号流图,图 2-7 习题 2-9 系统结构图示图 2-9a图 2-9b图 2-9c并用梅森公式求系统传递函数)(/)(sRsC和)(/)(sNsC。解:(a)根据结构图及信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信
12、号,用标有传递函数的之路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。如图 2-10a 所示。(1)令0)(sN,求系统传递函数)(/)(sRsC由信号流图 2-10a 可见,从源节点)(sR到阱节点)(sC之间,有一条前向通路,其增益为211GGp 有三个相互接触的单独回路,其回路增益分别为111HGL,222HGL,3213HGGL1L及2L互不接触221112HGHGL流图特征式21213212211123211)(1HHGGHGGHGHGLLLL由于前向通路及所有单独回路都接触,所以余因子式11根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为2121321221121111)()(HHGGHG
13、GHGHGGGpsRsC(2)令0)(sR,求系统传递函数)(/)(sNsC?由信号流图 2-10a 可见,从源节点)(sN到阱节点)(sC之间,有两条前向通路,其增益为21Gp,1212HGGp有两个相互接触的单独回路,其回路增益分别为221HGL,3212HGGL没有互不接触的回路,所以流图特征式为32122211)(1HGGHGLL由于前向通路及所有单独回路都接触,所以余因子式11,12根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为3212212122111)()(HGGHGHGGGpsRsCiii(b)根据结构图及信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数的之路代
14、替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。如图 2-10b 所示。求系统传递函数)(/)(sRsC由信号流图 2-10b 可见,从源节点)(sR到阱节点)(sC之间,有一条前向通路,其增益为3211GGGp 有三个相互接触的单独回路,其回路增益分别为111HGL,222HGL,333HGL1L及3L互不接触313113HHGGL流图特征式为图 2-10b3131332211133211)(1HHGGHGHGHGLLLL由于前向通路及所有单独回路都接触,所以余因子式11根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为3131332211321111)()(HHGGHGHGHGGGGpsRsC2-11
15、根据图 2-7 给出的系统结构图,画出该系统的信号流图,并用梅森公式求系统传递函数)(/)(sRsC。解:根据结构图及信号流图的对应关系,用节点代替结构图中信号线上传递的信号,用标有传递函数的之路代替结构图中的方框,可以绘出系统对应的信号流图。如图 2-11a 所示由信号流图 2-11a 可见,从源节点)(sR到阱节点)(sC之间,有一条前向通路,其增益为43211GGGGp 有三个相互接触的单独回路,其回路增益分别为1321HGGL,2432HGGL,343213HGGGGL没有互不接触回路。因此,流图特征式343212431323211)(1HGGGGHGGHGGLLL由于前向通路及所有单
16、独回路都接触,所以余因子式11根据梅森增益公式,得系统闭环传递函数为EMBEDEquation.3图 2-11a343212431324321111)()(HGGGGHGGHGGGGGGpsRsC3-2 已知各系统得脉冲响应,试求系统的闭环传递函数:(1)1.25()0.0125tk te;(2)()510sin(445)k ttt;(3)3()0.1(1)tk te。解:(1)0.0125()()1.25sL k ts(2)10()()5(sin4cos4)2sL k tL ttt22222545 2()44ssss3222214 25(1)1616(1)16ssss(3)111()()0.
17、1110(31)3sL k tssss3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为1.2()10 12.5sin(1.653.1)th tet,试求系统的超调量%,峰值时间pt和调节时间st。解:1.2()10 12.5sin(1.653.1)th tet1.2101 1.25sin(1.653.1)tet由上式可知,此二阶系统的放大系数是 10,但放大系数并不影响系统的动态性能指标。由 于 标 准 的 二 阶 系 统 单 位 阶 跃 响 应 表 达 式 为221()1sin(1)1ntnh tet 所以有221.2111.2511.6nn解上述方程组,得0.62n所以,此系统为欠阻尼二阶系统,其动态
18、性能指标如下超调量210.6 1.25%100%100%9.5%ee峰值时间21.962 0.81pnts调节时间3.53.52.922 0.6snt3-4 设单位负反馈系统的开环传递函数为0.41()(0.6)sG ss s,试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。解题过程:由题意可得系统得闭环传递函数为2222()0.41()1()12ndnnG sssasG sssa ss 其中2,1,0.5,2.52nndazz。这是一个比例微分控制二阶系统。比例微分控制二阶系统的单位阶跃响应为2()1sin(1)dntndh tret 故显然有2222231dnndzrz 2211arctan()arc
19、tan1.686ndddndz 21arctan1.0473ddd此系统得动态性能指标为峰值时间23.1551dpndt超调量212%116.2%d pntdre调节时间222113ln(2)lnln(1)225.134nnndsdnzzt 3-5 已知控制系统的单位阶跃响应为6010()1 0.21.2tth tee,试确定系统的阻尼比和自然频率n。解:系统的单位脉冲响应为60101060()()121212()ttttk th teeee 系统的闭环传递函数为211600()()12()106010600sL k tssss自然频率60024.5n阻尼比701.42926003-6 已知系
20、统特征方程为432310520ssss,试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。解:先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性,列出劳斯表如下43210 3 5 2 10 147 2 10153 47 2sssss显然,由于表中第一列元素得符号有两次改变,所以该系统在s右半平面有两个闭环极点。因此,该系统不稳定。再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然,特征方程的各项系数均为正,则2120310 53 1470a aa a 2214231022001a aa 显然,此系统不稳定。3-7设 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为2()(2)(4)(625)KG sss
21、ss,试应用劳斯稳定判据确定义为多大值时,特使系统振荡,并求出振荡频率。解:由题得,特征方程是43212691982000ssssK列劳斯表43210 1 69 200+K 12 198 52.5 200+K 7995-12K 200+K sssss由题意,令1s所在行为零得666.25K 由2s行得252.5200666.250s 解之得4.062si,所以振荡角频率为4.062/rad s3-8已 知 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为2(0.51)()(1)(0.51)KsG ss sss,试确定系统稳定时的K值范围。解:由题可知系统的特征方程为432()34(2
22、)20D ssssK sK列劳斯表如下43210 1 4 3 2+K10-K 2K 3(10-K)(2+K)63 10-K3 2K sssKss由劳斯稳定判据可得1003(10)(2)/360(10)/320KKKKKK解上述方程组可得01.705K3-9 系 统 结 构 如 图 3-1 所 示,)1()(TssKsG,定 义 误 差)()()(tctrte,(1)若希望图 a 中,系统所有的特征根位于s平面上2s的左侧,且阻尼比为 0.5,求满足条件的TK,的取值范围。(2)求图 a 系统的单位斜坡输入下的稳态误差。(3)为了使稳态误差为零,让斜坡输入先通过一个比例微分环节,如图 b 所示,
23、试求出合适的0K值。解:(1)闭环传递函数为TKsTsTKKsTsKs1/)(22即TKTTTKnnn1,15.0,12,2,)(2ssKsTssD令,代入上式得,02/14)14(2)2()(22TTsTTsKssTsD列出劳斯表,210 T 4T+12 1-4T 4T+12 sTssT4/1002/14,041,0TTTTT无解或02/14,041,0TTTTKT4,4/10(2)ttR)(,系统为 I 型系统 Kess/1(a)(3)KsTsKsKKKTssKsKsG200)1()1()()(1)1(1)(1)()()()(202022KsTssKKTsKsTssKKTsssGsRsCs
24、RsEKKKKKKsTsKKTsssEessss/1011lim)(lim002000令0K并没有改变系统的稳定性。3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数:(1)100()(0.11)(5)G sss;(2)50()(0.11)(5)G ssss试求输入分别为()2r tt和2()22r ttt时,系统的稳态误差。解:(1)10020()(0.11)(5)(0.11)(0.21)G sssss由上式可知,该系统是0型系统,且20K。0型 系统 在211(),2t tt信 号作 用 下的 稳 态 误差 分 别为:1,1K。根据线性叠加原理有该系统在输入为()2r tt时的稳态误差为22sse
25、,该系统在输入为2()22r ttt时的稳态误差为21221sseK (2)5010()(0.11)(5)(0.11)(0.21)G sssssss由上式可知,该系统是型系统,且10K。型系统在211(),2t tt信号作用下的稳态误差分别为:10,K。根据线性叠加原理有该系统在输入为()2r tt时的稳态误差为2120.2sseK,该系统在输入为2()22r ttt时的稳态误差为21202sseK 3-11 已知闭环传递函数的一般形式为01110111)()(1)()(asasasbsbsbsbsHsGsGsnnnmmmm误差定义为)()()(tctrte。试证,(1)系统在阶跃信号输入下,
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