新高考数学一轮复习讲义:解析几何.pdf
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1、新高考数学一轮复习讲义:解析几何 8.1 直线的方程【考试要求】1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).【知识梳理】1.直线的倾斜角(1)定义:当直线1 与 X轴相交时,我们以X轴作为基准,X轴正向与直线,向上的方向之间所成的角a 叫做直线1的倾斜角.(2)范围:直线的倾斜角a的取值范围为0 Wa0不存在A -2C.苗或 AW-2D.答 案 D解析 直 线 八 y=4(x 2)+1
2、经过定点户(2,1),*k?A=3-12,kpB-1-1-2-21-2又直线/:尸女(工一2)+1 与 线 段 相 交,【引申探究】本例(2)直 线,改 为/=h,若/与 线段四相交,则 衣 的 取 值 范 围 是.答 案(一8,1 U3,+8)解析 直线/过定点(0,0),的=3,km=;,3 或思 维 升 华(1)斜率的两种求法:定义法、斜率公式法.(2)倾斜角和斜率范围求法:图形观察(数形结合);充分利用函数4=ta n a的单调性.跟踪训练1(1)若图中直线4,h,入的斜率分别为,左,左,则()A.kKkKka B.ks kKkzC.kq kk D.kkkz答 案 D解析 因为直线h,
3、A的倾斜角为锐角,且 直 线 4的倾斜角大于直线4的倾斜角,所以0k30n kO.于是l-2 A 0I 勿I (12A)=g(4_4%)g 4+2 (一力 -k -4.当且仅当T=-4 L 即 A=g 时,/仍面积有最小值为4,此时,直 线,的方程为yl=一:(才 2),即 方法二 设所求直线/的方程为-X+V=l(a 0,母0),a b9 1则一+工=1a b2 1 l2 1 2 1 1 1又 一+7 2 2、/-7=铲 心 4,当且仅当一=7=7?即 a=4,方=2 时,力/面 积 S=j/有a b j ab 2 a b 2 2最小值为4.此时,直线/的方程是:+=L【引申探究】本例中,当
4、|物I 1/监I取得最小值时,求直线/的方程.(2k 解 方法一 由本例知/(二一,0J,8(0,12公(旅0).:.MA MB=+1 -V 4+4?=2 p=2 k +,4.当且仅当一么=一;,即 4=一1 时取等号.k此时直线1 的方程为x+y3=0.2 1方法二 由本例知力(a,0),B(0,m,a0,60,-+7=1.a b:.MA|监|=|砺|.血=一 砺 初=一(a2,-1)(-2,61)=2(a-2)+6-l=2 a+Z?-5=(2 a+6)+5=2 +翡 4,当且仅当a=6=3 时取等号,此时直线1 的方程为x+y 3=0.思 维 升 华(1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方
5、程的结构特征,对照得到定点坐标.(2)求解与直线方程有关的面积问题,应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度,进而求得多边形面积.(3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.跟踪训练2 已知直线2 弱一y+l+2A=0(%GR).(1)证明:直线/过定点;(2)若直线不经过第四象限,求发的取值范围;(3)若 直 线/交 x 轴负半轴于4交 y 轴 正 半 轴 于 瓦 如 的 面 积 为 S(。为坐标原点),求S 的最小值并求此时直线1的方程.(1)证明 直线/的方程可化为(x+2)+(l力=0,令.x+2 O,1-7=0,解得X 2,尸L.
6、无论在取何值,直线/总经过定点(-2,1).I J-2A-(2)解 由方程知,当 AW0时直线在x 轴上的截距为一 ,在 y 轴上的截距为1+2%,Kf _ l+2A _2要使直线不经过第四象限,则必须有J k11+2 杉 1,解得k 0;当 4=0 时,直线为y=l,符合题意,故左的取值范围是 0,+8).(3)解 由题意可知衣#0,再由/的方程,/口 (1+24 八,、得 4 6(,1+2 h(1+2 J -7|1+2用=5-;-4A+-7+4 -X (2X2+Z Z K Z K Z K J Z4)=4,“=”成立的条件是k Q且4 k q 即 k g,;.%“=4,此时直线1的方程为x-
7、2 y+4=0.课时精练【基础保分练】1 .倾 斜 角 为 1 2 0。且在y 轴上的截距为一2的直线方程为()A.y=y ix+2 B.y=2C.尸 小 x+2 1).y=/x2答 案 B解析 斜率为t an 1 2 0 =一 小,利用斜截式直接写出方程,即 y=-/x2.2 .若平面内三点4(1,a),6(2,a2),C(3,3)共线,则 a 等于()A.1 土 隹 或 0 B.2心或 0C 岑 D.20答 案 Ao2-|-o o3-|-o解 析 由 题 意 知 4 0=服 即,2 1 3 1即 a(#一2 a 1)=0,解得 a=0 或 a=1 土铺.3 .若过点P(l-&1 +a 和
8、0(3,2 a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a 的取值范围是()A.(2,1)B.(1,2)C.(-8,0)D.(-8,-2)U (1,+8)答 案 A解 析 由 题 意 知 等 0,即 会 0,解得一2 a 0,c 0 B.a 0,c 0C.a 0 D.a0,c 0,在 y 轴上的截距c 0.5.直线2 x c os a _73 =of a E/,的倾斜角的取值范围是()JT JI&9 TB.JI4JT JT Jl 冗2 冗-C.R,y j 叫 彳,答 案 B解析 直线2 x c os。-y 3 =0的斜率A=2 c os a,因 为 a S,所以g c os a因此 A=2 c o s小.
9、设 直 线 的 倾 斜 角 为 则 有t a n。仁1,镉.P n n -又 夕e 0,J I),所以 丁,,4 J即倾斜角的取值范围是 十,T-6.(多选)在下列四个命题中,错误的有()A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线倾斜角的取值范围是 0,几)C.若一条直线的斜率为t an a,则此直线的倾斜角为aD.若一条直线的倾斜角为明则此直线的斜率为t an a答 案A C D解 析 对 于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为9 0 ,斜率不存在,A错误;对于B,直线倾斜角的取值范围是 0,n),,B正确;对于C,一条直线的斜率为t an a,此直线的倾斜角不一定为a,;.C错
10、误;对于D,一条直线的倾斜角为。时,它的斜率为t a n。或不存在,D错误.故选A C D.7.(多选)若直线过点J(l,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线1的方程为()A.x-y+l=0 B.x+y-3 =0C.2%y=0 D.x y10答 案A B C9 0解析 当直线经过原点时,斜率为4=2,所求的直线方程为y=2 x,即2 x一 尸0;当直线不过原点时,设所求的直线方程为x土 尸h把点展1,2)代入可得1-2 =卜 或1 +2=k,求得在=-1,或4=3,故所求的直线方程为x y+1 =0,或x+y 3 =0.综上知,所求的直线方程为2%y=0,X y+l=0,或 x+p 3
11、=0.8.(多选)垂直于直线3 x 4 y 7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在彳轴上的截距是()A.4B.-4C.3D.-3答 案C D解析 设直线方程是4 x+3 y+=0,分别令k0和 尸0,得直线在两坐标轴上的截距分别是一景所以6=/X 9 X (=.所以=1 2,则直线在x 轴上的截距为3 或一3.9.直线/过(一1,-1),(2,5)两点,点(1 0 1 1,6)在 上,则 6 的值为.答案 2 0 2 3解 析 直 线/的 方 程 为 y-1 x-1,1 Z 1即 小=中,即 y=2 x+i.O 5令 x=l O i l,得 y=2 0 2 3,Ab=2 0 2 3
12、.1 0.设直线,的方程为2 x+a-3)y-2 X+6 =0(2 3),若直线1的斜率为-1,则k=_;若 直 线/在 x 轴、y 轴上的截距之和等于0,则k=.答 案 5 12 9解析 因为直线1的斜率存在,所以直线1的方程可化为y=-K-x 3+2f由题意得一厂Kf 3=1,解得Q5.直线,的 方 程 可 化 为 六+尹 1,由题意得 3+2=。,解得Q 1.1 1.已知三角形的三个顶点/(一5,0),8(3,-3),以0,2),则 8c 边上中线所在的直线方程为.答案 x+1 3 y+5=0解析形的中点坐标为I?-9y.8C Q V-I 5边上中线所在直线方程为 上=产,即 x+I3
13、y-1-2+5=0.1 2.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为_.答案-3解析方法一设正方形一边所在直线的倾斜角为。,其斜率A=t an a.JI(n A则其中一条对角线所在直线的倾斜角为。+了,其斜率为t an(。+旬./冗、t an a+t an 。依题意知:t an l +-)=2,即-=詈 -2,t an a=-,I 4/n 1 t an a 31 -t an o t an -.正方形一边的斜率k=4,可知相邻一边所在直线的斜率为-3.O方法二正方形两条相邻边与对角线的夹角为t,设正方形的边所在直线的斜率为k,jy k 2 1则由夹角公式得t
14、 an T=+2 4=X=g 或 4=3.【技能提分练】1 3 .已知以一3,2),。(3,4)及直线a x+y+3=0.若沿用的方向延长线段0 0与直线有交点(不含0 点),则a的 取 值 范 围 是.答 案 3解 析 直 线/:a x+y+3=0 是过点4(0,-3)的直线系,斜率为参变数一a,易知P Q,QA,.1 7/的斜率分别为:2公,力=一a.若/与可延长线相交,由图可知阮H w,解得Qv14.已知数列&的通项公式为&=+(WN*),其 前 项 和 =言 则直线行y+匕=1 与坐标轴所围成的三角形的面积为n答 案 45解 析 由&=3 可 知&=宗*,所以 5,=(1_ 目+&_|
15、+q_(|+g _*)=l-露,9 1 9又 知$=诂,所 以 1 一 行 7=正,所以=9.所以直线方程为沈+5=1,且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9),所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为g x 10X9=45.【拓展冲刺练】1 5.(多选)已知直线xs i n a+yc o s a +l=O(a G R),则下列命题正确的是()A.直线的倾斜角是“一。B.无 论。如何变化,直线不过原点C,直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答 案 B D解析 根据直线倾斜角的范围为 0,“),而 n-aGR,所 以 A不正确;当 矛=尸 0 时,
16、xs i n a+yc o s a +l =l W 0,所以直线必不过原点,B正确;当 时,直线斜率不存在,C不正确;当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积为S=g-=-2 1,所以 D 正确.s i n a c o s Q|s i n 2。|16.如图,射线疡,分别与x 轴正半轴成45和 30角,过点。(1,0)作直线48分别交OA,0B干A,6两点,当 46 的中点C 恰 好 落 在 直 线 上 时,则直线力6的方程是.答 案(3+镉)才 2y34=0解析 由题意可得心=ta n 45 =1,ta n(180 -30)=_ 也3 所以直线 IO AX y=xf IORZ y
17、=3X.设力(/,/),B(一小n,n),所以四的中点cf 怜,字由点C 在直线上,且 4 P,6三点共线得m-n 1 m 3n 1 7=2*2,.i n0,yf3n 1 -/?0 /7 1解得0=4,所以4(4,4).又产(1,0),所以 kA B=kap=所 以 Zw:/=立=啦(x1),即直线46 的方程为(3+5)了 一 2厂 34=0.8.2两条直线的位置关系工考试要求31.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.知识梳理一、两条直线的平行与垂直1.两条直线平行对
18、于两条不重合的直线八,12,若其斜率分别为,左,则有l/l k=k=h(2)当 直 线 人 4 不重合且斜率都不存在时,h/h.2.两条直线垂直(1)如果两条直线4,人的斜率存在,设为尢,的则有 左=-1.(2)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0 时,Z72.二、两条直线的交点坐标已知两条直线7 i:4 x+3 y+G=0,72:4 x+Ay+G=0 相交,则 交 点P的坐标是方程组f4x+5i y+G=0,L+G=O 的解.三、三种距离公式1.两点间的距离公式(1)条件:点 4(小,a),P,X 2,y2).(2)结论:|P P zI=yj_X 2-x y-y 特 例:点P ”又
19、 交点位于第一象限,I 6 A+1 八2在+1”解得一,舄 .2.求 经 过 直 线 九3 x+2 y-l=0和A:5 x+2 y+l=0的交点,且垂直于直线A:3 x-5 y+6=0的直线/的方程为.答案 5 x+3 p-l=0解析先解方程组,3 x+2 y 1=0,5 x+2 y+l=0,得A的交点坐标为(-1,2),再由人的斜率为三求出,的斜率为一6于是由直线的点斜式方程求出/:5y 2=一三(入+1),即 5 x+3 y 1=0.3 .已知点P(4,a)到直线4 x 3 y 1 =0的距离不大于3,则 a的 取 值 范 围 是.答 案 0,10 解 析 由 题 意 得,点尸到直线的距离
20、为14义4二7=1 二 151 3 a.O0I 15 3 a l又即 15-3 a|W 15,解得 0 W a +8/2 4=0,由题意可知|P Q的最小值为这两条平行直线间的距离,即-2 4 -5 1R+于2 9To,所以I 00的最小值1,2 9为10,思 维 升 华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.利用距离公式应注意:点尸(加,)到直线x=a的距离d=|刘一a|,到直线y=6 的距离 d=|及一引;两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.题型三对称问题命题点1中心对称例 1(1)直线x 2 y-3=0 关于定点加一2
21、,1)对称的直线方程是.答案 x-2 y+ll=0解析 设所求直线上任一点(*,y),则关于欣一2,1)的对称点(一4 一天2-0在已知直线上,.,.所求直线方程为(一4 一x)2(2 力3=0,即 x 2 y+ll=0.过 点 (0,1)作直线/,使它被直线/,:2 x+y 8=0和 72:%-3 y+1 0=0 截得的线段被点尸平分,则直线1的方程为.答案 x+4 y-4=0解析 设乙与/的交点为4(a,8 2 a),则由题意知,点 4关于点P 的对称点庾-a,2 a 6)在/z 上,代 入/z 的方程得一a 3(2 a 6)+10 =0,解得a=4,即点4(4,0)在直线/上,所以直线1
22、的方程为x+4 y 4=0.命题点2 轴对称例2已知入射光线经过点以一3,4),被直线/:x y+3=0 反射,反射光线经过点M 2,6),则 反 射 光 线 所 在 直 线 的 方 程 为.答案 6 -y-6=0解析 设点M-3,4)关于直线7:%-y+3=0 的对称点为(a,垃,则反射光线所在直线过 点 ,解得a=1,b=0.又反射光线经过点M 2,6),所以所求直线的方程为2=,B P 6 x-y-6=0.6 0 21(2)直线2 x-y+3=0 关于直线x-y+2=0 对称的直线方程是答案 x-2 y+3=0解析 设所求直线上任意一点P(x,y),则产关于x-y+2=0 的对称点为(的
23、 ,由x+x o y+F i4 2=0,x-x o=yyo ,x o=y-2,.H=x+2,22得;点、F(x。,在直线2 x-y+3=0 上,2 (y-2)(x+2)+3=0,即 x 2 y+3=0.思 维 升 华(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.(2)几个常用结论点(x,力关于x 轴的对称点为(x,-y),关于y 轴的对称点为(x,y).点(力关于直线尸x的对称点为(x),关于直线旷=一X的对称点为(一y,-%).点(x,力关于直线x=a的对称点为(2 a-x,y),关 于 直 线 尸 6 的对称点为(x,2 6 一0.跟踪训练1 (1)光线沿着直线p=
24、-3 x+A射到直线x+y=O上,经反射后沿着直线尸a x+2射出,则有()A.&=4,6=6 B.a=3,Z?=73 6C.a=3,Z?=7 D.a=-g,Z?=663答 案D解析 由题意,直 线 尸 一3x+b与直线y=a x+2关 于 直 线 尸 一x对称,所 以 直 线 尸a x+2上的点(0,2)关于直线y=一了的对称点(-2,0)在直线y=-3 x+8上,所以(-3)X (2)+6=0,所以 6=6,所以直线y=3 x 6上的点(0,-6)关于直线y=-x的对称点(6,0)在直线y=a x+2上,所以6 a+2=0,所以a=一O 已知直线7:y=3x+3,则点。(4,5)关 于1的
25、对称点的坐标为答 案(一2,7)解析 设点P关 于 直 线/的 对 称 点 为,V ),(x +4 /+5、则线段上的中点“一J,J在直线,上,且直线上垂直于直线八(y+5 x +4 ,=3-7 +3,cx =-2y=7.x 一4 一 -1 1即彳,匚 解得y 5.,点尸的坐标为(-2,7).题型四直线系方程的应用命题点1平行直线系、垂直直线系例3(1)与直线3x+4 y+1=0平行且过点(1,2)的直线1的方程为一答案 3x+4 y-ll=0解析 由题意,可设所求直线方程为3x+4 y+c=0(c W l),又因为直线,过点(1,2),所以 3 X l+4 X 2+c=0,解得 c=-ll.
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