南通市2023届高三三模 数学模拟试题含答案.pdf
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1、南南通通市市2023届届高高三三第第三三次次调调研研测测试试(考考前前模模拟拟)数数学学注意事项:注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;不准使用铅笔和涂改液。3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。4.本试卷共 6 页,22 小题
2、,满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的合题目要求的1.若“0,sin2sin0 xxkx,”为假命题,则 k 的取值范围为().A.(,2 B.(,2C.(,2)D.(,2)2.复数22021202212i3i2022i2023iz 的虚部为().A.1012B.1011C.1011D.20223.平面向量a,b满足,240aa b ,|3b,则|a最大值是().A.3B.4C.5D.64.某同学在课外阅读
3、时了解到概率统计中的切比雪夫不等式,该不等式可以使人们在随机变量 X 的期望()E X和方差()D X存在但其分布未知的情况下,对事件“|()|XE X”的概率作出上限估计,其中为任意正实数切比雪夫不等式的形式为:(|()|)(),)PXE Xf D X,其中(),)f D X是关于()D X和的表达式由于记忆模糊,该同学只能确定(),)f D X的具体形式是下列四个选项中的某一种请你根据所学相关知识,确定该形式是().A.2()D XB.21()D XC.2()D XD.2()D X5.已知三棱锥PABC,Q 为 BC 中点,2PBPCABBCAC,侧面PBC 底面 ABC,则过点 Q 的平
4、面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为().A.5,3B.2,23C.2,23D.,26.抛物线24yx的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于,A B两点,以AB为直径的圆C交y轴于,M N两点,O为坐标原点,则MNC的内切圆直径最小值为().A.4 38B.4 36C.4 34D.4 327.已知宽为 a 的走廊与另外一条走廊垂直相连,若长为 8a 的细杆能水平地通过拐角,则另外一条走廊的宽度至少是().A.2 2aB.4 21 aC.2 3aD.3 3a8.函数 2023f xxx,若方程 2sin0 xx f xax只有三个根123,x xx,且123xxx,则213sin2023xx
5、 x的取值范围是().A.0,B.2023,C.,2023 D.,0二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得要求全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分9.直线:20l mxym与圆224xy交于,A B两点,P为圆上任意一点,则().A.线段AB最短长度为2 2B.AOB的面积最大值为2C.无论m为何值,l与圆相交D.不存在m,使APB取得最大值10.正方体ABCDA B C D 的边长为
6、 2,Q 为棱AA的中点,点,M N分别为线段,C D CD 上两动点(含端点),记直线,QM QN与面ABB A 所成角分别为,,且22tantan4,则().A.存在点,M N使得/MNAAB.DM DN 为定值C.存在点,M N使得32MN D.存在点,M N使得MNCQ11.椭圆曲线232yayxbxcxd是代数几何中一类重要的研究对象.则关于椭圆曲线232:2453Wyyxxx,下列结论正确的有().A.W 关于直线1x 对称B.W 关于直线1y 对称C.W 上的点的横坐标的取值范围为1,D.W 上的点的横坐标的取值范围为 12,12.1979 年,李政道博土给中国科技大学少年班出过
7、一道智趣题:“5 只猴子分一堆桃子.怎么也不能分成 5 等份,只好先去睡觉.准备第二天再分.夜里 1 只猴子偷偷爬起来,先吃 1 个桃子.然后将其分成 5 等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第 2 只猴子又爬起来,吃掉 1 个桃子后.也将桃子分成5 等份,藏起自己的一份睡觉去了:以后的 3 只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是().A.若第 n 只猴子分得nb个桃子(不含吃的),则1541(2,3,4,5)nnbbnB.若第 n 只猴子连吃带分共得到na个桃子,则(1,2,3,4,5)nan 为等比数列C.若最初有 3121 个桃子,则第 5
8、 只猴子分得 256 个桃子(不含吃的)D.若最初有 k 个桃子,则4k 必为55的倍数三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分13.随机变量12,3XB,则21X_.14.函数32()(0)f xaxbxcxd ab在 R 上是增函数,则cab的最大值为_.15.已知0122CCCC(1)nnnnnnnxxxx,则012111CCCC231nnnnnn_.16.将函数()2sin 32f xx的图象向右平移29个单位长度,得到的函数()g x的图象关于点11,018对称,且()g x在区间,mm上单调递增,则_,实数 m 的取值范围是_
9、.(本小题答对一空得 2 分,答对两空得 5 分)四四、解答题解答题:本题共本题共6小题小题,共共70分分.请在请在答题卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明、证明过程证明过程或演算步骤,只有答案没有过程的不能得分或演算步骤,只有答案没有过程的不能得分.17.(10 分)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功,且试验成功的概率为(01).pp现对该产品进行独立重复试验,若试验成功,试验结束;若试验不成功,则继续试验,且最多试验 10 次.记 X为试验结束时所进行的试验次数,且每次试验的成本为(0)a a 元.(1)写出 X 的分布列;证明:1();E
10、 Xp(2)某公司意向投资该产品.若0.25p,且试验成功则获利 5a 元,请说明该公司如何决策投资.18.(12 分)如图,在三棱柱111ABCABC中,14ABAA,2BC,12 3AC,ACBC,160.A AB(1)证明:BC 平面11ACC A;(2)设点 D 为1CC的中点,求直线1AD与平面11ABB A所成角的正弦值19.(12 分)设 na是各项均为正数的等差数列,11a,且31a 是2a和8a的等比中项;记 nb的前 n 项和为nS,*22().nnbSnN(1)求 na和 nb的通项公式;(2)设数列 nc的通项公式2,nnnancb n为奇数为偶数求数列 nc的前21n
11、 项和21nT;求(1)21iniiiac.20.(12 分)已知ABC,D 为边 AC 上一点,1AD,2.CD(1)若34BA BD ,0BC BD ,求ABC的面积;(2)若直线 BD 平分ABC,求ABD与CBD内切圆半径之比的取值范围.21.(12 分)双曲线 C:2213yx,点00(,)A xy是 C 上位于第一象限的一点,点 A、B 关于原点 O 对称,点 A、D 关于 y 轴对称延长 AD 至 E 使得1|3DEAD,且直线 BE 和 C 的另一个交点 F 位于第二象限中(1)求0 x的取值范围;(2)证明:AE 不可能是BAF的三等分线22.(12 分)已知函数()exxf
12、 x.(1)求曲线()yf x在e,ef处的切线方程;(2)若120niiixx,,证明:212enniif x.南通南通 2023 高三高三三模三模 考前模拟考前模拟数学数学1.若“(0,)x,”为假命题,则 k 的取值范围为()A.(,2 B.(,2C.(,2)D.(,2)【答案】A【解析】【分析】本题主要考查命题的真假,函数的恒成立问题,求函数的最值,属于中档题由题意可得对任意(0,)x,即,求得2cosx的范围,可得k 的取值范围【解答】解:“(0,)x,”为假命题,对任意(0,)x,即对任意(0,)x,2k,故选:.A2.已知i为虚数单位,则复数22021202212i3i2022i
13、2023iz 的虚部为A.1012B.1011C.1011D.2022【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的四则运算,考查错位相减法求和,属于中档题.利用错位相减法求和求出复数 z 求解即可.【解答】解:22021202212i3i2022i2023iz ,所以23202220232320222023z iiiiii ,所以220222023(1)12023i ziiii 20232023120231iii20232024iii 所以2024(2024)(1)1(1)(1)iiiziii202420241012 10122ii 所以复数 z 的虚部为为1012.故选 A3.平面向量a,b满足
14、,|3b,则|a最大值是()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平面向量数量积的定义及性质的简单应用,属于中档题先设向量a,b的夹角为,由已知结合向量数量积的定义可得2|443cos|aaaa,结合向量夹角的范围可求.【解答】解:设向量a,b的夹角为,240aa b,|3b,243|cosaa ba,2|443cos|aaaa,且0a,0,1cos1,则,即,解可得,即|a最大值是4.故选:.B4.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式,该不等式可以使人们在随机变量 X 的期望()E X和方差()D X存在但其分布未知的情况下,对事件“|()|XE X”
15、的概率作出上限估计,其中为任意正实数切比雪夫不等式的形式为:(|()|)(),)PXE Xf D X,其中(),)f D X是关于()D X和的表达式由于记忆模糊,该同学只能确定(),)f D X的具体形式是下列四个选项中的某一种 请你根据所学相关知识,确定该形式是A.2()D XB.21()D XC.2()D XD.2()D X【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了切比雪夫不等式,属于中档题.利用期望和方差的关系可得答案.【解答】解:因为(|()|)(),)PXE Xf D X,所以则所以(),)f D X的具体形式是2().D X故选:.D5.已知三棱锥PABC,Q 为 BC 中点,2P
16、BPCABBCAC,侧面PBC 底面 ABC,则过点 Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为()A.5,3B.2,23C.2,2 3D.,2【答案】A【解析】【分析】本题考查空间几何体的外接球问题和截面问题,考查空间想象能力,难度较大.【解答】解:连接 PQ,QA,由2PBPCABBCAC,可知:ABC和PBC是等边三角形,设三棱锥PABC外接球的球心为 O,所以球心 O 到平面 ABC 和平面 PBC 的射影是ABC和PBC的中心 F,E,PBC是等边三角形,Q 为 BC 中点,所以PQBC,又因为侧面PBC 底面 ABC,侧面PBC 底面ABCBC,所以PQ 底面 ABC,而A
17、Q 底面 ABC,因此PQAQ,所以 OFQE 是矩形.ABC和PBC是边长为 2 的等边三角形,所以两个三角形的高2212(2)32h,在矩形 OFQE 中,1322 3.3333OEFQhAEh,连接 OA,所以221415333OAOEEA,设过点 Q 的平面为,当OQ时,此时所得截面的面积最小,该截面为圆形,222211226()()333333OQOFFQhhh,因此圆 Q 的半径为:22156199OAOQ,所以此时面积为21;当点 Q 在以 O 为圆心的大圆上时,此时截面的面积最大,面积为:2155();33所以截面的面积范围为:5,3,故选.A6.B【分析】根据抛物线、圆以及导
18、数相关知识求解即可.7.D【分析】根据解三角以及导数相关知识求解即可.8.D【分析】根据观察法以及函数奇偶性得到2130,xxx 带入即可.9.CD【分析】斜率一定存在,所以 AB 错误,D 正确,直线所过定点在圆内故 C 正确。10.已知正方体ABCDA B C D 的边长为 2,Q 为棱AA的中点,点,M N分别为线段,C D CD 上两动点(包括端点),记直线,QM QN与平面ABB A 所成角分别为,,且22tantan4,则()A.存在点,M N使得/MNAAB.DM DN 为定值C.存在点,M N使得32MN D.存在点,M N使得MNCQ【答案】ABD【解析】【分析】本题考查直线
19、与平面所成角,利用空间向量求向量的数量积以及证明线线垂直,考查逻辑推理能力和空间想象能力,属于较难题.根据题意,作出图形,利用空间向量结合选项逐一判断即可.【解答】解:如图所示,在正方体中,以 D 为原点建立空间直角坐标系,则(2,0,1)Q,(0,2,0)C,设(0,2)Mm,(0,0)Nn,其中02,02mn,作MMA B,NNAB,可知MM 平面ABB A,NN平面ABB A,则MQM,NQN,(2,2)Mm,(2,0)Nn,所以2MMNN,21QMm,21QNn,则22tan1MMQMm,22tan1NNQNn,由22tantan4知,2244411mn,,0,2m n,则,即221m
20、 n,从而1mn,对于 A,/MNAA,即mn,解得1mn,满足题意,故 A 正确;对于 B,1DM DNmn ,为定值,故 B 正确;对于 C,若32MN,则2237()4()24mnmn,故 C 错误;对于 D,(2,2,1)CQ ,(0,2)MNnm,若MNCQ,则2()20CQ MNnm ,解得512n,152m,故 D 正确;故选:.ABD11.椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线,下列结论正确的有()A.曲线 W 关于直线1x 对称B.曲线 W 关于直线1y 对称C.曲线 W 上的点的横坐标的取值范围为1,)D.曲线 W 上的点的横坐标的取值范围为12,)【答案】B
21、D【解析】【分析】本题考查椭圆曲线的性质,属较难题.【解答】解:由,得因为,所以曲线 W 不关于直线1x 对称,A 不正确.因为,所以曲线 W 关于直线1y 对称,B 正确.由2(1)0y,得,解得1x 或2x,C 不正确,D 正确.12.1979 年,李政道博土给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5 只猴子分一堆桃子.怎么也不能分成 5 等份,只好先去睡觉.准备第二天再分.夜里 1 只猴子偷偷爬起来,先吃 1 个桃子.然后将其分成 5 等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第 2 只猴子又爬起来,吃掉 1 个桃子后.也将桃子分成 5 等份,藏起自己的一份睡觉去了:以后的 3 只猴子都先后照此办理
22、.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是()A.若第 n 只猴子分得nb个桃子(不含吃的),则1541(2,3,4,5)nnbbnB.若第 n 只猴子连吃带分共得到na个桃子,则(1,2,3,4,5)nan 为等比数列C.若最初有 3121 个桃子,则第 5 只猴子分得 256 个桃子(不含吃的)D.若最初有 k 个桃子,则4k 必为55的倍数【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查数列的递推关系,等比数列的通项公式,属于中档题.由递推关系依此判断各选项即可.【解答】解:对于 A,第二只猴子分的桃子为:第三只猴子分得的桃子为数为:23415bb第四只猴子分得的桃
23、子为数为:34415bb第五只猴子分得的桃子为数为:44415bb可得1415nnbb,即1541(2,3,4,5)nnbbn,故 A 正确;对于 B,由 A 得,又1nnab,故,则(1,2,3,4,5)nan 为等比数列,故 B 正确;对于 C,由 B 得145nnaa,则,则,若不含吃的,故第 5 只猴子分得 255 个桃子,故 C 错误;对于 D,设最初的桃子数为 k,且,五只猴子分剩的桃子数依次为2a,3a,4a,5a,6a,由题意,得,设14()5nnaxax,即14155nnaax,对照*()式,得1455x,解得4x,即144(4)5nnaa,所以数列4na 为等比数列,首项为
24、4k,公比为45q,所以,因此由题意知,6a为整数,故4k 必是55的倍数,故 D 正确.故选.ABD13.随机变量1(2,)3XB,则_.【答案】43【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的标准差,考查二项分布的性质,考查运算求解能力,是基础题由题可得114()2(1)339D X,再由,进而求标准差即可【解答】解:随机变量1(2,)3XB,114()2(1)339D X,标准差故答案为:4.314.已知函数32()(0)f xaxbxcxd ab在 R 上是增函数,则cab的最大值为_.【答案】43【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查不等式的基本性质以及最值的求法,属
25、于中档题对()f x求导,由()f x为 R 上的增函数可知()0fx恒成立,由二次函数的性质可得0a,24120bac,从而可得23bca,两边同乘1ab可得2113()caaabbb,利用换元法及二次函数的性质即可求得cab的最大值【解答】解:因为函数32()(0)f xaxbxcxd ab在 R 上是增函数,所以2()320fxaxbxc恒成立,所以0a,24120bac,又0ab,所以0b,则由24120bac,可得23bca,两边同时乘以1ab,可得2211133()cbaaaba abbb,令atb,10t,则2211111133()24ttt,当12t 时,2113 tt取得最大
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