高中数学总复习资料汇总(必修1-5-).doc
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1、优质文本高中数学总复习资料汇总必修1-5 高考数学复习必修1第一章、集合一、根底知识理解去记定义1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素在集合A中,称属于A,记为,否那么称不属于A,记作。例如,通常用N,Z,Q,B,分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如1,2,3;描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数,
2、分别表示有理数集和正实数集。定义2 子集:对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,那么A叫做B的子集,记为,例如。规定空集是任何集合的子集,如果A是B的子集,B也是A的子集,那么称A与B相等。如果A是B的子集,而且B中存在元素不属于A,那么A叫B的真子集。便于理解:包含两个意思:A与B相等 、A是B的真子集定义3 交集,定义4 并集,定义5 补集,假设称为A在I中的补集。定义6 集合记作开区间,集合记作闭区间,R记作定义7 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。补充知识点 对集合中元素三大性质的理解1确定性集合中的元素,必须是确定的对于集合和元素,要么,要么,
3、二者必居其一比方:“所有大于100的数组成一个集合,集合中的元素是确定的而“较大的整数就不能构成一个集合,因为它的对象是不确定的再如,“较大的树、“较高的人等都不能构成集合2互异性对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的任何两个相同的对象在同一集合中时,只能算作这个集合中的一个元素如:由,组成一个集合,那么的取值不能是或13无序性集合中的元素的次序无先后之分如:由组成一个集合,也可以写成组成一个集合,它们都表示同一个集合帮你总结:学习集合表示方法时应注意的问题1注意与的区别是集合的一个元素,而是含有一个元素的集合,二者的关系是2注意与的区别是不含任何元素的集合,而是含有元素的集合3在用列举
4、法表示集合时,一定不能犯用实数集或来表示实数集这一类错误,因为这里“大括号已包含了“所有的意思用特征性质描述法表示集合时,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应具备哪些特征性质,从而准确地理解集合的意义例如:集合中的元素是,这个集合表示二元方程的解集,或者理解为曲线上的点组成的点集;集合中的元素是,这个集合表示函数中自变量的取值范围;集合中的元素是,这个集合表示函数中函数值的取值范围;集合中的元素只有一个方程,它是用列举法表示的单元素集合4常见题型方法:当集合中有n个元素时,有2n个子集,有21个真子集,有22个非空真子集。二、根底例题必会例1,求正解:,解析:这道题要注意研究的元素看竖线前的
5、元素,均是y,所以要求出两个集合中y的范围再求交集,A中的y范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合例2 假设,且,试求实数正解:A2,5,由,解得或当1时,与元素的互异性矛盾,故舍去;当时,此时,这与矛盾,故又舍去;当时,此时满足题意,故为所求解析:此题紧紧抓住集合的三大性质:确定性 互异性 无序性三、趋近高考必懂1.2017年江苏高考1设集合-1,1,3,22+43,那么实数方法:将集合B两个表达式都等于3,且抓住集合三大性质。【答案】1.2.2017.湖北卷2.设集合,,那么AB的子集的个数是 A. 4 B.3 C.2 D.1方法:注意研究元素,是点的形式存在,A是椭圆,B
6、是指数函数,有数形结合方法,交于两个点,说明集合中有两个元素,还要注意,题目求子集个数,所以是22=4【答案】A集合穿针 转化引线最新一、集合与常用逻辑用语3.假设,那么是的A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析:,即或,即或, 由集合关系知:,而是的充分条件,但不是必要条件应选4.假设,那么“是“方程表示双曲线的A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析:方程表示双曲线或应选A二、集合与函数5.集合,那么等于A0,2,1,1B0,2,1,1C1,2 D解析:由代表元素可知两集合均为数集,又P集合是函数中的y的取值范围,故P集合的实质是函数的值域而Q集合那么为函
7、数的定义域,从而易知,选D评注:认识一个集合,首先要看其代表元素,再看该元素的属性,此题易因误看代表元素而错选或三、集合与方程6.,且,求实数p的取值范围解析:集合A是方程的解集,那么由,可得两种情况:,那么由,得;方程无正实根,因为,那么有于是综上,实数p的取值范围为四、集合与不等式7. 集合,假设,求实数m的取值范围解析:由不等式恒成立,可得,1当,即时,式可化为,显然不符合题意2当时,欲使式对任意x均成立,必需满足即解得集合B是不等式的解集,可求得,结合数轴,只要即可,解得五、集合与解析几何例6集合和,如果,求实数m的取值范围解析:从代表元素看,这两个集合均为点集,又及是两个曲线方程,故
8、的实质为两个曲线有交点的问题,我们将其译成数学语言即为:“抛物线与线段有公共点,求实数m的取值范围由,得,方程在区间0,2上至少有一个实数解首先,由,得或当m3时,由及知,方程只有负根,不符合要求;当时,由及知,方程有两个互为倒数的正根,故必有一根在区间内,从而方程至少有一个根在区间0,2内综上,所求m的取值范围是第二章、函数一、根底知识理解去记定义1 映射,对于任意两个集合A,B,依对应法那么f,假设对A中的任意一个元素x,在B中都有唯一一个元素与之对应,那么称f: AB为一个映射。定义2 函数,映射f: AB中,假设A,B都是非空数集,那么这个映射为函数。A称为它的定义域,假设xA, yB
9、,且f(x)即x对应B中的y,那么y叫做x的象,x叫y的原象。集合f(x)A叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数3-1的定义域为0R.定义3 反函数,假设函数f: AB通常记作(x)是一一映射,那么它的逆映射1: AB叫原函数的反函数,通常写作1(x). 这里求反函数的过程是:在解析式(x)中反解x得1(y),然后将x, y互换得1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数的反函数是1-(x0).补充知识点:定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线对称。定理2 在定义域上为增减函数的函数,其反函数必为增减函数。定义4 函
10、数的性质。1单调性:设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2I并且x1 x2,总有f(x1)f(x2),那么称f(x)在区间I上是增减函数,区间I称为单调增减区间。2奇偶性:设函数(x)的定义域为D,且D是关于原点对称的数集,假设对于任意的xD,都有f()(x),那么称f(x)是奇函数;假设对任意的xD,都有f()(x),那么称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。3周期性:对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内每一个数时,f()(x)总成立,那么称f(x)为周期函数,T称为这个函数的周期,如果周期中存在最小的正数T0,那么这个
11、正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义5 如果实数ab,那么数集xb, xR叫做开区间,记作,集合xR记作闭区间,集合xb记作半开半闭区间,集合xa记作开区间a, +,集合a记作半开半闭区间-.定义6 函数的图象,点集()(x), xD称为函数(x)的图象,其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数(x)的图象与其他函数图象之间的关系(0);1向右平移a个单位得到()的图象;2向左平移a个单位得到()的图象;3向下平移b个单位得到(x)的图象;4与函数()的图象关于y轴对称;5与函数()的图象关于原点成中心对称;6与函数1(x)的图象关于直线对称;7与函数(x)的图象关于x轴对称。定理3
12、复合函数g(x)的单调性,记住四个字:“同增异减。例如, 2在-,2上是减函数,在0,+上是减函数,所以在-,2上是增函数。注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。一、根底知识初中知识 必会1二次函数:当0时,2或f(x)2称为关于x的二次函数,其对称轴为直线,另外配方可得f(x)(0)2(x0),其中x0,下同。2二次函数的性质:当a0时,f(x)的图象开口向上,在区间-,x0上随自变量x增大函数值减小简称递减,在x0, -上随自变量增大函数值增大简称递增。当a0时,方程f(x)=0即20和不等式20及20时,方程有两个不等实根,设x12(x1x2),不等
13、式和不等式的解集分别是x2和1xx2,二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点,f(x)还可写成f(x)(1)(2).2当=0时,方程有两个相等的实根x120=,不等式和不等式的解集分别是和空集,f(x)的图象与x轴有唯一公共点。3当0时,方程无解,不等式和不等式的解集分别是R和(x)图象与x轴无公共点。当a0,当0时,f(x)取最小值f(x0)=,假设a0),当x0m, n时,f(x)在m, n上的最小值为f(x0); 当x0n时,f(x)在m, n上的最小值为f(n)以上结论由二次函数图象即可得出。定义1 能判断真假的语句叫命题,如“35是命题,“萝卜好大不是命题。不含逻辑联结词“或、“
14、且、“非的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。一定注意: “p或q复合命题只有当p,q同为假命题时为假,否那么为真命题;“p且q复合命题只有当p,q同时为真命题时为真,否那么为假命题;p与“非p即“p恰好一真一假。定义2 原命题:假设p那么qp为条件,q为结论;逆命题:假设q那么p;否命题:假设非p那么q;逆否命题:假设非q那么非p。一定注意: 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。一定注意: 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。定义3 如果命题“假设p那么q为真,那么记为否那么记作.在命题“假设p那么q中,如果,那么p是
15、q的充分条件;如果,那么称p是q的必要条件;如果但q不p,那么称p是q的充分非必要条件;如果p不q但,那么p称为q的必要非充分条件;假设且,那么p是q的充要条件。二、根底例题必懂x11x1数形结合法。例109.江西 求方程1的正根的个数.【解】 分别画出1|和的图象,由图象可知两者有唯一交点,所以方程有一个正根。例2 2017.广西模拟 求函数f(x)=的最大值。【解】 f(x)=,记点P(x, x2),A3,2,B0,1,那么f(x)表示动点P到点A和B距离的差。因为,当且仅当P为延长线与抛物线2的交点时等号成立。所以f(x)2.函数性质的应用。例3 10、全国 设x, yR,且满足,求.【
16、解】 设f(t)3+1997t,先证f(t)在-,+上递增。事实上,假设a0,所以f(t)递增。由题设f(1)1(1),所以1=1,所以2.例4 10、全国 奇函数f(x)在定义域-1,1内是减函数,又f(1)(12)0,求a的取值范围。【解】 因为f(x)是奇函数,所以f(12)(a2-1),由题设f(1)f(a2-1)。又f(x)在定义域-1,1上递减,所以-11a2-11,解得0a1。例5 10、全国 设f(x)是定义在-,+上以2为周期的函数,对kZ, 用表示区间(21, 21,当xI0时,f(x)2,求f(x)在上的解析式。【解】 设x,那么210,那么由得n0,设f(t)(+1),
17、那么f(t)在0,+上是增函数。又f(m)(),所以,所以31+23=0,所以)假设m0。同理有0,但与m0矛盾。综上,方程有唯一实数解3.配方法。例7 经典例题 求函数的值域。【解】 21+2+1-1=(+1)-1-1.当时,y取最小值-,所以函数值域是-,+。4换元法。例8 经典例题 求函数(2)(+1)0,1的值域。【解】令,因为x0,1,所以2u2=2+24,所以u2,所以2,12,所以2+2,8。所以该函数值域为2+,8。5判别式法。例9 求函数的值域。【解】由函数解析式得(1)x2+3(1)44=0. 当y1时,式是关于x的方程有实根。所以=9(1)2-16(1)20,解得y1.又
18、当1时,存在0使解析式成立,所以函数值域为,7。6关于反函数。例10 10年宁夏假设函数(x)定义域、值域均为R,且存在反函数。假设f(x)在(- )上递增,求证:1(x)在(- )上也是增函数。【证明】设x1x2, 且y11(x1), y21(x2),那么x1(y1), x2(y2),假设y1y2,那么因为f(x)在(- )上递增,所以x1x2与假设矛盾,所以y1y2。即1(x)在(- )递增。例11 经典例题设函数f(x)=,解方程:f(x)1(x).【解】 首先f(x)定义域为-,-,+;其次,设x1, x2是定义域内变量,且x1x20,所以f(x)在-,-上递增,同理f(x)在-,+上
19、递增。在方程f(x)1(x)中,记f(x)1(x),那么y0,又由1(x)得f(y),所以x0,所以-,+.假设,设xy,那么f(x)y也可得出矛盾。所以.即f(x),化简得3x5+2x4-41=0,即(1)(3x4+5x3+5x2+51)=0,因为x0,所以3x4+5x3+5x2+510,所以1.7待定系数法。例1 经典例题 设方程x21=0的两根是,求满足f()=()=(1)=1的二次函数f(x).【解】 设f(x)2(a0),那么由f()=()=相减并整理得-+1=0,因为方程x21=0中0,所以,所以(+)1=0.又+=1,所以1=0.又因为f(1)1,所以1=1,所以2.又(1),所
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