力学与结构-应力、强度和刚度.ppt
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1、 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.1第4章 杆件的应力、强度和刚度 返回总目录返回总目录返回总目录返回总目录 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.2截面的几何性质截面的几何性质轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩杆件的剪切和扭转杆件的剪切和扭转 梁的弯曲应力及强度计算梁的弯曲应力及强度计算杆件的组合变形杆件的组合变形习习 题题本章内容本章内容 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.3教学要求教学要求:了解平面图形的静矩、形心、惯性矩、截面模量、惯:了解平面图形的静矩、形心、惯性矩、截面模量、惯性半径等几何性质的概念及计算方法;熟悉内力、应力、应变等基本性半径等几何性质的概念及计算方法;熟悉内力、应力、应变
2、等基本概念;了解材料在轴向拉、压时的力学性能;掌握虎克定律及其应用;概念;了解材料在轴向拉、压时的力学性能;掌握虎克定律及其应用;熟悉剪切虎克定律、剪应力互等定理;掌握杆件轴向拉压、扭转、剪熟悉剪切虎克定律、剪应力互等定理;掌握杆件轴向拉压、扭转、剪切、弯曲等基本变形的概念及内力、应力、变形、强度、刚度的计算;切、弯曲等基本变形的概念及内力、应力、变形、强度、刚度的计算;重点掌握轴向拉压、圆轴扭转、平面弯曲时梁的强度及刚度的计算。重点掌握轴向拉压、圆轴扭转、平面弯曲时梁的强度及刚度的计算。了解杆件组合变形的概念、掌握简单组合变形时杆件的强度计算。了解杆件组合变形的概念、掌握简单组合变形时杆件的
3、强度计算。第4章 杆件的应力、强度和刚度3.4平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素,杆件的应力和变形不仅与杆件的内平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素,杆件的应力和变形不仅与杆件的内力有关,而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量力有关,而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量W、极惯性矩和抗扭截面模、极惯性矩和抗扭截面模量等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题,但它是计算杆量等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题,但它是计算杆件强度、刚度、稳定性的必不可少的几何参数。件强度、刚度、稳定性的必不可少
4、的几何参数。一、一、静矩和形心静矩和形心1.静矩静矩如图如图4.1所示,一任意形状的平面图形,面积为所示,一任意形状的平面图形,面积为A,在平面图形所在平面内内任意选取一个,在平面图形所在平面内内任意选取一个平面坐标系平面坐标系zoy,在坐标,在坐标(z,y)处取微面积处取微面积dA,则微面积,则微面积dA与坐标与坐标y(或坐标或坐标z)的乘积称为微面积的乘积称为微面积dA对对z轴轴(或对或对y轴轴)的静矩,记作的静矩,记作dSz(或或dSy)。即。即 截面的几何性质截面的几何性质平面图形上所有微面积对平面图形上所有微面积对z轴轴(或对或对y轴轴)的静矩之和,称为平面图形对的静矩之和,称为平面
5、图形对z轴轴(或对或对y轴轴)的静的静矩,用矩,用Sz(或或Sy)表示,即表示,即(4-1a)(4-1b)第4章 杆件的应力、强度和刚度3.5从从静静矩矩的的定定义义可可以以看看出出,静静矩矩是是对对特特定定的的坐坐标标轴轴而而言言的的。选选择择不不同同的的坐坐标标轴轴,静静矩矩也也不不同同。静矩的数值可能为正,可能为负,也可能等于零。静矩常用的单位是静矩的数值可能为正,可能为负,也可能等于零。静矩常用的单位是m3或或mm3。若若则则 截面的几何性质截面的几何性质2.形心形心现设平面图形的形心现设平面图形的形心C的坐标为的坐标为(Zc,Yc)。均质等厚薄板的形心在板平面均质等厚薄板的形心在板平
6、面zoy中的坐标为中的坐标为(4-2a)(4-2b)则则由上述可知:平面图形对通过其形心的轴的静矩恒为零;由上述可知:平面图形对通过其形心的轴的静矩恒为零;反之,若平面图形对某轴的静矩为零,则此轴必过形心。反之,若平面图形对某轴的静矩为零,则此轴必过形心。若平面图形有一个对称轴,则形心在此对称轴上;若平若平面图形有一个对称轴,则形心在此对称轴上;若平面图形有两个或以上的对称轴,则形心在对称轴的交点上。面图形有两个或以上的对称轴,则形心在对称轴的交点上。第4章 杆件的应力、强度和刚度3.6【例例4.1】矩矩形形截截面面尺尺寸寸如如图图4.2所所示示,以以矩矩形形的的形形心心为为原原点点建建立立坐
7、坐标标系系zoy,z1通通过过矩矩形形的的底底边。试求该矩形对边。试求该矩形对z轴的静矩和对轴的静矩和对z1轴的静矩。轴的静矩。图图4.2矩形截面矩形截面 截面的几何性质截面的几何性质解解:(1)计算矩形截面对计算矩形截面对z轴的静矩。由于轴的静矩。由于z轴是矩形截面的对称轴是矩形截面的对称轴,通过截面形心,所以矩形对轴,通过截面形心,所以矩形对z轴的静矩等于零,即轴的静矩等于零,即。(2)计算矩形截面对计算矩形截面对Z1轴的静矩。轴的静矩。【例【例4.2】试确定如图试确定如图4.3所示的组合截面的形心位置,长度单所示的组合截面的形心位置,长度单位为位为cm。图图4.3组合截面组合截面解解:取
8、坐标取坐标zoy,因为,因为y为截面的对称轴,所以形心必在为截面的对称轴,所以形心必在y轴上,轴上,即。故只需确定即。故只需确定yc。该截面可视为由矩形该截面可视为由矩形和矩形和矩形组合而成。组合而成。矩形矩形的面积的面积,形心纵坐标,形心纵坐标。矩形矩形的面积的面积,形心纵坐标,形心纵坐标。第4章 杆件的应力、强度和刚度3.7一、惯性矩、惯性积和惯性半径一、惯性矩、惯性积和惯性半径1.惯性矩惯性矩图图4.4惯性矩惯性矩如如图图4.4所所示示,在在图图形形所所在在平平面面内内任任意意取取一一个个平平面面坐坐标标系系zoy。微微面面积积dA与与坐坐标标y(或或坐坐标标z)平平方方的的乘乘积积y2
9、dA或或(Z2dA)称称为为微微面面积积dA对对z轴轴(或或对对y轴轴)的的惯惯性性矩矩。整整个个平平面面图图形形上上所所有有微微面面积积对对z轴轴(或或对对y轴轴)的的惯惯性性矩矩之之和和,称称为为平平面面图图形形对对z轴轴(或或对对y轴轴)的惯性矩,用的惯性矩,用Iz(或或Iy)表示,即表示,即 截面的几何性质截面的几何性质用积分精确表示为用积分精确表示为(4-3a)(4-3b)微面积微面积dA与坐标原点与坐标原点O的距离的距离的平方的乘积的平方的乘积2 2dAdA称为微面积称为微面积dA对坐标原点对坐标原点O的的极惯性矩,整个图形对坐标原点极惯性矩,整个图形对坐标原点O的极惯性矩用积分表
10、达为的极惯性矩用积分表达为 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.8所以所以由于存在几何关系:由于存在几何关系:即截面对任意两个互相垂直坐标轴的惯性矩之和等于截面对两轴交点的极惯性矩。即截面对任意两个互相垂直坐标轴的惯性矩之和等于截面对两轴交点的极惯性矩。由惯性矩的定义可知,惯性矩是对坐标轴而言的。同一图形对不同坐标轴的惯性矩也由惯性矩的定义可知,惯性矩是对坐标轴而言的。同一图形对不同坐标轴的惯性矩也不同。极惯性矩是对点而言的,同一图形对不同点的极惯性矩也不同。式不同。极惯性矩是对点而言的,同一图形对不同点的极惯性矩也不同。式(4-5)中,中,z2和和y2恒为正值,故惯性矩也恒为正值,惯性矩常用的
11、单位是恒为正值,故惯性矩也恒为正值,惯性矩常用的单位是m4或或mm4。简单图形的惯性矩可以。简单图形的惯性矩可以直接由式直接由式(4-5)计算。在建筑工程中,常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到,型钢截计算。在建筑工程中,常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到,型钢截面的惯性矩可在型钢表中查找。面的惯性矩可在型钢表中查找。2.惯性积惯性积如图如图4.4所示,微面积所示,微面积dA与坐标与坐标y和坐标和坐标z的乘积的乘积zydA称为微面积称为微面积dA对对y和和z两轴的惯性两轴的惯性积,记为积,记为zydA。整个图形上所有的微面积对。整个图形上所有的微面积对z和和y两轴的惯性积之和称为该图形对
12、两轴的惯性积之和称为该图形对z和和y轴的轴的惯性积,用表示惯性积,用表示Izy,即,即 截面的几何性质截面的几何性质(4-4)(4-5)(4-6)第4章 杆件的应力、强度和刚度3.9惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的,同一图形对不同的正交坐标轴,其惯性积不惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的,同一图形对不同的正交坐标轴,其惯性积不同。由于同。由于x、y有正有负,因此惯性积也可能有正有负,也可能为零。惯性积的常用单位是有正有负,因此惯性积也可能有正有负,也可能为零。惯性积的常用单位是m4或或mm4。如图如图4.4所示,微面积所示,微面积dA与坐标与坐标y和坐标和坐标z的乘积的乘积yzdA称
13、为微面积称为微面积dA对对z和和y两轴的惯性积,两轴的惯性积,记为记为yzdA。整个图形上所有的微面积对。整个图形上所有的微面积对z和和y两轴的惯性积之和称为该图形对两轴的惯性积之和称为该图形对z和和y轴的惯性积,轴的惯性积,用用Izy表示,即表示,即 截面的几何性质截面的几何性质(4-6)惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的,同一图形对不同的正交坐标轴,其惯性积惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的,同一图形对不同的正交坐标轴,其惯性积不同。由于不同。由于x、y有正有负,因此惯性积也可能有正有负,也可能为零。惯性积的常用单位是有正有负,因此惯性积也可能有正有负,也可能为零。惯性积的常用单位
14、是m4或或mm4。如图如图4.5所示,所示,y轴是图形的对称轴,在轴是图形的对称轴,在y轴两侧各取一相同的微面积轴两侧各取一相同的微面积dA,显然,两者的,显然,两者的y坐标相等,而坐标相等,而z坐标互为相反数。所以对称轴两侧的两个微面积的惯性积也互为相反数,它坐标互为相反数。所以对称轴两侧的两个微面积的惯性积也互为相反数,它们之和为零。对于对称图形来说,它们的惯性积必然等于零,即们之和为零。对于对称图形来说,它们的惯性积必然等于零,即 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.10如果如果z轴是图形的对称轴,同理可得,轴是图形的对称轴,同理可得,3.惯性半径惯性半径在工程中因为某些计算的特殊需要,经
15、常将图形的惯在工程中因为某些计算的特殊需要,经常将图形的惯性矩表示为图形面积性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积,即与某一长度平方的乘积,即 截面的几何性质截面的几何性质(4-7)或写成或写成(4-8)第4章 杆件的应力、强度和刚度3.11 截面的几何性质截面的几何性质式中,式中,iz、iy、i分别称为平面图形对分别称为平面图形对z轴、轴、y轴和极点的惯性半径,也叫回转半径,单轴和极点的惯性半径,也叫回转半径,单位为位为m或或mm。在建筑力学中,分析组合截面压杆的稳定性时,常用惯性半径来表示组合图。在建筑力学中,分析组合截面压杆的稳定性时,常用惯性半径来表示组合图形截面的几何特征。形截面的
16、几何特征。规则图形的惯性半径可用公式直接计算,或查相关的图表,常用组合截面规则图形的惯性半径可用公式直接计算,或查相关的图表,常用组合截面(如如T形、形、L形截面形截面)的惯性半径可查相关计算手册,也可直接由式的惯性半径可查相关计算手册,也可直接由式(4-8)计算;型钢的惯性半径可查型计算;型钢的惯性半径可查型钢表。钢表。4.抗弯截面模量抗弯截面模量W在计算抗弯构件的应力时,经常用到抗弯截面模量的概念,抗弯截面模量用表示,用在计算抗弯构件的应力时,经常用到抗弯截面模量的概念,抗弯截面模量用表示,用下面公式计算:下面公式计算:(4-9)式式(4-9)中是截面关于形心轴的惯性矩,中是截面关于形心轴
17、的惯性矩,ymax是截面上垂直并距离形心轴最远的点是截面上垂直并距离形心轴最远的点到形心轴的距离。对于低碳钢、铝合金等塑性材料抗拉强度和抗压强度一样大,抗弯截到形心轴的距离。对于低碳钢、铝合金等塑性材料抗拉强度和抗压强度一样大,抗弯截面模量面模量w只有一个值,而对于铸铁等脆性材料抗拉强度和抗压强度不一样大,抗弯截面只有一个值,而对于铸铁等脆性材料抗拉强度和抗压强度不一样大,抗弯截面模量模量w有两个值,就是式有两个值,就是式(4-9)中的中的ymax分别取形心轴两侧距形心轴最远的点到形心轴的分别取形心轴两侧距形心轴最远的点到形心轴的距离。距离。【例【例4.3】矩形截面尺寸如图矩形截面尺寸如图4.
18、6所示。试计算矩形截面对形心轴所示。试计算矩形截面对形心轴z、y的惯性矩、惯的惯性矩、惯性半径、惯性积和抗弯截面模量。性半径、惯性积和抗弯截面模量。第4章 杆件的应力、强度和刚度3.12图图4.6矩形截面矩形截面解解:(1)计计算算矩矩形形截截面面对对z轴轴和和y轴轴的的惯惯性性矩矩。取取平平行行于于z轴轴的的微微面面积积dA,dA到到z轴的距离为轴的距离为y,则,则 截面的几何性质截面的几何性质同理可得,矩形截面对同理可得,矩形截面对y轴的惯性矩:轴的惯性矩:(2)计算矩形截面对计算矩形截面对z轴和轴和y轴的惯性半径:轴的惯性半径:第4章 杆件的应力、强度和刚度3.13(3)计算矩形截面对计
19、算矩形截面对z轴和轴和y轴的惯性积。因为轴的惯性积。因为z轴和轴和y轴均是矩形的对称轴,所以:轴均是矩形的对称轴,所以:(4)抗弯截面模量:抗弯截面模量:【例【例4.4】直径为直径为D的圆形截面,如图的圆形截面,如图4.7所示。所示。(1)试计算截面对通过圆心的轴的惯性矩和试计算截面对通过圆心的轴的惯性矩和惯性半径;惯性半径;(2)计算抗弯截面模量。计算抗弯截面模量。解解:(1)以圆心为原点,建立平面坐标系以圆心为原点,建立平面坐标系yOz。(2)计算圆截面对原点计算圆截面对原点O的极惯性矩,圆的直径为的极惯性矩,圆的直径为D,取圆的半径,取圆的半径,为截面上为截面上任一点到原点的距离,则截面
20、对原点任一点到原点的距离,则截面对原点O的极惯性矩为:的极惯性矩为:截面的几何性质截面的几何性质微面积微面积(图中阴影部分图中阴影部分)为:为:由于由于,圆截面对任意通过圆心的轴对称,所以,圆截面对任意通过圆心的轴对称,所以 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.14可得:可得:(3)计算惯性半径计算惯性半径(4)计算抗弯截面模量:计算抗弯截面模量:截面的几何性质截面的几何性质图图4.7圆形截面圆形截面5.惯性矩的平行移轴公式惯性矩的平行移轴公式前面我们介绍的惯性矩和惯性积的计算方法都是针对平面图形的形心轴的,实际上,前面我们介绍的惯性矩和惯性积的计算方法都是针对平面图形的形心轴的,实际上,惯性矩
21、和惯性积可以针对平面内任意轴。惯性矩和惯性积可以针对平面内任意轴。图图4.8惯性矩的平行移轴惯性矩的平行移轴如图如图4.8所示所示C点是截面的形心。点是截面的形心。zc轴和轴和yc轴通过截面形轴通过截面形心。心。z轴和轴和y轴是分别和轴是分别和zc轴和轴和yc轴平行的坐标轴且轴平行的坐标轴且y轴与轴与yc轴相距为轴相距为b,z轴与轴与zc轴相距为轴相距为a。若图形对通过形心的坐标。若图形对通过形心的坐标轴的惯性矩和惯性积分别为轴的惯性矩和惯性积分别为Izc、Iyc及及Izyc,下面计算图形对,下面计算图形对z轴和轴和y轴的惯性矩。轴的惯性矩。微面积微面积dA在两个坐标系中的坐标有如下关系:在两
22、个坐标系中的坐标有如下关系:第4章 杆件的应力、强度和刚度3.15 截面的几何性质截面的几何性质根据惯性矩定义,图形对根据惯性矩定义,图形对z轴的惯性矩为:轴的惯性矩为:式中:式中:(截面面积对自身形心轴的静矩为零截面面积对自身形心轴的静矩为零)于是得到于是得到(4-10a)同理可得:同理可得:(4-10b)式式(4-10a)、式、式(4-10b)分别为惯性矩的平行移轴公式。式中分别为惯性矩的平行移轴公式。式中Izc和和Iyc是对平面图形形心是对平面图形形心轴的惯性矩。式轴的惯性矩。式(4-10a)、式、式(4-10b)分别表明:图形对任意轴的惯性矩,等于图形对与该分别表明:图形对任意轴的惯性
23、矩,等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴距离平方的乘积。由于轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴距离平方的乘积。由于a2(或或b2)恒为正恒为正值,故在所有平行轴中,平面图形对形心轴的惯性矩最小。值,故在所有平行轴中,平面图形对形心轴的惯性矩最小。第4章 杆件的应力、强度和刚度3.16【例【例4.5】用平移轴公式计算图用平移轴公式计算图4.2中矩形截面对底边的惯性矩。中矩形截面对底边的惯性矩。解:解:(1)计算截面对计算截面对z的惯性矩:的惯性矩:(2)根据惯性矩的平移轴公式,得:根据惯性矩的平移轴公式,得:截面的几何性质截面的几何性质 第4章 杆件的应力、强度和
24、刚度3.17轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩一、一、轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸变形和轴向压缩变形是杆件的基本变形之一,在工程中经常见到。如图轴向拉伸变形和轴向压缩变形是杆件的基本变形之一,在工程中经常见到。如图4.9(a)所示三角形托架中的斜杆,在荷载作用下就发生轴向压缩变形;还有桁架中的所有杆件所示三角形托架中的斜杆,在荷载作用下就发生轴向压缩变形;还有桁架中的所有杆件(如如图图4.9(b)所示所示),发生的都是轴向变形,发生的都是轴向变形(拉伸或压缩拉伸或压缩);屋架中的水平拉杆;屋架中的水平拉杆(图图4.9(c)AB线上各线上各杆杆),发生轴向拉伸变形;建筑结构中的柱子
25、,发生轴向拉伸变形;建筑结构中的柱子(如图如图4.9(d)所示所示)发生轴向压缩变形等。这些发生轴向压缩变形等。这些杆件受力的共同特点是:作用在杆件上的外力的作用线与杆轴线重合,杆件的主要变形是杆件受力的共同特点是:作用在杆件上的外力的作用线与杆轴线重合,杆件的主要变形是轴向伸长或缩短。这类构件称为拉轴向伸长或缩短。这类构件称为拉(压压)杆。相应的变形分别称为轴向拉伸变形和轴向压缩杆。相应的变形分别称为轴向拉伸变形和轴向压缩变形,如图变形,如图4.10所示。所示。图图4.9轴向拉轴向拉(压压)杆杆图图4.10轴向拉伸轴向拉伸(压缩压缩)变变 第4章 杆件的应力、强度和刚度3.18图图4.11截
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