实变函数论课件12培训讲学.ppt
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1、实变函数论课件12第12讲 可测函数的性质与逼近定理基本内容:一可测函数的性质(续)(1)可测函数乘积的性质问问题题1:如如何何将将集集合合Ex|f(x)g(x)用用形形如如Ex|f(x)、Ex|g(x)、Ex|f(x)、Ex|g(x)的集合表示?的集合表示?第12讲 可测函数的性质与逼近定理是可测集,进而 都可测,这说明 也是E3上的可测函数。第12讲 可测函数的性质与逼近定理(2)可测函数商的可测性 问问题题2 2:可可否否直直接接应应用用乘乘积积的的可可测测性性证证明明商的可测性?商的可测性?第12讲 可测函数的性质与逼近定理性质3 若 都是E上的可测函数则 当 在E上几乎处处有意义时,
2、在E上可测。(iv)证明(iv)。由(iii),仅需证明 是可测函数就可以了。第12讲 可测函数的性质与逼近定理对任意第12讲 可测函数的性质与逼近定理 由 可测性立得 可测,即 是E上的可测函数,证毕。(3)可测函数序列的上、下极限之可测性问问题题3 3:假假设设h(x)=h(x)=limlimf fn n(x),(x),如如何何用用形形如如Ex|fEx|fn n(x)(x)、Ex|fEx|fn n(x)(x)的的集集合合表表示示集合集合Ex|h(x)?Ex|h(x)?第12讲 可测函数的性质与逼近定理问问题题4 4:如如果果h(x)h(x)是是f fn n(x)(x)的的上上极极限限,情情
3、形形又又如何?如何?一个很重要的问题是:可测函数序列的极限是否是可测函数?到目前为止,至少有三种意义下的极限概念,其一是“一致收敛”、其二是“处处收敛”(即在给定的集上逐点收敛),其三是“几乎处处收敛”(即在给定的集上,除去一个零测第12讲 可测函数的性质与逼近定理 集后逐点收敛)。显然,如果我们证明了一个几乎处处收敛的可测函数序列的极限是可测函数,则上述任何意义下的极限函数都是可测的。为此,先证明一个引理。引理1 假设 是上的可测函数序列,则第12讲 可测函数的性质与逼近定理 都是上的可测函数。都是上的可测函数。证明:对任意实数 ,显然有 故由 的可测性立知f可测。而第12讲 可测函数的性质
4、与逼近定理 所以 也是上的可测函数,记 则由(i)知 都是上的可测函数,第12讲 可测函数的性质与逼近定理 由此立得 ,都可测。证毕。第12讲 可测函数的性质与逼近定理(4)几乎处处收敛与几乎处处相等 定义3 设 是E上的函数列,是E上的函数,若存在 ,使 且对任意 ,有 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 ,则称在上几乎处处收敛到f,记作 性质4 如果 是E上的可测函数序列,且几乎处处收敛到 ,即第12讲 可测函数的性质与逼近定理 则 在E上可测。证明:由于 几乎处处收敛到 ,故存在零测集 ,使得 在 上处处收敛到 ,由引理1知 是 上的可测函数,从而也是E上的可测函数。证毕。我们已经看到,
5、任何非负可测函数都可以第12讲 可测函数的性质与逼近定理 让单调递增的简单函数逐点逼近,那么一般的可测函数情形如何呢?为此,我们可以将上可测函数分成正部和负部如下:显然第12讲 可测函数的性质与逼近定理问问题题5 5:f(x)f(x)的的可可测测性性 与与f f+(x)(x)、f f-(x)(x)的的可可测测性是否等价?性是否等价?问问题题6 6:|f(x)|f(x)|的的可可测测性性与与f f+(x)(x)、f f-(x)(x)的的可可测性是否等价?测性是否等价?问问题题7 7:f(x)f(x)的的可可测测性性与与|f(x)|f(x)|的的可可测测性性是是否相同?否相同?由引理1的(i),知
6、 都是第12讲 可测函数的性质与逼近定理 非负可测函数,于是存在单调简单函数列 ,使 (任意 ),(任意 )所以 不难看到,两个简单函数的差仍是简单函数,事实上,若 第12讲 可测函数的性质与逼近定理则且这说明 是简单函数列的极限。从及 很容易得到下面的性质5 在E上可测当且仅当 ,都第12讲 可测函数的性质与逼近定理 在E上可测。当 在上可测时,也在E上可测。也许有人会问,的可测性与 的可测性是否等价?这很容易从下面的例子中找到答案。例 设 是不可测集,定义0,1上函数如下:第12讲 可测函数的性质与逼近定理则 是0,1上的不可测函数,但可测。第12讲 可测函数的性质与逼近定理一Egorof
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