弹性力学第6章:用有限元法解平面问题(徐芝纶第五版)ppt课件.ppt
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1、第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去第五节 单元的结点力列阵与劲度矩阵第四节 单元的应变列阵和应力列阵 第三节 单元的位移模式与解答的收敛性第二节 有限单元法的概念第一节 基本量及基本方程的矩阵表示概述第六节 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例题第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程第十节 计算实例第九节 计算成果的整理第八节 解题的具体步骤 单元
2、的划分第七节 结构的整体分析结点平衡方程组习题的提示与答案 教学参考资料第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去第六章 用有限单元法解平面问题1.有限元法(Finite Element Method)FEM2.FEM的特点 概述(1)具有通用性和灵活性。首先将连续体变换为离散化结构,然后再利用分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。简称FEM,是弹性力学的一种近似解法。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇
3、敢地冲出去简史3.FEM简史(2)对同一类问题,可以编制出通用程序,应用计算机进行计算。(3)只要适当加密网格,就可以达到工程要求的精度。1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的概念。FEM是上世纪中期才出现,并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 1970年后,FEM被引入我国,并很快地得到应用和发展。简史1956年,特纳等人提出了FEM。20世纪50年代,平面问题的FEM建立,并应用于工程问题。1960年提出了FEM的名称。20世纪60年代后,FEM
4、应用于各种力学问题和非线性问题,并得到迅速发展。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去导出方法5.本章介绍平面问题的FEM4.FEM的主要导出方法 应用静力方法或变分方法导出。仅叙述按位移求解的方法。且一般都以平面应力问题来表示。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去6-1 基本量和基本方程的 矩阵表示 本章无特别指明,均表示为平面应力问题的公式。采用矩阵表示,可使公式统一、简洁,且便于编制程序。
5、第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去基本物理量:体力基本物理量位移函数应变应力结点位移列阵结点力列阵面力第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去物理方程 其中D为弹性矩阵,对于平面应力问题是FEM中应用的方程:几何方程应用的方程第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 结点虚位移,对应的虚应变。应用的
6、方程ij虚功方程其中在FEM中,用结点的平衡方程代替平衡微分方程,后者不再列出。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 3.整体分析。6-2 有限单元法的概念 FEM的概念,可以简述为:采用有限自由度的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的考察体,是一种在力学模型上进行近似的数值计算方法,其理论基础是分片插值技术与变分原理。FEM的概念1.将连续体变换为离散化结构;2.单元分析;FEM的分析过程:第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披
7、上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架,各单元(杆件)之间除结点铰结外,没有其他联系(图(a)。弹力研究的对象,是连续体(图(b))。结构离散化图 6-21.结构离散化将连续体变换为离散化结构第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 将连续体变换为离散化结构(图(c):即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元,并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来,构成所谓离散化结构。结构离散化第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋
8、财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 与 相比,两者都是离散化结构;区别是,桁架的单元是杆件,而图(c)的单元是三角形块体(注意:三角形单元内部仍是连续体)。结构离散化例如:将深梁划分为许多三角形单元,这些单元仅在角点用铰连接起来。图(c)图(a)第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2.单元分析 求解方法 每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体,应按弹性力学方法进行分析。取各结点位移 为基本未知量。然后对每个单元,分别求出
9、各物理量,并均用 来表示。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(1)应用插值公式,由单元结点位移,求单元的位移函数求解方法这个插值公式称为单元的位移模式,表示为单元分析的主要内容:第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(4)应用虚功方程,由单元的应力,求出 单元的结点力,表示为(3)应用物理方程,由单元的应变,求 出 单元的应力,表示为(2)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变,表示
10、为求解方法第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 结点对单元的作用力,作用 于单元,称为结点力,以正标向为正。求解方法单元对结点的作用力,与 数值相同,方向相反,作用于结点。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(5)将每一单元中的各种外荷载,按虚功 等效原则移置到结点上,化为结点荷 载,表示为 求解方法第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披
11、上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 各单位移置到i 结点上的结点荷载 其中 表示对围绕i 结点的单元求和;求解方法3.整体分析各单元对i 结点的结点力作用于结点i上的力有:为已知值,是用结点位移表示的值。通过求解联立方程,得出各结点位移值,并从而求出各单元的应变和应力。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去求解方法 3.整体分析 2.对单元进行分析 1.将连续体变换为离散化结构归纳起来,FEM分析的主要步骤:(1)单元的位移模式(2)单元的应变列阵(4)单元的结点力列阵(5)单元的等效
12、结点荷载列阵建立结点平衡方程组,求解各结点的位移。(3)单元的应力列阵第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题 1.桁架的单元为杆件,而平面体的单元为三角形块体,在三角形内仍是作为连续体来分析的。前者可用结构力学方法求解,后者只能用弹性力学方法求解,为什么?2.在平面问题中,是否也可以考虑其它的单 元形状,如四边形单元?第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 这个插值公式表示了单元中位移的分布
13、形式,因此称为位移模式。6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性 位移模式 FEM是取结点位移 为基本未知数的。问题是如何求应变、应力。首先必须解决:由单元的结点位移,来求出单元的位移函数应用插值公式,可由 求出位移d。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 泰勒级数展开式中,低次幂项是最重要的。所以三角形单元的位移模式,可取为 三角形单元 插值公式 在结点 应等于结点位移值 由此可求出 第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹
14、上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 其中 包含 三角形单元或用矩阵表示为将式 按未知数 归纳,可表示为第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去N 称为形(态)函数矩阵。三角形单元第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 A为三角形 的面积(图示坐标系中,按逆时针编号),其中三角形单元第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥
15、勇敢地冲出去 三结点三角形单元的位移模式,略去了2次以上的项,因而其误差量级是 且其中只包含了 的1次项,所以在单元中 的分布如图(a)所示,的分布如图 所示。三角形单元(a)(b)(c)图 6-51第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 FEM中以后的一系列工作,都是以位移模式为基础的。收敛性条件 所以当单元趋于很小时,即 时,为了使FEM之解逼近于真解,即为了保证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件:第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,
16、披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移。收敛性条件 因为当单元 时,单元中的位移和应变都趋近于基本量刚体位移和常量位移。(2)位移模式必须能反映单元的常量应变。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去收敛性条件可见刚体位移项在式(a)中均已反映。与刚体位移相比,将式(a)写成第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(3)位移模式应尽可能反映位移的连续性。即
17、应尽可能反映原连续体的位移连续性。在三角形单元内部,位移为连续;在两单元边界ij 上,之间均为线性变化,也为连续。对式(a)求应变,得收敛性条件可见常量应变也已反映。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(1)和(2)是必要条件,而加上(3)就为充分条件。收敛性条件 为了保证FEM的收敛性:第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题 1.应用泰勒级数公式来选取位移模式,为什么必须从低次项开始选取
18、?2.试考虑:将结构力学解法引入到求解连续体的问题时,位移模式的建立是一个关键性工作,它使得单元(连续体)内部的分析工作都有可能进行了。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去6-4 单元的应变列阵和应力列阵 位移函数其中,单元中的位移函数已用位移模式表示为第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 应用几何方程,求出单元的应变列阵:应变第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而
19、出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去应变S称为应力转换矩阵,写成分块形式为再应用物理方程,求出单元的应力列阵:B 称为应变矩阵,用分块矩阵表示,第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 对于线性位移模式,求导后得到的应变和应力,均成为常量,因此,称为常应变(应力)单元。应变和应力的误差量级是 其精度比位移低一阶,且相邻单元的应力是跳跃式的。应力第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、
20、湿被褥勇敢地冲出去思考题1.如果在位移模式中取到泰勒级数中的二次幂项,略去 高阶小量,试考虑位移、应变和应力的误差量级。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 6-5 单元的结点力列阵与 劲度矩阵 现在来考虑其中一个单元:模型图 6-7 在FEM中,首先将连续体变换为离散化结构的模型。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(2)单元与周围的单元在边界上已没有联 系,只在结点 互相联系。(1)将作用
21、于单元上的各种外荷载,按静 力等效原则移置到结点上去,化为等 效结点荷载。故单元内已没有外荷载。第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去假想将单元与结点i 切开,则 其数值与 相同,而方向相反。结点力以沿正坐标向为正。对单元而言,这是作 用于单元上的外力。单元作用于结点的力,为 结点作用于单元上的力,称为结点力,第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去按虚功方程,在虚位移上,外力的虚功等于应力的虚功。
22、结点力而其内部有应力作用,考察已与结点切开后的单元,则此单元上作用有外力结点力,应用虚功方程,求单元的结点力:第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 假设发生一组结点虚位移 则单元内任一点(x,y)的虚位移为单元内任一点(x,y)的虚应变为 代入虚功方程:在单元中,外力(结点力)在虚位移(结点虚位移)上的虚功,等于应力 在虚应变 上的虚功,即 虚功方程第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去式(b)
23、是由应力求结点力的一般公式。因为 是独立的任意的虚位移,虚功方程对任意的 均应满足,可得出其中 与 无关,故式(a)成为代入(b)第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去式(c)是由结点位移求结点力的一般公式,称为单元的劲度矩阵K其中再将应力公式代入上式,得单元劲度矩阵(c)(d)第六章 用有限单元法解平面问题火灾袭来时要迅速疏散逃生,不可蜂拥而出或留恋财物,要当机立断,披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去对于三角形单元,B 矩阵内均为常数,有 代入B,D,得出k如书中(6-37)及(6
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